资源简介

高三年级 数 学
考试时间 120 分钟, 满分 150 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案: 非选择题用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。
1. 已知全集 ,则
A. B.
C. D.
2. 复数 的虚部是
A. 1 B. i C. -1 D.
3. 不等式 的解集为
A. B.
C. D.
4. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
5. 的展开式中,常数项为
A. -240 B. -16 C. 16 D. 240
6. 人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法, 实现模型知识学习与能力迭代的复杂过程. 在一定条件下,某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需的时间 (单位: ),其中 为常数. 在此条件下,训练 200000 个单位的数据量与训练 2000 个单位的数据量所需的时间之差为 8 h，当训练 个单位的数据量所需的时间为 时,
A. 10000 B. 15000 C. 20000 D. 30000
7. 如图,在三棱锥 中, ,且 为 中 边上的高. 给出以下结论: ① ; ② 等于直线 与平面 所成的角; ③ 是二面角 的平面角. 其中,所有正确结论的序号是
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
8. 已知函数 ,若正实数 满足 ,则 的最小值为
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知随机事件 满足: ,则
A. 事件 与 互为对立事件
B. 如果 ,那么
C. 如果事件 互斥,那么
D. 如果事件 相互独立,那么
10. 已知函数 的部分图象如图,则下列说法正确的是
A.
B.
C. 是函数 的图象的一个对称中心
D. 函数 的对称轴方程为
11. 设过点 的直线与抛物线 相交于 两点， 为坐标原点,则下列命题正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则 不存在最小值
C. 若 ,则弦 的中点的轨迹方程为
D. 若 ,直线 与直线 相交于点 ,则直线
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 ，且 ，则实数 _____.
13. 已知等差数列 中， ， ，则 _____.
14. 若定义在区间 上的函数 ，其导函数为 ，且 ， ，则称 为区间 上的 “ 函数”. 若 为区间 上的 “ 函数”，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 :
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
16.(15分)
如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 ， 上的动点,且 .
(1)若 平面 ，判断点 在何位置，并证明你的结论:
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时,求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17.(15分)
设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明:存在正实数 ，使得 时，函数 有且只有 3 个零点.
18.(17分)
已知直线 ，椭圆 ，过椭圆 的右焦点 的直线与椭圆 相交于点 .
(1)判断直线 与以线段 为直径的圆的位置关系,并证明你的结论:
(2)过点 作直线 的垂线，与直线 相交于点 ，
(i) 求 面积的最小值:
(ii)证明:直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
19. (17 分)
某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔 1 秒亮一次，如果前一次亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为 ；如果前一次亮黄灯，紧接着亮红灯和绿灯的概率分别为 和 : 如果前一次亮绿灯,紧接着亮红灯和黄灯的概率都为 . 现开启这种提示灯, 第一次亮红灯.
(1)求第三次亮灯为红灯的概率；
(2)设第 次亮灯为红灯的概率为 ，当 时，
( i )求 :
(ii) 该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大 为什么
高三年级 数学参考答案及评分意见
评分说明:
1. 本解答给出了一种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分。
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B C D A D B
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。
9 10 11
BD BCD ACD
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. -2 13. 12 14.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)由 ，
有 ,
即 , 3 分
,
,
,
: 6 分
(2)由(1)的结论有 ，
又 ，
由三角形面积公式有
,
, 9 分
在 中，由余弦定理有
,
, 12 分
的周长 . 13 分
16.
方法 1:
(1)若 平面 ，则 为 中点， -2 分
理由如下:
在直三棱柱 中， ，
平面 平面 ,
平面 ，
又 平面 平面 ,
故 ， 4 分
，
又 ，
，
又 ，
，
即 为 的中点，
从而 为 的中点，
故当 平面 时, 为 中点: 6 分
(2)不妨设 ，
则三棱锥 的体积 -8
.
当且仅当 ,即 时取 “ 时取 “ ”,
此时， ， 分别为 的中点， 10 分
过点 作 于点 ，
可知 为 的中点,连接 ,
则 ,
在直三棱柱 中，
平面 ,
，
,
平面 ,
,
是二面角 的平面角, 12 分
,
,
故当三棱锥 的体积取得最大值时,平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
15 分
方法2:
(1)以 为原点，以 ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ,
设 ,
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,
由
得
取 ,
得 ,
则平面 的一个法向量 , 4 分
欲使 平面 ,
即使 平面 ,
则 ,
,
得 ,
可知 为 的中点，
故当 平面 时, 为 中点; 6 分
(2)三棱锥 的体积为
.8 分
,
当且仅当 ,即 时取 “ 时取 “ ”, 10 分
此时,平面 的一个法向量 ,
平面 的一个法向量 , 12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
可知 ,
则 ,
故当三棱锥 的体积取得最大值时,平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
15 分
17.
