资源简介

试卷类型:A
潍坊市高考模拟考试 数 学
2026.4
注意事项:
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知一组数据 的中位数为 10,则该组数据的平均数为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 抛物线 上的点 到 的准线的距离为
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中,点 ,则 的最大内角为
A. B. C. D.
5. 投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳. 在某投壶游戏中，选手甲投中壶口、壶耳的概率分别为 ，依落点计分如表格所示. 若甲连续投掷 3 次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于 5 分的概率为
投掷结果 壶口 壶耳 其它
计分 2 1 0
A. B. C. D.
6. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
7. 若函数 和 同时满足以下两个条件:
① 或 ; ② ，使 .
则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的右焦点为 ，直线 交 于 ， 两点， 为坐标原点，且 过 作 ,垂足为 ,则直线 的斜率的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知复数 ,其中 在复平面内对应的点为 ,则下列结论中正确的是
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知正四棱柱 的底面边长为 2,侧棱长为 为底面 上的动点 (含边界), 则
A. 直线 与 所成角的大小为
B. 的最小值为
C. 满足 的点 的轨迹长度为
D. 满足三棱锥 外接球的体积取得最大值的点 共有 5 个
11. 半径为 1 的圆 沿圆 外侧无滑动滚动一周，设圆 上的点 的运动轨迹为曲线 . 已知点 的初始位置为 ,则
A. 点 在曲线 上
B. 曲线 围成的区域面积等于 16
C. 曲线 与直线 有三个交点
D. 曲线 上点的横坐标的最大值为
三、填空题:本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知正方形 的边长为2，点 满足 ,则 _____.
13. 已知点 和圆 ，若以线段 中点为圆心， 为半径的圆与 交于 两点,则 _____.
14. 已知函数 的图象与直线 交于 三点,其横坐标分别为 , 且 ,则 的取值范围是_____; 若 为 中点,则 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知数列 的前 项和为 ,等差数列 满足 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 .
16. (15 分)
已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 存在极小值，且极小值大于 0，求 的取值范围.
17. (15 分)
如图 1,在平面四边形 中, ,将 沿 翻折,得到如图 2 所示的三棱锥 ,且 在平面 上的射影恰为 的外接圆的圆心.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)设点 满足 ，若平面 与平面 夹角的余弦值为 ， 求 的值.
图1
图2
18. (17分)
已知双曲线 的焦距为 ,渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作两条互相垂直的直线 ，若 与 的右支交于 ， 两点， 与 的右支交于 两点,线段 与 的中点分别为 ,且 在第一象限.
(i)证明:直线 过定点；
(ii) 直线 与 交于点 ,求 面积的最小值.
19. (17 分)
在某智能辅助驾驶车道保持系统中,用数轴描述车辆的横向位置: 表示车辆位于车道中心线上, 表示车辆右偏 (如 表示车辆位于中心线右侧 2 个单位), 表示车辆左偏. 一辆装有该系统的车辆从初始位置 ( 为整数) 出发,每次受扰动后 (扰动来自路面、侧风与传感器噪声等)，车辆随机向右移动 1 个单位的概率为 ， 向左移动 1 个单位的概率为 .
(1)若 .
(i) 求车辆经过 10 次扰动到达 的概率;
(ii) 已知车辆经过 10 次扰动恰好首次到达 ，求其没有重返过 的概率.
(2)若车辆从初始横向位置 ( ， 为给定正整数)出发，当车辆的横向位置到达 或 时，一次监测流程结束. 记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为 ,求 的表达式 (用 表示).
高三数学参考答案及评分标准
一、单项选择题(每小题 5 分，共 40 分)
1-4 DCCB 5-8 DCAD
二、多项选择题(每小题 6 分, 共 18 分)
9. BCD 10. ABD 11. ACD
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 13.3
14.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分)
15. (13 分)
解: (1) 当 时, . 1 分
当 时, , 3 分
经检验, 时符合上式.
所以 , 4 分
因为 ,所以公差 ,所以 . 7 分
(2)因为 在区间 内项的个数为 ， 10 分
所以 , 11 分
所以 . 13 分
16. (15 分)
解: (1) 因为 ,所以 ,
所以 ,所以 , 2 分
所以 ,即 , 4 分
因为 ,所以切线方程 ,即 . 6 分
(2) 的定义域为 ， 7 分
8 分
若 在 上单调递减,所以 无极值; 9 分若 ,令 得 ,当 时, 在 上单调递减;
当 时, 在 上单调递增,
所以 在 处取极小值, 12 分
因为 , 14 分
即 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
综上 . 15 分
17. (15 分)
解: (1) 取 的中点 ,连接 , 1 分
由题意知点 为 的外心, 2 分
因为点 在平面 上的射影为 的外心,
所以 平面 , 4 分
因为 平面 ,
所以平面 平面 . 6 分
(2)由(1)知 平面 ,所以 ,又 , 7 分
以 为原点, 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向,建立空间直角坐标系 , 8 分
由题意知 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 , 10 分
所以 , 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 ,
所以 , 12 分
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,得 ,
所以 , 13 分
所以 ,
整理得 ,
得 或 (舍去),
所以 的值为 . 15 分
18.(17分)
解: (1) 由题意
解得 , 2 分
所以 的方程为 . 3 分
(2)(i)由题意知 的斜率存在且不为 0，
设 ,
其中 ,
联立 整理得 ,
因为 解得 , 4 分
因为 为 中点, ,
所以 ,
同理,联立 与 的方程,可得 或 , 5 分所以 或 . 6 分
当 时, , 7 分
直线 为 ,
即 ,所以直线 过定点 ; 8 分
当 时, ,直线 过点 ; 9 分
所以,直线 过定点 . 10 分
(ii) 因为 分别为 的中点,
所以 , 12 分
14 分
所以 ，
设 ,则 ,
所以 ，
令 ,
所以 在 上恒成立,
即 在 上单调递增, 16 分
所以 时, 的最小值为 36 ,
所以 面积的最小值为 6 . 17 分
19. (17 分)
解:(1)(i)记“车辆经过 10 次扰动到达 ”为事件 ，
由题意可知车辆在 10 次移动中, 8 次向右移动, 2 次向左移动, 1 分
所以, . 3 分
(ii) 设事件 为“车辆经过 10 次扰动恰好首次到达 ，事件 为“车辆移动过程中没有重返过 ”.
设第 次向右移动赋值为 ,第 次向左移动赋值为 .
则 10 次移动可以表示为有序数组 ,其中 .
记 10 次移动恰好首次到达 处的路径为 ,
则可得 中有且仅有两个 ,且 不同时为 -1,
所以共有 种不同路径,所以 , 5 分
记 10 次移动恰好首次到达 处且过程中没有重返 的路径为 , 此时 中有且仅有两个 不同时为 不同时为 -1, 所以共有 种不同路径,所以 , 7 分
所以 8 分
(2)设车辆从位置 出发 ，每次有 的概率向右移动到 ， 的概率向左移动到 ，每次移动记为 1 步，
同时， ， ， 9 分
若第一步向右到 ，则后续所需的期望步数为 ，
若第一步向左到 ，则后续所需的期望步数为 ， 10 分第一步本身消耗 1 步,
所以 ,
所以, ,
令 ,则 ,
当 时, ,
令 ,
所以 , 12 分
因为 ,
所以 , 13 分
由 ,所以
解得 , 14 分
所以 , 15 分
当 时, ,所以 为等差数列,公差为 -2,
所以 ,
,由 ,
得 ,所以 , 16 分
综上所述, 17 分

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