资源简介

高二数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知函数 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知 是等差数列 的前 项和,且 ,则
A. 20 B. 23 C. 26 D. 29
3. 已知随机变量 服从两点分布,且 ,则
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 有 5 名护士到某医院实习,该医院将这 5 名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室,每个科室至少分 1 人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为
A. 40 B. 90 C. 150 D. 240
6. 已知点 ,在直线 上存在点 ,满足 ,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线,则实数
A. B. 1
C. D.
8. 含甲乙丙的 5 人站成一排，其中甲不能站 最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为
A. 12 B. 16 C. 32 D. 34
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 的展开式的二项式系数之和为 128,则下列结论正确的是
A.
B. 的系数为 560
C. 展开式中各项系数和为 1
D. 展开式中二项式系数最大的项只有第 4 项
10. 在数列 中, ,若 ,则下列结论正确的是
A. 是等差数列 B.
C. 数列 的前 项和为 D. 数列 的前 项和为
11. 某智能系统在进行数据分类时,其准确性受前一次分类结果的影响. 记 表示事件“第 次分类正确”, 表示第 次分类正确的概率. 已知 ,且满足以下条件: 若第 次分类正确,则第 次分类正确的概率为 ; 若第 次分类错误,则第 次分类正确的概率为 . 记 ,则下列结论正确的是
A.
B. 若第 次分类正确,则第 次分类正确的概率为
C. 数列 是等比数列
D. 数列 的前 项和为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 ,则 的单调递减区间为_____.
13. 已知数列 的前 项和为 ,则 的通项公式为_____.
14. 某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动,抽奖方法如下: 袋中各有 5 张奖券,其中 袋中有 2 张一等奖和 3 张二等奖, 袋中有 3 张一等奖和 2 张二等奖,先从装将标有数字 1,2,3,4,5,6 的号签签简中任抽 1 签,若是 1,2,3,4 号签,则从 袋中随机抽取 1 张奖券,若是 5,6 号签,则从 袋中随机抽取 1 张奖券. 已知某顾客抽到了一等奖奖券,则该一等奖奖券来自 袋的概率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 满足 ,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
16. (15 分)
甲、乙两人参加某职业资格考试的面试, 面试官准备了 5 个题目, 每位面试者从中随机抽取 2 个回答, 2 个全回答正确, 则面试合格. 甲这 5 题中有 3 题会 2 题不会, 乙有 4 题会 1 题不会.
(1)求甲、乙面试都合格的概率；
(2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为 ，求 的分布列.
数学(A)第 3 页(共4 页)
17. (15 分)
如图，已知四边形 为矩形，EF//平面 ， ， ， ， 四点共面， ， ， .
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17 分)
已知 是离心率为 的双曲线 的左焦点, 两点在该双曲线上,且关于坐标原点 对称, .
(1)求 的方程.
(2)过点 作斜率为 的动直线 与 的左、右两支分别交于点 ， ，在 轴上存在点 ,使得直线 与 的斜率之和为 0 .
( i )求点 的坐标;
(ii)求 面积的最小值.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上恰有三个零点，求实数 的取值范围；
(3)若 是 在 上不为 1 的两个零点，求证: .
高二数学(A)答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 C
.
2. 答案 A
方法一: 由 ,得 ,由 ,得 ,设公差为 ,则 ,解得 .
方法二: 设公差为 ,由题知 解得 .
3. 答案
因为 服从两点分布,所以 ,结合条件得 . 6 .
4. 答案
令 ,得 ①,令 ,得 ②,①+②,得 ,令 ,得 .
5. 答案 C
先将 5 名护士分成 3 组，每组至少 1 人，不同的分组方法种数为 ,再将这 3 组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室 1 组，有 种方法，根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案种数为 .
6. 答案 A
设 ,化简整理,得 , 点 在以 为圆心, 为半径的圆上,由题知,直线 与圆 有公共点, ,解得 .
7. 答案
由题知, 曲线 在 处的切线方程为 ,即 ,设直线 与曲线 的切点为 ,则 , 得 ,又 .
8. 答案
