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高二数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:人教 A 版选择性必修第一册至选择性必修第三册第七章 7.2 。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 若定义域为 的函数 的导函数为 ,则
A. B. C. D.
2. 已知函数 的极值点为 0，则
A. 0 B. C. D.
3. 在数列 中, ,则
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
4. 从三棱台的 9 条棱中选 2 条, 则这 2 条棱不平行的选法种数为
A. 32 B. 33 C. 34 D. 36
5. 已知过原点 的直线 与函数 的图象相切,则 的斜率为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 某彩凤穿花纹碗如图 1 所示, 其轴截面 (不含碗的底座) 如图 2 所示, 已知该碗的底座高为 ，曲线 均是焦点到准线的距离为 的抛物线的一部分，则该碗的高度为
图 1
图 2
A. B. C. D.
7. 某人工智能实验室有 6 名研究员，将他们分配到 3 个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入 1 个项目，且每个项目至少需要 1 名研究员，则不同的分配方案数为
A. 540 B. 600 C. 480 D. 720
8. 已知平面内的两个动点 连线的中点在圆 上, 是直线 上的一个动点,且 ,则 的最小值为
A. 9 B. 7 C. -3 D. -1
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9. 甲、乙两个箱子中各装有 5 个球, 其中甲箱中有 4 个红球、 1 个白球, 乙箱中有 3 个红球、 2 个白球. 第一次从甲箱中随机摸出 1 个球, 放入乙箱, 第二次从乙箱中随机摸出 1 个球, 放入甲箱, 则
A. 第一次摸出红球的概率为
B. 第一次摸出白球的概率为
C. 在第一次摸出红球的条件下,第二次摸出红球的概率为
D. 在第一次摸出白球的条件下,第二次摸出红球的概率为
10. 已知首项为 3 的数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 是等比数列
B.
C. 是等比数列
D. 的前 项和小于 1
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是
A. 是奇函数 B. 存在 ,使得 只有 1 个零点
C. 存在 ,使得 恰有 3 个零点 D. 存在 ，使得 恰有 5 个零点
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知公差为 1 的等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____▲_____
13. 已知 是双曲线 的右焦点,关于原点对称的两点 均在 上，且 ，则 的离心率为_____▲_____.
14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有_____▲_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
4 月 6 日, 河南郑州街头出现人形机器人“店员”, 为顾客提供智能售卖服务. 已知每次独立执行高难度动作时, A 机器人成功的概率为 0.9 , 失败的概率为 0.1, B 机器人成功的概率为 0.8 , 失败的概率为 0.2 .
(1)若从 A，B 两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率;
(2)若 机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为 ，求 的分布列.
16. (15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，使得 成立，求 的取值范围.
17. (15 分)
已知 .
(1)证明: .
(2)求 的值.
(3)证明: 能被 147 整除.
18. (17分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上位于第一象限的点, ,点 在 上, 分别为 的左、右顶点.
(1)求 的方程.
(2)设 为坐标原点，直线 与 交于 ， 两点,将坐标平面沿 轴翻折成一个直二面角,如图所示.
( i )当 时,在翻折前,线段 的中点为 ,求翻折后 时二面角 的余弦值；
(ii) 若 ，翻折后， ，求 的面积.
19. (17 分)
若数列 满足 ,则称 为 “ -拟等差数列”; 若数列 满足 ,则称 为 “ -拟等比数列”.
(1)若数列 既是“2-拟等差数列”,又是“4-拟等比数列”,且 ，求 的通项公式.
(2)已知 ， ， ，数列 是“ -拟等比数列”， 的前 项和为 .
( i )证明:存在 ，使得 是“ -拟等差数列”.
(ii) 证明: .
高二数学参考答案
1. A .
2. ，因为 ，所以 . 经检验，当 时， 的极值点为 0 .
3. 由 ,得 . 由 ,得 . 由 ,得 . 依次类推, .
4. B 从三棱台的 9 条棱中造 2 条的选法种数为 ，在三棱台中，共有 3 对棱平行，所以所求的选法种数为 .
5. ,设切点的横坐标为 ,则 得 ,则 , 所以 的斜率为 .
6.C 如图,以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系,则该抛物线的方程为 . 设 , ,易得 ,则 ,所以该碗的高度为 .
