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高一年级 4 月测评 数 学
(试卷满分: 150 分, 考试时间: 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号; 回答非选择题时，用 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 角的终边在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在 中, ,则
A. B. C. 45°或 D. 或
3. 下列关于平面向量描述正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则向量 与 的夹角为锐角
C. 若 ,则
D. 若 为非零向量，则 与 的方向相同
4. 已知扇形的面积为 ，弧长为 ，则此扇形的圆心角 的弧度数为
A. 2 B. C. 3 D. 4
5. 已知在 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,则
A. B. C. D.
6. 已知函数 有最小值且无最大值,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 太行山在河南的最高峰——济源斗顶，远近闻名. 如图，某校高一年级数学实践小组为了测其高度. 在山脚 测得山顶 的仰角为 ,沿倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处,在 处测得山顶 的仰角为 ,若 ,则山高 为 (图中的点 均在同一个铅直平面内)
A. B.
C. D.
8. 如图，在四边形 中， ， ，设 ， ， 则
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 的最大值是 3，最小值是 -3
B. 两个相邻的对称轴之间的距离为
C. 的图象关于点 对称
D. 将 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数是奇函数
10. 已知 ,则
A. 向量
B. 与向量 垂直的单位向量坐标为 或
C. 若 ,则
D. 在 上的投影向量的坐标为
11. 在 中,角 所对的边分别为 且 ,下列说法正确的是
A.
B. 若 且 有两解,则
C. 若 ,则 为等腰直角三角形
D. 若 ，则 面积的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 的最小正周期为 ，则 _____.
13. 已知向量 ，若 和 的夹角为 ，则 _____.
14. 已知 分别为 三个内角 的对边,且 的面积为 为 的中点，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知角 的始边为 轴非负半轴,终边过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知向量 .
(1)当 时，求实数 的值；
(2)当 时，求向量 与 的夹角的余弦值.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在 中，点 ， 在边 上，且 . 设 ， .
(1)用 表示 ；
(2)若 ，求 .
18. (本小题满分 17 分)
已知 (其中 )，相邻两个对称中心之间的距离为 .
(1)求函数 的解析式及其对称轴；
(2)求不等式 的解集；
(3)若关于 的方程 在 上有四个不相等的实数根， 求实数 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
在 中,内角 所对的边分别为 , ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ， 是钝角三角形.
(i) 求 的范围;
(ii) 若点 在 上,且 为 的角平分线,求 的取值范围.
高一年级 4 月测评 - 数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A C B A A
题号 9 10 11
答案 AC BC ACD
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
角的终边在第四象限,所以 角的终边在第四象限,故选 D.
2.【答案】B
在 中, ,由正弦定理得: ,则 ,因为 ,所以 ,则 ,故选 B.
3.【答案】D
对 ,向量不能比较大小,所以 错误; 对 ,当 时, 与 的夹角可以为 ,所以 错误; 对 ,当 时, 和 可以是任意向量,所以 错误; 对 为 的同方向单位向量,所以 正确. 故选 D.
4.【答案】A
设扇形的半径为 ,弧长为 ,则 ,则 ,故选 A.
5.【答案】C
因为 ,由正弦定理得: ,所以 ,所以 ,又因为 ,所以 . 故选 C.
6.【答案】B
函数的最小正周期是 4,结合函数 的图象可知, ,得 . 故选 B.
7.【答案】A
因为 ,又因为 ,所以 , ,所以 . 在 中, , 由正弦定理得: ，即 ，解得 . 在 Rt 中， ， ,所以 ,故选 A.
8.【答案】A
连接 ,因为 ,所以 ,即 ,又因为 ,
所以 ,因为 ,所以 ,所以 . 故选 A.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.【答案】
正确;
的最小正周期是 ，相邻对称轴之间的距离是半个周期，距离为 ，所以 错误；
,所以 的图象关于 成中心对称, 选项正确;
将 的图象向右平移 个单位长度后得到 并不是奇函数, D 错误,故选 AC.
10.【答案】BC
对 ,因为 ,所以 ,所以 错误;
对 ,因为 ,先找一个与 垂直的向量 ,不妨取 ,所以与向量 垂直的单位向量即为: 或 ,又因为 ,所以与向量 垂直的单位向量坐标为 或 ,所以 正确; 对 ,设 ,则 ,所以 ,解得 ,所以 ,所以 正确;
对 ,所以 在 上的投影向量为: ,所以 D 错误. 综上, 故选 BC.
11.【答案】
由 ,得 ,又
1,所以 ,故 A 正确;
由正弦定理得 ,即 ,又 有两解,所以 ,故 错误;
由 ,知 ,则 ,此时 为等腰直角三角形,故 正确;
若 ,则由余弦定理得 ,所以有 ,即 ,当且仅当 时取等号, 的面积为 ,故 D 正确. 故选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】
.
13.【答案】-35
因为 ,所以 ,又因为 ,若 和 的夹角为 ,所以 ; 因为 ,所以 ,所以 ,则 .
14.【答案】
原式等价于 ,又 ,所以 ; 因为 的面积为 ，所以 ，即 ，所以 ；因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】
(1) 由题意可知 ,所以 ; 6 分 (2)原式 . 13 分
16.【答案】
(1) 由题意可得 , 3 分因为 ,所以 ; 7 分
(2) ， 8 分
因为 ,所以 , 10 分
所以 , 11 分
所以 , 13 分
即向量 与 的夹角的余弦值为 . 15 分
17.【答案】
(1)因为 ,
所以 ; 3 分
6 分
(2)因为 ，
即 ,所以 . 8 分
10 分
,所以 , 12 分
所以 . 15 分
18.【答案】
(1) 因为 ,所以 ,
因为两个相邻对称中心之间的距离为 ,
所以有 ,解得 , 2 分
则 , 3 分
令 ,解得 ,
故 的对称轴方程为 ; 5 分
(2)由 ，因此 ， ，即 ， 7 分
所以 ,得 ,
故不等式 的解集为 ; 10 分
(3)由 ,得 ,故 ,
因此函数 的值域为 ,设 ,
要使关于 的方程 在 上有四个不相等的实数根, 12 分
当且仅当关于 的方程 在 上有两个实数根, 13 分
令 ,
有 ,可得 . 所以实数 的取值范围为 17 分
19.【答案】
(1) 因为 ,
所以 , 1 分
所以 , 2 分
由正弦定理得: ，
因为 ,化简得: , 3 分
因为 ,所以 ; 4 分
(2)(i)由正弦定理 ( 为 外接圆的半径)，
得 , 5 分
所以 转化为: ,解得 , 6 分
所以 ,
所以 ,
因为 是钝角三角形,且 ,则 或 为钝角,且 . 7 分
当 为钝角时,则 ,所以 ,此时函数 单调递减, ,
所以 ; 9 分
当 为钝角时,则 ,所以 ,此时函数 单调递增, ,
所以 .
综上, ; 10 分
(ii) 因为 为 的角平分线,所以 ,
因为 ,所以 ,
即 ,所以 , 11 分
在 中,由余弦定理,得 ,
再由 ,得 , 12 分
所以 , 13 分
所以 , 14 分
令 ,由 (i) 知, ,
所以 , 15 分
令 ,因为 在 上单调递增, 16 分
所以 ,则 . 17 分

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