(1)由 ,可知 ,
1 分
①当 时，
,
可知当 时, ,
当 时, ,
此时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减: 2 分
② 当 时，
可知当 时， .
当 时， ，
当 时， ，
此时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增:
3 分
③ 当 时，
在区间 上单调递增: 4 分
④ 当 时，
可知当 时， .
当 时, ,
当 时, ,
此时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;
5 分
综上所述: ① 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;
② 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增;
③当 时， 在区间 上单调递增；
④当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增: 6 分
(2)方法1:
由(1)可知，当 时，
是函数 的极大值点，极大值 ，
函数 的极小值
, 8 分
令 ,
即 ,
则 ,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
则 是 的极大值点,
则 的极大值为 ,
又 当 时, ,
则 的值域为 ,
即 的极小值 取值范围是 , 12 分
又 ,
则存在 ,
即 为方程 的根,
当 时, 单调递增,
则 ,即 ,
又 当 时, ,
当 时, ,
存在正实数 ,使得 时,函数 有且只有 3 个零点. 15 分
方法2:
由(1)可知，当 时，
是函数 的极大值点，极大值 ，
函数 的极小值
, 8 分
令 ,
即 ,
则 ,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
取 (或 等),则 , 12 分
当 时, 单调递增,
则 ,即 ,
又 当 时, ,
当 时, ,
存在正实数 ,使得 时,函数 有且只有 3 个零点. 15 分
18.
(1)直线 与以线段 为直径的圆相离. 2 分
理由如下:
由已知,右焦点 的坐标为 ,
设点 ,
其中 ,
令点 到直线 的距离分别为 ,
则
,
同理, ,
设 为 的中点，点 到直线 的距离为 ,
则 ,
显然,以线段 为直径的圆的圆心为 ,半径为 ,
直线 与以线段 为直径的圆相离: 5 分
(2)(i)方法 1:
由题意知直线 所与 轴重合,
由已知,直线 的方程可设为 ,
联立 得 ,
,
则 , 7 分
由( 1 )得,
,
当且仅当 ,即 垂直于 轴时取 “ ”,
根据平面几何知识,此时 同时取得最小值 3,
的面积 ,
故 面积的最小值为 . 11 分
方法 2:
由题意知直线 不与 轴重合,
由已知,直线 的方程可设为 ,
联立 得 ,
,
则 , 7 分
由( 1 )得,
, 8 分
过焦点 且与直线 垂直的直线方程为 ,
则 .
9 分
的面积
令 ,
则 ,
于是 ,
当 时, 单调递增,
【或 ,可知,当 时, 单调递增】
当 ,即 时,
取得最小值,最小值为 ,
故 面积的最小值为 : 11 分
(ii) 欲证直线 与椭圆 有且只有一个公共点,
只需证明在点 处切线 的斜率等于直线 的斜率 ,
由 得, ,其中 ,
依题意,直线 的斜率存在,设为 ,
则 的方程为 ,
联立
得 ,
由于直线 与椭圆 仅有一个公共点,
则由 ,
得 , 12 分
,
即 ,
解得 , 13 分
过焦点 且与直线 垂直的直线方程为 ,
则 ,
, 14 分
只需证明 ,
即证明 恒成立即可,
即只需证明 ,
即证明 ,
即证明 ,
只需证明 满足方程 即可,
根据(i)中的方程(*)，
显然 是方程 的一个根,
,
出此可知，直线 与椭圆 有且只有一个公共点. 17 分
19.(1)设单件 “第 次充灯为红灯”,事件 “第 次充灯为黄灯”,
则第三次亮灯为红灯的概率:
;
2 分
4 分
(2)方法 1 :
( i )设事件 “第 次亮灯为绿灯”, ,
,
则 ,① 6 分
,
,
即 ,
由于 ，
则 是以 为首项, 为公比的等比数列,
, 8 分
即
②10 分
由①②得
,
,
即 ; 12 分
(ii) 由 (i) 可知,
当 时,
,当且仅当 时取等号,
当 时,
综上, ,当且仅当 时取等号,
亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率, 13 分
又 ,
即 ,
故 , 15 分
,
当 时, ,
当 时, ,
,
即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率,
综上所述，当 时,该提示灯亮红色灯的概率最大. 17 分
方法 2:
(i) 设事件 “第 次亮灯为绿灯”, ,
即 ,① 6 分
即 ,② 8 分
,
即 ,
,③ 10 分
由①②得 ,
,④
将③④代入②得 ,
,
,
,
,且 ,
是以 为首项, 为公比的等比数列,
,
即 ,
故
,
,
即 ; 12 分
(ii) ,
当 时,
,当且仅当 时,取等,
当 时,
,当且仅当 时,取等,
即充红灯的概率不小于亮黄灯的概率， 13 分
又 .
,
15 分
当 时,
,
当 时,
,即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率,
综上所述，当 时,该提示灯亮红色灯的概率最大. 17 分

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