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2026 届高三年级四月检测 数 学
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 的共轭复数为
A. B. 2-i C. 1-i D.
2. 已知函数 是奇函数，则 的一个可能取值为
A. 0 B. C. D.
3. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
4. 已知 ,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数 在定义域内有最小值,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 在 中,角 所对的边分别为 ,若 , ，则 的面积为
A. 2 B. C. D. 4
7. 若圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为 的扇形,则过圆锥顶点的截面中, 截面面积的最大值为
A. B. C. D.
8. 某校高三年级准备在接下来的 14 周内,安排三次心理健康讲座,分别记为第 周、第 周、第 周. 为了让学生有足够的时间消化内容,学校要求: ①第一次与第二次讲座之间至少间隔 2 周 ；②第二次与第三次讲座之间也至少间隔 2 周 ； ③在第一次讲座之前至少预留 1 周准备时间，最后一次讲座之后至少预留 1 周总结时间， 则符合要求的不同安排方案有
A. 120 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 56 种
二、多项选择题:共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据: 的平均数为 ，方差为 ，中位数为 ，极差为 ，设 ,数据: 的平均数为 ,方差为 ,中位数为 , 极差为 ,则下列判断一定正确的是
A. B.
C. D.
10. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 作斜率为 直线 与抛物线交于 两点 ( 在第一象限),与准线相交于点 ,过点 作抛物线的切线与准线相交于 ,当 ,下列说法中正确的是
A. B. C. D.
11. 已知 时,关于 的不等式 恒成立,则下列判断正确的是
A.
B.
C.
D. 的最大值为
三、填空题: 共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆 ，过点 作斜率为 的直线 与圆 交于 两点，若 的面积为 2，则 _____.
13. 已知等差数列 的前 项为 ，且 ，则 _____.
14. 已知向量 ，当向量 的模长取得最小值时, _____.
四、解答题:共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
15.(本题 13 分)
已知函数 .
(1)当 时，求 在 上的最大值；
(2)讨论 在 上的单调递增区间.
16.(本题 15 分)
如图，在多面体 中，若四边形 是边长为2的正方形， 都是边长为 2 的等边三角形,且 分别为 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
17. (本题 15 分)
在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含 2 个正样本和 3 个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集(样本不变):若抽到负样本，则以 的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以 的概率将其放回数据集(仍为负样本).
(1)求经过 1 次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值；
(2)求经过 2 次操作后，数据集中正样本个数的期望值.
18. (本题 17 分)
已知双曲线 的离心率 ，其上顶点为 ，过点 作斜率为 的直线 与双曲线的两支分别相交于 两点 在双曲线 的上支) 且与 轴相交于 点，直线 与 轴相交于 点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设直线 的斜率分别为 ，求证: 为定值；
(3)是否存在直线 使得 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
19. (本题 17 分)
已知一系列椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ， ， 是等腰三角形 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若数列 的前 项和为 ，若对任意的 ，都有 ，求 的最小值.
2026 届高三第二次模拟考试数学参考答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B D C D D
二、多项选择题: 共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AC ABD ABD
三、填空题: 共 3 个小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 1 ; 13. ; 14. 5 .
四、解答题:共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15.(1) 当 时 ,
所以 ,
令 可得 , 3 分
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
所以当 时, . 6 分
(2) ,
当 时,令 ,则 ,即 的单调递增区间为 ; 当 时,令 ,则 ,即 的单调递增区间为 ; 当 时, ,此时 在 单调递减,无减区间.
13 分
16. (1) 在四棱锥 中，如图，
因为 是边长为 2 的等边三角形,
所以 ,因为 为 的中点,
则 , 2 分
因为 分别为 的中点,四边形 是边长为 2 的正方形,
所以 ,又因为 ,所以 平面 , 5 分因为 平面 ,平面 平面 ; 7 分
(2)如图，连接 ，同理可以证明平面 平面 ，
过点 作 的垂线,垂足为 ,所以 平面 ,
由条件可求 ,所以 ,所以 ,
取 的中点 ,连接 ,因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,
所以 与 所成的角就是二面角 的平面角,
以 为坐标原点,以 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 ,
所以 ,
所以二面角 的余弦值为 . 15 分
17.(1)设第一次操作后，数据集中正样本个数为 ，可能取值为 2,3 .
所以 . 7 分
(2)设第二次操作后，数据集中正样本个数为 ，可能取值为2,3,4.
所以 . 15 分
18.(1)因为 ，所以 ，即 ，
因为上顶点为 ,所以 ,则 , 所以双曲线的标准方程为 ; 4 分
(2)设直线 的方程为 ，直线 的方程为 .
联立直线 与椭圆 方程 ，得 ，
解得 ，所以 ，所以 ， 6 分
设直线 方程为 ,
因为 ,则有 ,
整理得 ,同理可得 ,
所以 是方程 的两根,
所以 ; 10 分
(3)假设存在 使得 ，所以 ，
设直线 的倾斜角分别 ,再设直线 的倾斜角为 ,
则 ,所以 , 13 分
又因为 是方程 的两根,
所以 ,
所以 ,所以 ,所以 . 17 分
19.(1)因为 ，所以 ， 2 分
则 ,
因此 ,
所以椭圆 的方程为 ; 5 分
(2)点 ，设 ，因为 为等腰三角形，
所以 ,因此 , .8 分
由题意知 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 ; 11 分
(3)因为
13 分
所以 ,
因此 ,
因为 ,所以 ,
所以 的最大值为 的最小值为 的最小值为 1 . 17 分

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