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高三数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则
A. B. C. D.
3. 若函数 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为 1,则
A. 2 B. 1 C. D.
4. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角的余弦值为
A. B. C. D.
5. 春节期间，某短视频平台推出了“AI 预测助手”，用于预测观众是否会点赞某个视频. 为了解预测效果，随机抽取部分短视频，统计 AI 助手的预测结果以及观众实际的点赞情况，所得数据如下表:
预测:不会点赞 预测:会点赞
实际:未点赞 120 30
实际: 点赞 20 80
现从 AI 助手预测 “会点赞” 的短视频中随机抽取一个，则该短视频实际被观众点赞的概率是
A. B. C. D.
6. 如图，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在同一个球的球面上,若该球的表面积为 ,圆柱的高为 2,则圆锥的体积为
A. B. C. D.
7. 已知偶函数 在 上单调递增,若 ,则
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线 的实轴和虚轴的长度相等, 的左、右顶点分别为 为 上位于第一象限内的一点,设 ,则 的面积为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,不等式 的解集为 ,则
A.
B.
C.
D. 的极小值点为
10. 已知数列 满足 是 的前 项和,则
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 的前 项和小于 1
11. 在锐角 中，内角 所对的边分别是 ，记 的面积为 ，周长为 ，重心为 ,若 ,则
A. B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上且位于第一象限， 为坐标原点， 设 的平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 _____.
14. 已知正四棱柱 的底面边长为 1,侧棱 为棱 的中点，设平面 过点 且满足 ,则 截正四棱柱 所得截面的面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片. 现将 4 个甲类芯片和 2 个乙类芯片混合放置在一个容器中, 这些芯片外观完全相同.
(1)质检员从中随机抽取 2 个芯片进行破坏性测试，求至少抽到 1 个乙类芯片的概率；
(2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为 ，求 的分布列与数学期望.
16. (15 分)
设数列 的前 项和为 ,已知 是公差为 3 的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求证: .
17. (15 分)
如图,四棱锥 的底面 是菱形, 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(17分)
已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明:当 时， ；
(3)若 ，设 ，且 ，证明: .
19. (17 分)
已知圆 ,过点 且不与 轴重合的直线 交圆 于 两点, 过点 作 的平行线,交直线 于点 .
(1)求点 的轨迹， 的方程.
(2)设 与 交于 两点， 为坐标原点.
( i ) 若 的面积为 ，求 的方程；
(ii) 求 的外接圆的面积 的最小值.
高三数学 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 A
由题可知 ,所以 .
2. 答案
.
3. 答案
由题可知 的最小正周期为 2,即 ,解得 .
4. 答案
因为 ,所以 ,所以 与 的夹角的余弦值为 .
5. 答案
由题表可知，AI 预测助手预测“会点赞”的短视频数为 ，其中观众实际点赞的视频数为 80 ， 所以所求的概率为 .
6. 答案
如图,过圆柱的轴作球的截面. 设球的半径为 ,则 ,解得 . 由题可知 ,则 ,又 ,所以圆锥的体积
7. 答案
因为 ,所以 ,故 ,又易知 ,即 ,所以 . 因为偶函数 在 上单调递增,所以 在 上单调递减,故 .
8. 答案 A
如图. 由题可得 ,则 . 设 ,则 , ,又
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 ABD
由题可知,方程 的根为 (二重根) 和 ,可得 ,即 ,所以 ,故 正确, 错误; 因为 ,所以 5,令 ,得 ,易知极小值点为 ,故 正确.
10. 答案 AD
对于 ,由题可得 ,且 ,故 是首项为 ,公比为 的等比数列,故 正确;
对于 ,由 易得 ,于是 ,又因为 ,所以 , 所以 不是等比数列,故 错误;
对于 ,由 可知 ,所以 显然不是等比数列,故 错误; 对于 ,易知当 时, ,所以 ,设 ,则 ,故 D 正确.