7. A 将 6 个人分成 3 个组,每组至少 1 个人,则分组方案有2,2,2或者 1,1,4 或者1,2,3三类,故不同的分配方案数为 .
8. D 取 的中点 ,则 . 圆心 到 的距离为 ，此时 取得最小值，且最小值为3， 取得最小值,且最小值为 . 故 的最小值为 .
9. ABD 用事件 分别表示第一次摸出红球、白球,用事件 分别表示第二次摸出红球、白球. 正确, 正确. , 错误, 正确.
10. 由 ,得 . 因为 ,所以 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 正确. 由 ,得 ,所以 , B 正确. 当 时, ,则 所以 不是等比数列, 错误. 设 的前 项和为 ,因为 ,所以 正确.
11. 因为 ,所以 不是奇函数, 错误. 令 ,得 . 设函数 ,易得 的定义域为 . 因为 ,所以 为奇函数. . 当 ,且 时, ,得 ,得 在 上单调递减,所以 在 上只有 1 个零点, B 正确. 令 ,得 . 设函数 . 如图,当 时,易得 与 为反函数, ,此时 与 的图象在原点 处的切线均为直线 . 当 时, ,此时 在 上有 1 个零点,所以 在 上有 3 个零点, 正确. 不可能有 5 个零点, D 错误.
12.3 由 ,得 .
13. 设 的左焦点为 ,连接 (图略). 易得 ,则 ，得 ，所以 的离心率为 .
14.13020 因为两端都涂红色,所以中间 4 个方格也可以涂红色.
当中间 4 个方格中有 2 个方格涂红色时,涂红色的位置有 3 种选择,剩下的有 种选择,所以有 种涂色方法.
当中间 4 个方格中只有 1 个方格涂红色时,涂红色的位置有 4 种选择,剩下的有 种选择,所以有 种涂色方法.
当中间 4 个方格都不涂红色时,有 种涂色方法.
综上,不同的涂色方法共有 种.
15. 解: (1) 用事件 分别表示选用 型号的机器人独立执行高难度动作,用事件 表示机器人成功,则 , 3 分由全概率公式得 . 6 分
(2)由题意得 的取值可能为 0,1,2 . 7 分
8 分
10 分
12 分
的分布列为
0 1 2
0.02 0.26 0.72
13 分
16. 解: (1) . 1 分
当 时, ,则 在 上单调递增. 3 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 4 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 5 分
当 时,令 ,得 或 ,令 ,得 , 6 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 7 分
(2)当 时， 在 上单调递增， 8 分
则 ,不符合题意. 10 分
当 时, , 13 分
解得 . 14 分
故 的取值范围为 . 15 分
17.(1)证明:令 ，得 ， 2 分
令 ,得 , 4 分
所以 . 5 分
(2)解:因为 为 的展开式各项系数之和, 7 分
所以 , 9 分
所以 . 10 分
(3)证明: 由 ，
得 ,
即 , 12 分
令 ,得 , 14 分
因为 能被 147 整除,所以 能被 147 整除. . 15 分
18. 解:(1)由题意得 ，即 ， 1 分
因为点 在 上,所以 , 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(i)依题意得 ，由
得 , 4 分
所以 , 5 分
解得 或 (舍去),
将 代入 ，解得 或 ， 6 分 ,翻折后,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 . 7 分设平面 的法向量为 ,则 令 ,得 . 9 分易得平面 的一个法向量为 . 10 分设二面角 的平面角为 ，由图可知 为锐角，
,所以二面角 的余弦值为 . 11 分
(ii) 由 得 ,得 .
翻折后, ,
则 , 12 分
， 13 分
解得 . 14 分
. 17 分
19.(1)解:因为 是“2-拟等差数列”，所以 ，则 是等差数列，设 的公差为 . 1 分
又 是 “ 4 -拟等比数列”,所以 ,
即 ,即 . 2 分
当 时,由 ,得 ; 3 分
当 时,由 ,得 . 4 分
(2)证明:(i)由“ -拟等比数列”的定义，取 ，得 ，即 ，得 ,所以 . 5 分由 可得 , 6 分
即 ,即 . 7 分
所以 是常数列, ,即 ,即 是 “ -2-拟等差数列”. 8 分
(ii) 由 ,得 ,可知 是等比数列,首项为 ,公比为 -1,故 . 9 分
当 为奇数时, ;
当 为偶数时, . 10 分
所以当 为奇数时, ; 11 分
当 为偶数时, . 12 分
设 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 所以 ,即 ,当且仅当 时,等号成立. 13 分取 ,其中 ,则有 ,即 ,即 ,则 1) . 15 分
当 为奇数时, . 16 分
当 为偶数时, . 综上, . 17 分

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