第1 类,甲在最右端,先将乙丙看成 1 人与其余 2 人即 3 个元素排在甲的左边,有 种不同站法,再排乙丙,乙丙有 种不同站法,根据分步乘法计数原理,此类共有 种不同站法; 第 2 类,乙站最右端,则丙站乙左边与乙相邻,乙丙有 1 种站法,再从除甲外其余 2 人中选 1 人站最左端,有 种不同站法,再安排甲和剩余 1 人有 种站法,根据分步乘法计数原理,此类有 种不同站法; 第 3 类,甲乙丙都不在最右端, 先安排最右端，从除甲乙丙外的 2 人中选 1 人站最右端，有 种不同站法，再安排左端，先将乙丙看成 1 人与除甲外的剩余 1 人共 2 个元素中选 1 个安排在左端，有 种不同安排方法，再安排甲和剩余 1 个元素，有 种不同方法,最后安排乙丙有 种不同方法,此类根据分步乘法计数原理有 种不同站法. 最后,根据分类加法计数原理,共有 种不同站法.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 答案 AC
对于 ,由题知, ,得 ,故 正确;
对于 ,令 ,得 3, 的系数为 ,故 错误;
对于 ,令 ,得 ,故 正确;
对于 展开式中共有 8 项,根据二项式系数的性质知,展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项, 故 D 错误.
10. 答案 BCD
对于 ,且易知 ,又 , 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 错误;
对于 ,由前面的分析知 ,故 正确;
对于 的前 项和为 ,故 正确;
对于 , 数列 的前 项和为 ,故 D 正确.
11. 答案 ABD
由已知得第 次分类正确的概率为 .
对于 ,故 正确;
对于 , 故 B 正确;
对于 ,由 ,得 ,又 ,所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 不是等比数列，故 C 错误；
对于 ,由 项知, ,所以数列 的前 项和为 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案 (写成闭区间也对)
,令 ,解得 .
13. 答案
命题透析 本题考查数列的通项公式.
解析 当 时, ,当 时, ,又当 时, 不满足该式,
14. 答案
设事件 : 抽到 1,2,3,4 号签,事件 : 抽到 5,6 号签,事件 : 抽到一等奖奖券,则 , .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查数列的递推公式与数列求和.
解析 ,
,
数列 是首项为 ,公差为 2 的等差数列, (3 分)
,
. (6 分)
(2)由(1)知 ,① (7 分)
,② (8 分)
①-②，得 (9 分)
(11 分)
, (12 分)
. (13 分)
16.(1) 设事件 :甲面试合格,事件 :乙面试合格,事件 :甲、乙面试都合格,
由题知, 相互独立, , (1 分)
, (3 分)
,
甲、乙面试都合格的概率为 . (5 分)
(2)由题知，随机变量 的所有可能取值为1,2,3,4， (6 分)
,
(14 分)
的分布列为
1 2 3 4
12 25 9 50
(15 分)
17. (1) 平面 平面 ,平面 平面 ,
. (2 分)
四边形 是矩形,
, (3 分)
,
平面 ， (5 分)
平面 . (6 分)
(2)由(1)知， ，
，
平面 ,
,故 两两互相垂直. (8 分)
以 为坐标原点,向量 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系 ,如图.
设 ,则 ,
. (10 分)
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,得 ,
平面 的一个法向量为 . (12 分)
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
直线 与平面 所成角的正弦值为 . (15 分)
18. (1)设双曲线 的右焦点为 ,连接 .
由题意知,四边形 是平行四边形, ,
. (2 分)
离心率 半焦距 , (3 分)
, (4 分)
的方程为 . (5 分)
(2)(i)设 ，
代入 ，整理得 ，
解得 ,
. (8 分)
设 ,则 , (9 分)
,
即 , (11 分)
要使上式在 时恒成立,则 ,
. (12 分)
(ii) 由 (i) 知，
, (13 分)
点 到直线 的距离为 ,
, (14 分)
设 ,
. (15 分)
设 ,由对勾函数的性质知, 单调递增,
,
,
，
故 面积的最小值为 . (17 分)
19. (1) 由题知, 的定义域为 ,
(1 分)
若 ,当 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增; (2 分)
若 ,则 ,当 或 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增; (3 分) 若 ,则 在区间 上单调递增; (4 分)
若 ,则 ,当 或 时 ,当 时, ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
综上所述,当 时, 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在区间 上单调递增; 当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,在 上单调递增.
(5 分)
(2) 由 (1) 知 ,
显然 是 的一个零点. (6 分)
设 ,则 .
若 ,则 ,
在区间 上单调递增,
最多有 1 个零点,即 最多有 2 个零点,不满足题意. (7 分)
若 ,当 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递减,在区间 上单调递增,
,当 时, ,
要使 在 上恰有 3 个零点,则 需有 2 个不为 1 的零点,
则 解得 . (9 分)
设 ,则 ,
设 ,则 在区间 上单调递增,
,
在区间 上单调递增,
,
存在 ,使得 ,即 ,
实数 的取值范围为 . (11 分)
(3)由(2)知， ， 是 的不为 1 的零点，也是 的零点，
要证 ,只需证 , (12 分)
而 ,且 在 上单调递减,
故只需证 ,
又 只需证 ,
即证 . (14 分)
令 ,
即 ,
则 (当且仅当 时取等号),
在 上单调递增. (15 分)
由 ,可得 ,即 ,
, (16 分)
又 在 上单调递减,
,即 ,得证. (17 分)

展开更多......

收起↑