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数学
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知平面向量 ,若 ,则
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
3.
A. 0 B. C. 2 D.
4. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，过 作 的准线的垂线，垂足为 ,若直线 的方程为 ,则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
5. 函数 的大致图象为
A
B
C
D
6. 某校安排高一年级(1)~(6)班共 6 个班去 五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一(1)班恰被安排到 基地的排法种数为
A. 240 B. 300 C. 360 D. 480
7. 已知点 在直线 上,且 ,点 在圆 上,则 面积的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8. 函数 的两个极值点 满足 ,则 的最大值为
A. 2 ln 2 B. C. D. 5 ln 2
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某厂生产的一批红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布,设 表示测量体温误差, 且 ,则 (附: )
A.
B.
C.
D.
10. 将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象. 设函数 ,若 的最小值为 ,则
A.
B. 直线 是 图象的一条对称轴
C. 点 是 图象的一个对称中心
D. 在 上单调递增
11. 在正方体 中, 为 的中点,直线 交平面 于点 ,则 A. 平面
B. 三点共线
C.
D. 平面 平面
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. _____.
13. 已知定义在 上的奇函数 满足 ,且当 时, , 则 _____.
14. 已知点 是椭圆 的下顶点， 是 的右焦点,延长 交 于点 ，若 ，则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线 交 于点 ，若 ， ，求 的面积及 的长.
16.(15 分)已知数列 为等差数列， 为 的前 项和，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
17. (15分)已知函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 有两个极值点,求 的取值范围.
18.(17分)某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛, 海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为 . 甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为 , .
(1)若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
(2)若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得 3 分，回答错误得 -1 分. 设该校友回答三题后的总得分为 分,求 的分布列及数学期望.
(3)知识竞赛规则:随机从题库中抽取 道题目，答对题目数不少于 道，即可获得奖励. 现以获得奖励的概率大小为依据，甲校友在 和 之中选择一个，则他应如何选择？并说明理由.
19.(17 分)已知双曲线 的焦距为 ，且 过点 .
(1)求 的方程.
(2)设点 为 的左顶点，若过点 的直线 与 的右支交于 两点.
(1)证明:直线 和 斜率的乘积为定值.
(II)若直线 与圆 分别交于 ， 两点，记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.
一、选择题
1. C 因为 . ,所以 .
2. B 根据题意,平面向量 ,且 ,所以 , 解得 .
3. B tan . 所以原式 .
4. C 由于 ,令 ,得 , 所以 ,即抛物线 ,故 的准线方程为 ,故 ,则 . 代入 ,得 ,所以 .
5. B 函数 的定义域为 , ,
又 ,所以 是奇函数，图象关于原点对称。故排除 ; 当 时, ,故排除 ;
当 时, ,故排除 .
6. C先在 6 个班中随机挑选两个班为一组,共有 种排法,再将含高一( 1 )班的这个组安排到 基地,有 1 种方法,最后将剩下的 4 个组全排列,有 种排法,所以共有 种排法.
7. 圆心 到直线 的距离为 。则点 到直线的距离 的取值范围为 . 由于 ,所以 的取值范围是 .
8. 由函数 . 得 ,令 . 得 ,因为 有两个极值点 ,所以 且 ,代入①得 , 所以 ,设函数 ,则 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递增,所以 ,从而 ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,故 的最大值为 .
二、选择题
9. ABD 由题意得 . 故 A, D 正确; 0.5,故 B 正确; ,故 C 错误。
10. AC 由题可得 ,则 ,解得 ,因为 ,所以当 时, 有最小值,即 ,则 ,故 A 正确;
因为 ,则 ,所以直线 不是 图象的一条对称轴，故 B 错误；
2. 故点 是 图象的一个对称中心。 故 C 正确;
当 时, ,所以 在 上不单调,故 错误。
11. 对于 ,因为 平面 ， 平面 . 所以 平面 ,又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以平面 平面 ,因为 平面 , 所以 平面 ，故 A 正确；
对于 B，因为 为 的中点，所以 为 与 的交点，又因为平面 平面 . 直线 交平面 于点 。所以 ,所以 三点共线. 故 B 正确;
对于 ,因为 平面 ,所以 平面 ,而 平面 , 则 不成立,故 错误;
对于 ,因为 平面 ,所以 平面 ,因为 平面 ,所以 ,同理, , 又因为 平面 ,所以 上平面 ,又 平而 ,所以平面 平面 ,故 正确.
