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数 学
时间 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 复数 的虚部为
A. -5 B. -6 C. 5 D. 6
2. 若全集 ，集合 ， ，则
A. B. C. (2,3) D. (2)
3. 一组从小到大排列的数据:2，8，x，18，22，若它们的第 60 百分位数比平均数大 2，则 的值为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4. 已知 的内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 、 ，则 的值为
A. B.
C. D.
5．已知点 到点 的距离为 ，则 的最小值是
A. 4 B.5 C. 6 D. 7
6. 已知数列 是等比数列， ，则“对任意的正整数 都有 、 是一然列 是单调递增数列” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知 是定义在 上的函数, ,当 时, ,则
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
8. 已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 函数 的最小值为 -0
B. 点 是函数 图象的一个对称中心
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
10. 已知 是椭圆 的两个焦点,点 在椭圆 上, 是椭圆 上的动点, 轴,垂足为 ,且点 为 的中点,则
A.
B. 椭圆 的离心率为
C. 的最小值为 D. 面积的最大值为
11. 已知棱长为 2 的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 。 点,则
A. 正方体 的外接球半径为
B. 四点共面
C. 直线 与 所成角的余弦值为
D. 过直线 的平面截正方体 的外接球所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 与向量 满足 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 都在抛物线 上，抛物线 的准线与 轴交于点 . 若 ,则 _____.
14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除 2 取余, 逆序排列法. 步骤是: 用 2 整除十进制整数、可以得到一个商和余数；再用 2 去除商，又会得到一个商和余数。如此进行下去；直到商小于 1 为止, 最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位, 后得到的余数作为二进制数的商位有效位,依次排列起来.
例如,将十进制数 5 转化成二进制数: ,即十进制数 5 转化成二进制数为 101 计进制数 13 转化成二进制数 ,即十进制数 13 转化成二进制数为 1101 .
记 为十进制中正整数 的二进制表示中数字 1 的个数,例如 , 则
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分) 袋中装有标有数字 1 到 6 的 6 个大小、形状相同的小球, 从袋中任取 3 个小球, 每个小球被取出的可能性都相等,用 表示取出的 3 个小球标号的最大数字.
(1)求随机变量 的分布列及数学期望；
(2)已知取出的 3 个小球的标号和为偶数,求 的概率.
16.(15分)已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， ， ， 其中 .
(1)求公差 及 的值；
(2)设数列 ，数列 的前 项和为 ，求 .
17.(15分)已知函数 ，其中 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，对任意 恒成立，求实数 的值.
18.(17分)如图1， 为半径为2的圆 的直径，点 ， 为圆 上的两点，且 . . 如图 2,将圆 沿 翻折. 为线段 上的一点,连接
(1)若 ， 为 的中点，证明: ；
(2)若平面 平面 . 求二面角 的余弦值；
(3)求翻折过程中，直线 与平面 所成角的最大值.
图1
图2
19. ( 17 分)若 ，点 ，双曲线 .
(1) 写出 的坐标;
(2)证明:对任意 ，点 . 在双曲线 上；
(3)设直线 。 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，记 。的面积为 。(O为坐标原点)，求证: . 为定值.
(参考公式:设三角形的三个顶点分别为 ,则三角形的面积
数学参考答案及评分意见
1.B 的虚部为 -6. 故选 B.
2.D . 故选 D.
3.A , 这 5 个数据的第 60 百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数,即 . . 故选 A.
4.B 由正弦定理,得 . 故选 B.
5.D 由题意得,点 的轨迹方程为 ,点 的轨迹方程为 . :圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 的最小值是 . 故选 D.
6.C 是等比数列, ,
.
是等比数列, 是单调递增数列, .
“对任意的正整数 都有 ” 是 “ 是单调递增数列” 的充分必要条件. 故选 C.
7.D . 两式相加,得 , 是周期函数,且 . 故选 D.
8.A 由题意 .
有两个极值点, 有两个异号零点,即 有两个根.
令 ,则 直线 与 的图象有两个交点.
若直线 与 的图象相切,则设切点为 . 由于 ,则切线的斜率为 ,
切线方程为 ,即 ,解得 .