11. 答案 ACD
对于 ,由 ,可得 ,即 ,由余弦定理可得 ,又 为锐角三角形,所以 ,故 正确;
对于 ,由正弦定理,可得 ,因为 为锐角三角形,所以 解得 ,则 , ,故 ,所以 的取值范围为 ,故 B 错误;
对于 ,由余弦定理可得 ,由对 的分析可知 ,所以 ,且 随 的增大而增大,则 ,所以 的取值范围为 ,故 正确;
对于 ,设 的中点为 ,因为 是 的重心,所以 ,在 中,由余弦定理可得
,故当 时, 取得最小值 ,此时 的最小值为 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 答案 80
的展开式的通项为 ,令 ,可得 , 则 ,故 的系数为 80 .
13. 答案 4
由题不妨设 ,则 . 过点 作 于点 ,则 ,所以 ,则 ,所以 ,过点 作 于点 ,则 是等边三角形, ,则 点与 点重合,所以 .
14. 答案
以 为坐标原点,以直线 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题可得 ,不妨设棱 上一点 ,其中 ,则 , ,由 ,可得 ,解得 ,所以 . 由题易知 即为 与平面 的交线,且 . 同理可得 与平面 的交线为 ,且 ,由对称性可知 截正四棱柱 所得的截面为菱形,且此菱形的对角线长分别为 ，故截面面积为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1)设“至少抽到 1 个乙类芯片”为事件 ，则 表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，
则 . (5 分)
(2)由题意知 的所有可能取值为2,3,4,5.
(9 分)
所以 的分布列为
2 3 4 5
(10 分)
(13 分)
16. (1) 因为 ,所以 , (1 分)
又因为 是公差为 3 的等差数列,所以 , (3 分)
即 , (4 分)
当 时, , (6 分)
又 适合上式,所以 的通项公式为 . (7 分)
(2)由(1)知 , (10 分)
所以 ,
所以 . (15 分)
17. 是 的中点，
,且 . (1 分)
在 中，同理可得 . (2 分)
,
. (4 分)
又 平面 . (6 分)
(2)设 与 相交于点 .
以 为坐标原点,直线 分别为 轴,过点 且垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系, 如图,则 . (7 分)
设 .
由 可得 ,
则 . (10 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即 可取 . (13 分)
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分)
18. . (1 分)
① 若 ，则 恒成立， 在 上单调递增. (2 分)
②若 ,令 ,得 . (3 分)
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. (5 分)
(2)当 时， . (6 分)
令 ,则 .
易知 在 上单调递增.
又 ,所以当 时, 单调递减,当 时, 单调递增. (9 分)
故 ,即 .
所以 得证. (10 分)
(3)当 时, 在 上单调递增,且 . (11 分)
因为 ,所以 ,所以 . (13 分)
只需证 ,即证 .
由 知 ,
所以 . (15 分)
又因为 ,所以 ,
所以 ,即 .
因此 ,从而 得证. (17 分)
19.(1) 圆 的方程化为标准方程得 ,所以圆心 ,半径 . (1 分) 由 ,可得 ,
由 ,可得 ,所以 ,故 .
所以 ,符合椭圆的定义, (3 分)
故点 在以 为焦点的椭圆上,且 ,
所以 的方程为 . (5 分)
(2)设 .
( i ) 联立 与 的方程,得 消去 可得 ,
则 . (7 分)
, (8 分)
令 ,解得 或 (舍去),
故 ,
故 的方程为 . (10 分)
(ii) 易知 ,
所以 ,同理可得 . (11 分)
易知点 到 的距离为 ,
所以 . (12 分)
设 的外接圆的半径为 ,
由正弦定理,有 , (14 分)
令 ,则 .
令 ,则 ,
因为 ,所以 ,
则 在 上单调递增. (16 分)
从而当 时, ,
即此时 取得最小值 ,
所以 的外接圆的面积 的最小值为 . (17 分)

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