三、填空题
12. 由题意得 , 所以 .
13. -2 因为 ,所以 . 又因为 是定义在 上的奇函数,所以 ,所以 2). 所以 ,所以 4),故 是周期为 4 的周期函数. 所以 ,又因为 ,所以 .
14. 设 的焦距为 ,则 , ,所以 , 因为 ,所以 解得 即 ,因为点 在 上,所以 ,得 ,所以 的离心率
四、解答题
15. 解: (1) 因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 , 可得 ，
又因为 ,所以 .
(2)由(1)知 ，又 ，利用余弦定理得 ，可得 ， 因为 ,所以 ,
所以 的面积 , (10 分)
又因为 的角平分线 交 于点 ,所以 .
可得 . 解得 . (13 分)
16. 解:(1)设等差数列 的公差为 ，
由 ,
可得 解得 .
所以 . (5 分)
(2)由(1)知 .
所以 . (7 分)
则
. (15 分)
17. 解: (1) 当 时,函数 .
所以 .
显然当 或 时, 单调递增: 当 时, 单调递减, 故 在 上单调递增,在 上单调递减. (4 分)
(2)易知 .
若 有两个极值点,则 有两个不同的变母零点.
令 ,即 有两个不同的变号零点, (7 分)
则 .
易知当 时, 单调递增;
当 或 时, 单调递减, 故当 时. 取得极小值,也是最小值 ,当 时, 取得极大值 .
(10 分)
又 ,当 时, ,所以 ,当 时, . 当 时, .
作出 大致图象如图所示:
要使得 有两个不同的根,只需 有两个不同交点. 由图可得 .
注意到当 时,在 附近, , 即 ,不符合题意,舍去.
所以 的取值范围是 . (15 分)
18. 解:(1)设 “甲校友所选的题目回答正确”， =“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”. “所选的题目为排球相关知识的题目”.
则 ,且 两两互斥. 由题意得 . 则
所以甲校友在该题库中任选一题作答. 他回答正确的概率为 . (3 分)
(2) 的所有可能取值为 -3,1,5,9 .
(7 分)
则 的分布列为
-3 1 5 9
1 5
所以 (9 分)
(3)当 时,设 为甲校友答对题目的数量. 由题意可知 ,其中 .
故当 时,甲校友获得奖励的概率
则当 时,甲校友获得奖励的情况可以分为如下三种情况:
① 前 8 题答对题目的数量大于等于 5；
② 前 8 题答对题目的数量为 4 ，且最后 2 题至少答对 1 题;
③ 前 8 题答对题目的数量为 3，且最后 2 题全部答对.
故当 时,甲校友获得奖励的概率 5) 所以
.
因为 ,所以 ,即 , 所以甲校友应选 . (17 分)
19.(1)解:由题意得， 解得 所以 的方程为 . (3 分)
(2)(1)证明:由(1)知， ，
由题意可知直线 的斜率不为 0,设直线 .
联立 得 ,
因为直线 与 的右支交于两点.
所以
解得 , (5 分)
又 ,
则
. (9 分)
(ii) 解: 设 , 且 ,
联立
得 ,
所以 ,同理可得 ,
联立
得 .
所以 ,同理可得 , (12 分)
所以
.
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
又因为 ,所以 .
令 ,由 2,得 ,
所以 , (15 分)
令 ,
因为 在区间 上为增函数.
所以 的取值范围为 ,
又因为 . 所以 的取值范围为 . (17 分)

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