资源简介

2025~2026 学年度 (下) 高 2027届半期试题 数学试卷
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写(涂)在答题卡的指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每个小题的答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上.
3. 考试结束后, 只需将答题卡交回, 试卷由考生自行保管.
4. 试卷满分:150 分，考试时间:120 分钟.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知 是 -1,-9 的等比中项，则 ( )
A. 2 B. 3 C. -3 D. 3 或-3
2. 圆 的半径为( )
A. 5 B. C. D.
3. 用数学归纳法证明下列等式:
.
要验证当 时等式成立,其左边的式子应为( )
A. -1 B. C. -1+3-5+7 D. -1+3-5+7
4. 已知直线 平面 ，且 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则实数 的值为( )
A.-1 B. 2 C. 2 或 -1 D. -2 或 1
5. 《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一道这样的题目，请给出答案: 把 100 个面包分给 5 个人, 使每人所得面包个数成等差数列, 且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
6. 函数 的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知 ，其中 为自然常数 (e≈2.71828)，则 的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 已知关于 的方程组 恰有一组解 ,其中 为自然常数 ,则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. D.
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 ,则下列说法正确的是( )
A. 若这组数据的极差为 9,则 B. 若这组数据的第 80 百分位数是 6,则
C. 若这组数据的平均数是 3,则 D. 若 ，则这组数据的方差为 5.2
10. 从 4 名男生和 3 名女生任选 4 人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是( )
A. 若 4 名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有 12 种
B. 若至少有一名女生入选，则一共有 33 种选法
C. 若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有 30 种选法
D. 入选的 4 人恰为两名男生两名女生的概率为
11. 双曲线 的离心率为 . 定义 满足 ,且直线 与曲线 没有交点 . 下列说法正确的是( )
A.
B. 若 ,则
C. 若 ,则 的取值范围是
D. 若 且动点 轨迹长度为 ，则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 以 为准线的抛物线标准方程为_____.
13. 已知曲线 与 相切，其中 为自然常数 ，则 _____.
14. 数列 满足 ，其中 为自然常数 ，若 是单调递增数列，则 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分)
已知数列 是等差数列, 的前 项和记为 .
(I) 求 的通项公式;
(II) 令 ,记 的前 项和为 ,求 .
16. (本小题 15 分)
已知函数 在 处取极值.
(I) 求 的极大值和单调区间;
(II) 若函数 在区间 上有且仅有一个零点,求 的取值范围.
17. (本小题 15 分)
如图，在五棱锥 中，已知 底面 ,
(I) 证明: 平面 ;
(II) 若 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值.
18. (本小题 17 分)
已知椭圆 的离心率为 为坐标原点, 是平面内一点, 是椭圆 上一点, 若 .
( I ) 求椭圆 的方程.
(II) 直线 与椭圆 交 ,线段 的中点为 ,若 三点共线,
① 求 的值；
②试问:是否存在 ，使得 的面积取到最大值，若存在，求出此时 的值；若不存在， 说明理由.
19. (本小题 17 分)
已知 . 其中 表示 的导函数.
( I ) 求 .
(II) 令 ,记 的导函数为 ,若 与 在 处有相同的切线,
①证明: 恒成立；
② ,记 ，证明:对 有 .
2025 ~2026 学年度(下)高 2027届半期试题参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C C A A D B
二、多选题
9. ABD 10. AC 11. ABD
三、填空题
12. 13. e 14.
四、解答题 (共 5 题)
15. ( I ) 设 的公差为 ，由题意 ，
解得 . 6 分
(II) 由条件 ,故
两边同时乘 2 , 得
上面两式错位相减得
所以
13 分
16. (I)记 的导函数为 ，则 ，
因此由 是极值点知 ,可得 . 2 分
此时 . 故列表如下:
- 1 (-1,1) 1
+ 0 - 0 +
增 极大值 b + 2 减 极小值 b -2 增
由表知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 : 5 分且 在 处取到极大值 . 7 分
(II)同上可列表如下:
-3 (-3,-1) - 1 (-1,1) 1 (1,3) 3
+ 0 - 0 +
b-18 增 极大值 b + 2 减 极小值 b - 2 增 b+18
由表知 在 上只有一个零点当且仅当 或 .
解得 . 15 分
17.证明: 由条件可知 ,因此 ,
又 底面 ,知 ,
又 ,
所以 平面 . 6 分
(II) 因为 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 , 7 分
设 ,则
,
由题目条件 ,得 , 8 分
由 ，得 ，则 ， 9 分
则 ,
此时 ,
设平面 的一个法向量为 ,则由 ,有
取 则 , 12 分
所以直线 与平面 所成角 的正弦值满足
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18. (I) 由 ,得 ,
代人椭圆方程 可得 ,
又椭圆离心率为 ，可知 ，
解得 ，
故椭圆 的方程为 . 4 分
(II) ① 设 ,则中点 ,
由 三点共线,知
由 均在椭圆 上， ，得 ，
由 ，则 ，
则 . 10 分
② 由 ，
得 ,
,解得 ,
由 ,
故 ,
则 ,
向 到 的距离 ,
令 的面积为 ,则 .
令函数 ,
记 的导函数为 ,
又根据 以及 的符号,
知 在 上单调递增,在 上单调递减,
故 在 处取得最大值,
所以当 取得最大值. 17 分
注: 本题可使用仿射变换将椭圆化为圆处理.
19. (I) 的定义域为 ,
由 ,
的
和
歆
’z‘
时间
ul 田
tr 此
: ST1扎步目蹈②
400 对单
“雙聚獸東丁(∞+‘0)王‘、鮮獸獸東丁(0‘I –)王(x)，8
随
‘ 百‘树激繁集有T 平面 YIH
( A )
令
( )
能排“ 实确保
身前 “(x)以孫照者明(x)，8 21
① (II)
45 离

展开更多......

收起↑