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数学(二)
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知全集 ，集合 ， 满足 ，则下列关系一定正确的是
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 的共轭复数为 ,则
A. B. C. 4 D. 8
3. 高一某班有 53 人，老师对一次数学测试进行了统计分析. 小亮因故没有参加本次集体测试,计算得其他 52 人的平均分为 121 分,方差 . 后来小亮进行了补考,成绩为 121 分. 关于该班成绩, 下列说法正确的是
A. 平均分不变, 方差变大
B. 平均分不变, 方差变小
C. 平均分和方差都不变
D. 平均分和方差都变大
4. 在 中, 为边 的中点, ,则
A. B. C. D.
5. 已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 已知函数 若 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知 是双曲线 的左、右焦点,点 是其渐近线上第一象限内的一点,直线 与 轴相交于点 是正三角形,则 的渐近线方程是
A. B. C. D.
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查, 其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的 ，女生中喜欢运动的人数占女生人数的 ，若有 95% 的把握，但没有 99% 的把握认为 “学生性别和是否喜欢运动有关”，则被调查的男生人数可能为
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 25 B. 45 C. 60 D. 75
10. 如图，平面图形 由等腰直角 和直角 组成， ， 分别是边 和 的中点，现将 沿 翻折，则下列结论中正确的是
A.
B. 若平面 平面 ,则
C.
D. 已知点 均在球 的表面上,当三棱锥 的体积最大时,球 的半径为
11. 设 是函数 的三个零点,则下列说法正确的是 A.
B.
C. 若 成等差数列,则 成等比数列
D. 若 成等差数列,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 ,且 ,则 _____.
13. 已知随机变量 ,若 ,则 _____.
14. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点, 是 上异于左、右顶点的动点,记 内切圆的面积为 ， 外接圆的面积为 ，若 的最小值为 4 , 则 的离心率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
16.(15 分)如图，在三棱锥 中， 是边长 2 的等边三角形， ， .
(1)证明:平面 平面 .
(2)求点 到平面 的距离.
(3)求平面 和平面 夹角的余弦值.
17. (15分)已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程.
(2)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围.
(3)若 ，且 存在两个极值点 ，证明: .
18. (17分)已知抛物线 ，过 上一点 作两条直线 分别交 于 两点,直线 的斜率分别为 ,且 .
(1)求 的方程.
(2)证明:直线 过定点.
(3)记直线 经过的定点为 ，直线 上一点 (异于点 )满足 . 证明: 点 在某定直线上,并求出该定直线的方程.
19. (17分)某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能 ， ， 来提升综合能力. 初始时，机器人选择学习技能 ，且每次学习 后会等可能地选择学习 或 ; 每次学习 后,有 的概率继续学习 的概率学习 ; 每次学习 后, 有 的概率继续学习 的概率学习 . 设 分别表示第 次学习后接着学习技能 的概率.
(1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能 的次数的分布列及其数学期望.
(2)求 及其最大值.
(3)已知 ,
若数列 的前 项和为 ,证明: .
参考答案及解析
一、选择题
1. C 对于 ,由 ,可知 ，故 错误；
对于 ,故 正确;
对于 ,不一定为 ,故 错误.
2. 由 ,可得 ,所以 .
3. B 因为小亮的成绩和其他 52 人的平均分相同，都是 121 分，所以该班 53 人测试成绩的平均分为 分,即平均分不变; 该班 53 人测试成绩的方差 ,即方差变小.
4. A 因为 为边 的中点, , 所以 .
5. C 由 ,可得 ,即 .
则 ,所以 .
6. D 根据复合函数的单调性可知函数 在 上单调递增. 当 时, ,则 ,易知 在 上单调递增,又 ,故 在 上单调递增,由 , 得 ,解得 ,故实数 的取值范围是 .
7. 由题意得, (其中 ,因为 是正三角形,所以 ,由双曲线的对称性可得 ,故 , 故 ,
故 ,又点 在第一象限的渐近线上,故 ,而 ,故 ,故 ,因此渐近线方程为 .
8. 令函数 , 则 , 所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 , 又 ,
所以 ,即 ;
令函数 ,
则 ,
令 ,则 ,所以 在 上单调递减,
所以 ,所以 在 上单调递减,所以 , 即 ,即 .
综上所述， .
二、选择题
9.BC设男生人数为 ，则女生人数也为 ,列出列联表如表所示:
性别 是否喜欢运动 合计
喜欢 不吝欢
男生
女生
合计
,
由题意得 ,解得 40.3305 ,故 错误, 正确.
10. 对于 ,由题可知 ,在等腰直角 中, ,故 错误;
对于 ,由题可知 若平面 平面 ,又平面 平面 平面 ,所以 平面 , 又 平面 ,所以 ,所以 ，所以 ，故 B 正确；
对于 ,因为 为边 的中点, ,所以 ,又 是边 的中点,所以 , 由 ,可得 . 因为 , 平面 ,所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,故 正确;
对于 ,当三棱锥 的体积最大时,平面 平面 ,由 可知, 平面 .
