资源简介

2026 年高三年级二模考试 数 学
注意事项:
1. 本试卷共 19 道题, 满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟.
2. 考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效。
3. 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
4. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
5. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
6. 保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第 I 卷(共 58 分)
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 设全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点为 ,则
A. B. C. D.
3. 设 是两个非零向量，则 “ ” 是 “ ” 成立的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若 是函数 的极值点,则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 30 B. 32 C. 34 D. 36
6. 已知 是定义在 上的奇函数,且 ,若当 时, ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，若 在区间 上恰有 5 个零点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 双曲线 的右焦点为 ,过点 的动直线 交双曲线于 两点,点 ,若直线 平分 ,则直线 的斜率为
A. B. -2
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 是等比数列,其前 项和为 ,且 ,则公比 的值可以是
A. -1
B. C. D. 1
10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，长轴长为 4，点 在椭圆内部,点 在椭圆上,则以下说法正确的是
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为 时, 的最大值为 3
C. 存在点 ,使得
D. 的最小值为
11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则
A. B.
C. D.
第 II 卷(共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 的展开式中常数项为_____.
13. 已知数列 的首项 ,且满足 ,则 _____.
14. 如图, 已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为 ,若重新放入一个正四面体,并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知锐角 的内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)求 的取值范围.
16. (15 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 ，证明不等式 在 上恒成立.
17. (15分)
某单位为了提高职工业务能力,举行相关的知识竞赛. 规则如下:利用计算机在题库中选出 3 个题由职工作答,已知题库中有 两类题,每个 类题答对可以得到 20 分, 每个 类题答对得 30 分. 两类题的数量足够,每位职工正确回答 类和 类题的概率分别是 和 ,且回答 两类题正确与否相互独立.
(1)若职工甲选 3 个 类题作答，试求甲得分 的分布列和方差；
(2)若甲乙两人每人选择 2 个 类题和 1 个 类题作答,求甲得分高于乙的概率.
18. (17 分)
如图,四棱锥 的底面 为直角梯形, 平面 , 为 的中点,点 在线段 上.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知 四点均在球 的球面上.
①证明: 三点共线；
② 若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
19. (17 分)
已知抛物线 的焦点为 ，点 ，点 ，过焦点 的直线交 于 两点, 的面积的最小值为 4 . 设直线 与 的另一个交点分别为 ,直线 的倾斜角分别为 . 当直线 的斜率存在时分别记为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)证明: ;
(3)当 取得最大值时,求直线 的方程.
2026 年高三二模考试数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B D C A B D
二、选择题
题号 9 10 11
答案 BD ABD ACD
三、填空题
12. 180
13. 14.
8. 设直线 方程为: ,显然 ,将其与双曲线 联立得: . 所以 ,
由题得: ,
而 ,
,
因为 ,所以 ,
又 ,代入化简得: ,解得: .
11. 由 ,可知 或 ,
由 两边同时取对数得, ,即 ,
设 ,
当 时， ， 单调递增；
当 时, 单调递减.
又 ,且 ,故 .
对于 ,由不等式 ,知 ,故 正确 (此处切线放缩); 对于 ,由函数 在 单调递增,若 ,则 ,
于是 ,即 ,整理得
，此时选项 B 不成立；
对于 ,原不等式等价于 ,即 ,由函数 在 单调递减知, 正确;
对于 ,由函数 在 单调递增, 可得 ,
即 ,故 D 正确.
故选: ACD.
14. 设储物盒所在球的半径为 ,正方体的最大棱长为 ,如图,
根据题意: 正方体的最大棱长 满足 ,解得: .
又正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转, 即求正四面体外接球半径最大时的棱长即可; 小球最大半径 满足 ,设正四面体的最大棱长为 ,易知 ,代入数据解得 .
所以正四面体的最大棱长为 .
四、解答题(注:解答题解法多样，请阅卷老师根据考生实际作答情况酌情给分.)
15. ( 1 )法一:因为 ，则 . (1分) 由正弦定理得: ，(2分) 则 ,因为 ,则 . (3 分)
所以 ,所以 (5 分)
法二:由余弦定理: (1 分)
代入 ，得 ，又 ， 故
整理得 ,故 ,(4 分)
又 ,故 . (5 分)
(2)在锐角 中,由 可得 . (6 分)
又 ,(7 分)
又 ,则 ,故 (8 分)
又 ,设 ,易知 在 上单调递减,在 上单调
递增,所以
又因为 ,所以 ,
故 的取值范围为 分
16. (1)当 时, ,则 ,(2 分)
故 ,又 ,故切点坐标为 ,(4分)
所以切线方程为 ,即 . (6 分)
(2)若 ,即 ,
当 时,上式等价于
令 ,则 ,
令 ,则 ,
所以 在 上单调递增, (12 分)
即 ,故 在 上单调递增,
故 ,即 .
故当 时，不等式 恒成立. (15 分)
17. (1)设“甲选 类题答对”为事件 ,
根据题意, 的可能取值为0,20,40,60. (1 分)
,(2 分)
所以 的分布列是:
0 20 40 60
1 8 3 8 1 8
(4 分)
设 为甲答对的 类题的个数,则 ,且
由 ,故 的方差为 . (6 分)
(2)设甲、乙的最终得分分别为 ，“甲得分高于乙”为事件 ，甲得分高于乙包括:甲得 20 分、 30 分、 40 分、 50 分、 70 分五种情况，这五种情况之间彼此互斥. (7 分)
则
,(13 分)
故 . (15 分)
18. (1)证明: 因为 平面 平面 ,所以 ,
又 , 平面 平面 ,且 , 所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以平面 平面 . (4分)
(2)①如图，以点 为坐标原点，分别以 、 、 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ,
证法一: 设球心 ,则 ,于是有
解得 ,即球心
,所以 ,所以 三点共线. (10 分)
证法二: 取 的中点 ,则 ,所以 ,
,故 ,所以点 即为球心 .
,所以 ,所以 三点共线. (10 分)
证法三: 因为 平面 平面 ,所以 ,所以 因为 平面 平面 ,所以 ,所以
与 共斜边
所以 均在以 为直径的球面上, 为球心,所以 三点共线. (10 分) ② 设 ,即 ,
则
设平面 的法向量 ,
由 得 ,即 ,令 ,则 ,
所以
设直线 与平面 所成角为 ,根据题意,
,化简得
解得 或 ,所以 或 分 (少一个数扣一分)
19.
(1) 斜率不为零，设 ，代入 ，得 ，
设 ,则 分
,
当 时， 取最小值 ，(4 分)
抛物线 的方程为: . (5 分)
(2) 设 ,
设直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立方程组 ,整理得 ,可得 ,
同理可得: ，(6 分)
又由直线 的斜率为 ,
直线 的斜率为 ,(7 分)
所以 ,(8 分)
当直线 的斜率存在时,直线 的方程为 ,
联立方程组 ,整理得 ,
可得 ,则 ,(10 分)
综上可得, 的值为 2 . (11 分)
(3)当直线 的斜率不存在时，由对称性可知，直线 的斜率也不存在，
此时 ,则 (12 分)
当直线 的斜率存在时,由 (2)知: ,
则 ,且 ,
所以 与 的正负相同,所以 ,
所以当 最大时, 取得最大值,(13 分)
又由 ,
要使得 取得最大值,显然 ,
由 时, ,当且仅当 时,等号成立,
所以 ，此时 取得最大值 ，(15 分)
又由 的方程为 ,即 ,
由(2)知: ,且 ,
可得 ,则 ,(16 分)
所以直线 的方程为 ,即 . (17 分)

展开更多......

收起↑