要使直线 与 的图象有两个交点, . 故选 A.
9.AB 对于 A，当 时，函数 取得最小值，为一 ，故 A 正确. 对于 ,当 时, ,故 正确. 对于 ,令 函数 在区间 上单调递减,故 错误. 对于 的图象向左平移 个单位长度得到 ,故 错误. 故选 AB.
10. 对于 点 在椭圆 上, ,解得 椭圆 的标准方程为 . 即 ,即 ,故 正确.
对于 ,设点 ,则 . 将点 的坐标代入椭圆方程 ,得 ,即 点 的轨迹方程为 的最小值为点 到圆心的距离减去半径,即 ,故 错误.
对于 ,由 可知, ,则当 时, 的面积最大,为 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.AC 对于 ,正方体 的外接球半径 ,故 正确.
对于 ,设 的中点为 . 因为 四点共面,点 不在平面 内,所以 四点不共面，故 错误.
对于 ,如图,连接 ,则 在 中, ,故 正确.
对于 ,如图,连接 ,记 为 的中点,过点 作 的垂线,交 于点 .
在 中, ,则 ,所以
过直线 的平面截正方体 的外接球所得的所有截面圆中,半径最小为 ,所以半径最小的圆的面积为 ,故 错误. 故选 AC.
12. ,解得 .
13. 点 到准线的距离为 点 是线段 的中点.
点 到准线的距离为 .
为线段 的中点, 为 的中位线, .
在等腰三角形 中,点 . 将点 的坐标代入抛物线的方程,得 ,
.
14.192 数 1 表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数为 1 ;
数1,2,3表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数和为 ;
数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数和为 ;
......；
数 表示成二进制,所有出现数字 1 的个数和为 .
所以 .
15. 解: (1) 随机变量 的所有可能取值为3,4,5,6,
则 ,
4 分
所以 的分布列为
3 4 5 6
5 分
所以 . 7 分
(2)记事件 为“取出的 3 个球的标号和为偶数”,事件 为“ ”.
由题意得, , 9 分
11 分
由条件概率公式,得 . 13 分
16. 解: (1) ,
, 2 分
. 4 分
,
. 6 分
(2)由(1)得， ，
. 8 分
又 的周期 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ;
当 时, ,其中 . 11 分
在一个周期内,
,
13 分
数列 的前 20 项为 5 个完整的周期, . 15 分
17. 解: (1) 当 时, ,则有 . 1 分
. 3 分
曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 5 分
( 2 )若 ，对 恒成立，
则有 ,对 恒成立. 6 分
令 ,则 ,对 恒成立. 7 分
令 ,即 对 恒成立, . 8 分
① 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增，
当 时, ,不成立,舍去. 10 分
② 若 ，则令 ，解得 .
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
. 12 分
令 ,则 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
,即 . 14 分
又 ,即 .
综上,实数 的值为 1 . 15 分
18.(1)证明:如图，取 的中点 ，连接 ， .
， 分别为 ， 的中点，
. 2 分
又 是圆 的直径， .
. 3 分
又 平面 平面 . 4 分
平面 . 5 分
(2)解: .
故以 为坐标原点,以 所在直线,过点 且垂直于平面 的直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 6 分
. 则 ,
. 7 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 ,
. 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 ,
. 9 分
. 10 分
由图知二面角 为锐二面角, 二面角 的余弦值为 . 11 分
(3)解:同(2)中的建系，则平面 的一个法向量 .
设两个半圆面所成的角为 ,则 ,
. 14 分
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 .
当 时, 取得最大值,为 . 16 分
. 17 分
19.(1)解:当 时， ，
. 2 分
当 时， ，
. 4 分
(2)证明: , 7 分
,
任意 ,点 在双曲线 上. 9 分
(3)证明:由(2)知
设直线 的斜率为 ,
则直线 的方程为 ,且 . 11 分不妨令 是直线 与直线 的交点,
是直线 与直线 的交点.
联立 得 . 12 分
联立 得 . 13 分
,
. 15 分
,
.
即 的面积 为定值. 17 分

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