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高三年级 4 月学习质量综合评估 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ,则
A. 1-i B. 1+i C. -1-i D. -1+i
3. 已知向量 满足 ,则
A. 2 B. C. 4 D.
4. 已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的 2 倍,圆柱的高是圆锥高的 ,则圆柱和圆锥的体积之比为
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
5. 一组不全相等的数据 的平均数为 ,方差为 ; 设新数据 的平均数为 ,方差为 ,则
A. B. C. D.
6. 已知 为正实数，则“ ”的充要条件可以是
A. B.
C. D.
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 若存在 ,对任意的 ,都有 ,则当 取到最大值时, 的值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得 0 分。
9. 下表是我国 2021 年至 2025 年生活垃圾无害化处理量 (单位: 亿吨) 与年份代码 (1-5 分别对应 2021-2025) 的相关数据. 根据表中数据求得 关于 的经验回归方程为 ,则
A. 与 正相关
1 2 3 4 5
12 18 25 30 34
B. 回归直线过点
C.
D. 预测 2030 年生活垃圾无害化处理量为 60 亿吨
10. 如图,函数 的图象上有 两点,则
A. B.
C. 在区间 上单调递减 D. 为偶函数
11. 正三棱锥 中, ,点 在底面 内运动(含边界), 到棱 的距离分别为 ,若 ,则
A. 的体积为 B. 外接球的体积为
C. D. 的运动路径的长度为
三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 的展开式中各项的二项式系数之和为 64,则其展开式中的常数项为_____.
13. 已知抛物线 的焦点 ,过抛物线上一点 作其准线的垂线,垂足为 ,若 ,则 的长度为_____.
14. 从 这 49 个数中取 25 个数,使得任意两个数之和既不等于 49 也不等于 50 ，则这 25 个数字之和为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在凸四边形 中,已知 , .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
如图,三棱锥 的体积为 是边长为 2 的等边三角形, 是棱 的中点, ,其中 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求 在 上的最大值；
(2)证明: .
18.(本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,点 到点 的距离是它到直线 距离的 倍,记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)设点 为 的下顶点，直线 过点 且垂直于 轴( 位于原点与上顶点之间),过 的直线交 于 两点,直线 分别交 于 两点.
(i) 证明: 为定值;
(ii) 是否存在实数 使得 四点共圆 若存在,求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
某社区举行乒乓球比赛,现有甲、乙等 名选手参加. 规则如下,将所有选手随机编号为 ,第一轮 1 号与 2 号对战,3 号与 4 号对战,以此类推,共决出 名胜者进入第二轮; 第二轮 1 号与 2 号的胜者和 3 号与 4 号的胜者对战,以此类推,决出 名胜者进入第三轮; 最终有 2 名胜者进入第 轮对战,第 轮对战的胜者即为整场比赛的冠军. 已知甲选手与其他选手对战时,甲获胜的概率为 ; 其余选手两两对战时,双方获胜的概率均为 0.5 ; 比赛没有平局, 且每场比赛结果相互独立.
(1)若 ，求乙获得冠军的概率；
(2)记 为甲和乙恰在第 轮比赛中对战的概率，求 ；
(3)记 为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求 .
高三年级 4 月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A C D D A
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 AC ABC ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 240;13. ; 14. 925.
四、解答题:共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.
(1)过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，易知 ，
因为 ，所以 ， 3 分
所以 ，
在直角 中, . 6 分
(2)在直角 中,由勾股定理知 .
在直角 中,因为 ,所以 .
于是有 , 10 分
在 中,由余弦定理可知 .
所以 的值为 . 13 分
16.
(1)设点 到平面 的距离为 ，
则 ,
又因为三棱锥 的体积为 ,所以 ; 3 分
又 是线段 的中点,所以 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 . 6 分
(2)以 为坐标原点， 分别为 轴、 轴、 轴
建立空间直角坐标系， 7 分
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为 ，
则 ,即 ,
取 ,则 ,所以 , 10 分
因为 , 12 分设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,解得: ,
故 的值为 . 15 分
17.
(1)由题意可知 ,
因为 ,所以 恒成立, 3 分
所以 在 单调递增,
所以 ,
所以 在 最大值为 0 . 6 分
(2)由(1)知 ，即 . 8 分令 ,其中 ,
则 . 11 分
所以 ,
. 15 分
18.(1) 设 ,由题意可知 , 2 分化简整理得: ,故 的方程为 . 4 分
(2)(i)由题意可知 ，设 ，
则直线 ,直线 ,
因为 在直线 上,所以 ,代入直线 方程,可知 ,
故点 的坐标为 ,
同理可得点 的坐标为 . 6 分
当直线 斜率不存在时,显然不符合题意,
故设直线 ,代入双曲线方程 中,
可得 ,
所以 , 8 分
又
,
所以 . 10 分
(ii) 由 四点共圆可知, ,
又 ,即 ,
故 ,
即 ,所以 . 13 分
所以 ,又 ,由 , 则 ,
整理可得 , 15 分
所以 ,
故 ,即 ,所以点 坐标为 . 17 分
19.
(1)记:事件 为“甲获得冠军”，事件 为“乙获得冠军”，则 . 2 分由对称性知: 除甲以外的所有选手获得冠军的概率相同,
因此 , 4 分
解得 ,
所以乙获得冠军的概率为 . 5 分
(2)由对称性不妨设甲编号为 1 ，若乙在第 轮比赛中与甲对战，则抽签时乙的编号 ,其概率为 , 7 分
甲和乙在第 轮之前不被淘汰的概率分别为 ,
所以 , 9 分
所以 . 11 分
该结果表示甲与乙在整场比赛中对战过的概率. 12 分
(3)设 表示甲与乙在第 轮比赛对战过且乙获得冠军的概率，
则 . 15 分
所以 . 17 分

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