又 是以 为斜边的直角三角形,所以
球心 在过点 且与平面 垂直的直线上,
设球心 到点 的距离为 ,球 半径为 ,则
,即
,解得 ,所以球 的半径为 1,
故 D 错误.
11. ACD 当 时, , 显然不符合题意；
当 时,因为 ,所以 0 不是 的零点,当 时,令 ,则 ,设函数 ,则 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
又 ,且当 时, ; 当 时, ; 当 时, , ,所以 的大致图象如图所示:
若 与 有 3 个交点,则 ,又 ,所以 ,故 正确, B 错误;
由题意得 ,所以 ,由于 成等差数列,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 成等比数列,故 正确;
由 ,得 ,所以 ,
由于 ,解得 ,
又 ,则 ,
故 ,即 ,
由于 ,故舍去,
所以 ,故 正确.
三、填空题
12. 由 ,得 ,又 ,所以 ,
则 .
13. 由正态分布的性质,可得
,又 ,
所以 ,
解得 ,又随机变量 , 根据正态分布曲线的对称性,可得
14. 如图,设 , ,
由椭圆定义可知 ,
在 中,由余弦定理得 则 ,所以
又 的周长为 ,
则 内切圆的半径 ,又在 中,由正弦定理可知 即为 外接圆的半径, 故 ,
则
由椭圆的对称性可知 ,当点 为短轴端点时, 取得最大值 ,
此时 取得最小值,最小值为
又 的最小值为 4,则 的最小值为 2,即 ,
即 ,化简可得
等式左右两边同时除以 ,可得 , 即 ,
由椭圆离心率 ,得 .
四、解答题
15. 解: (1) 由正弦定理可得,
整理得 , (2 分)
即 ,
故 .
又因为在 中, ,所以 , 所以 ,又 ,所以 .
(6 分)
(2)由余弦定理可得， ，
即 .
又 ,当且仅当 时,等号成立,所以 , (9 分)
所以 , 即 面积的最大值为 . (13 分)
16.(1)证明:如图，取 中点 ，连接 ， ，
因为 是边长为 2 的等边三角形, 为 中点,
所以 ,且 .
又因为 为 中点,
所以 ,且 .
因为 ,所以 ,
所以 . (2 分)
又 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,
所以平面 平面 . (4 分)
(2)解:由(1)得 ， ， 两两互相垂直，故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 , ,
所以 , , (6 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,则 ,
故平面 的一个法向量为 , ,
所以点 到平面 的距离 (10 分)
(3)解:由(2)可知， , ,设平面 的法向量为 ,
所以 即
令 ,则 ,
故平面 的一个法向量为 , (12 分)
由 (2) 知平面 的一个法向量为 , ,
所以 , 故平面 和平面 夹角的余弦值为 .
(15 分)
17. ( 1 )解:由题意得 ，
,
而 ,则 ,
故曲线 在点 处的切线方程为 . (3 分)
(2)解: ,又 在区间 上单调递减,
所以 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
即 在 上恒成立,
因为函数 在 上单调递增,所以 ,所以 ,
故 的取值范围是 . (7 分)
(3)证明: ，
因为 存在两个极值点 ,所以 满足 ,即 ,
不妨设 ,则 .
又 (10 分)
则要证 ,
即证 ,
又 ,则 ,
即证 ,即证 . (12 分)
设函数 ,
则 ,
所以 在 上单调递减,又 , 则 ,
所以 ,
即 得证. (15 分)
18.(1)解:将点 的坐标 代入 的方程，可得 ,解得 (舍去) 或 ,
故 的方程为 . (3 分)
(2) 证明: 由 (1) 可知 ,
设 ,
则 .
由 ,得 ,
整理得 . (6 分)
又 ,所以直线 的方程为 ,
即 .
又 ,
从而直线 的方程为 , 化简得 ,
因此直线 过定点 . (10 分)
(3)证明:由(2)知 ，
设 ,
易知直线 的斜率不为 0 ,
设直线 的方程为 . (12 分)
联立
得 ,
所以 .
因为 ,
所以 ,
即 .
当 时, ,化简得 ,
与直线 的斜率不为 0 矛盾,不符合题意;
(14 分)
当 时, 化简得 ,
将 代入得
即 ,
又 ,所以 , 所以 ,即 ,符合题意.
所以点 在定直线 上. (17 分)
19.(1)解:设三次学习中，学习技能 的次数为 ， 则 的可能取值为 1,2 ,
第一次学 ,第二次学 ,第三次学 ,则
第一次学 ，第二次学 ，第三次学 ，则
故 ;
第一次学 ,第二次学 ,第三次学 ,则
第一次学 ,第二次学 ,第三次学 ,则
故 ,
故 的分布列为
1 2
(4 分)
(2)解: 由题意得
设 ,
又 ,所以 ,所以
因此数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,
故 ,故 . (7 分)
要使得 最大,则 为偶数,此时
此时 单调递减,故当 时, 取到最大值 . (9 分)
(3)证明: ,
, (11 分)
由于 ,
,
,
...,
. (14 分)
所以
由于 ,
所以 , 原命题得证. (17 分)

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