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高二年级 4 月测评 数 学
(试卷满分:150 分，考试时间:120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 河南集历史人文与自然风光于一体，旅游资源丰富，核心景点有洛阳龙门石窟，洛阳老君 山，登封少林寺，开封清明上河园，开封万岁山武侠城. 小张和小王准备从以上 5 个景点 中各自选择一个去游玩, 则选择方案种数为
A. 30 B. 25 C. 20 D. 10
2. 函数 在区间 上的平均变化率为
A. 1 B. C. 2 D. 3
3. 已知向量 ，且 与 垂直，则 的值为
A. -2 B. -1
C. D.
4. 已知数列 为等差数列,若 ,则
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
5. 若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则长轴长为
A. B. 12 C. D. 24
6. 如图,在三棱锥 中, 为 的中点, ,则
A.
B.
C.
D.
7. 已知双曲线 ,过原点 作直线 与双曲线 交于 两点,设双曲线 的左、右焦点分别为 ,若 ,则 的面积为
A. B. C. D.
8. 已知函数 有两个极值点 ,且 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知直线 与圆 相交于 两点， 是圆 上一动点,则
A. 圆 的圆心坐标为 B.
C. 点 到直线 的最大距离为 D.
10. 下列说法正确的是
A. 已知 ,则 的取值为 1 或 3
B. 635 除以 8 的余数为 7
C. 由2,3,3,3,4,5这六个数字组成的不同六位数共有 720 个
D. 将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，则共有 35 种不同放法
11. 已知等比数列 的各项均为正数,公比为 ,记数列 的前 项积为 ,且 , ,则下列正确的是
A. B.
C. 当 时, 取最大值 D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直，则实数
13. 已知 为抛物线 上的任意一点， 为抛物线的焦点，点 的坐标为 ，则当 取得最小值时，点 的坐标为_____.
14. 已知关于实数 的方程 有两组实数解,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
(1)已知 ,化简 ,并计算 时的值;
(2)在(1+x) 的展开式中， 的系数等于 的系数的 5 倍，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
17. (本小题满分 15 分)
已知数列 满足: .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
18. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 中， 为正三角形， ， .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若 ，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的长.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，坐标原点 到直线 的距离为 ， 的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过椭圆 右焦点 且不与 轴重合的直线 与椭圆 交于 ， 两点.
(i) 求 面积的最大值以及此时直线 的方程;
(ii) 若直线 分别与 轴交于 两点,证明: 为定值.
高二年级 4 月测评 - 数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C B C
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】B
由题意共有 种. 故选 B.
2.【答案】A
由题意可知 ,故选 A.
3.【答案】D
因 ,则 ,因 与 垂直,则 ,得 ,故选 D.
4.【答案】C
因为数列 为等差数列,所以 ,则 ,所以 , 故选 C.
5.【答案】A
因为焦点在 轴上, ,所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以椭圆的长轴长为 ，故选 A.
6.【答案】C
因为 为 的中点,所以 ,因为 ，所以 ，故选 C.
7.【答案】B
如图,由双曲线的对称性可知四边形 为平行四边形,由 ,则 ,不妨设 在双曲线的右支上,设 ,又 ,由双曲线的定义可得 ,在 中,由余弦定理可得, ,即 ,解得 ,所以 . . 故选 B.
8.【答案】C
,定义域为: ,因为函数 有
两个极值点,所以 有两个不相等的正根,并且这两正根分别为 ,则有 ,解得 -2,所以选项 A 错误;
当 或 时, ; 当 时, ,所以函数 的单调递增区间为: ; 单调递减区间为: .
因为 ,且 ,所以 ,所以 ,且 ,即 ,故 错误, 又因为 ,所以 , 所以 ,所以选项 正确. 综上,故选 .
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分 选对的得部分分,有选错的得 0 分.
9.【答案】BC
圆 的方程为 ,其圆心坐标为 ,故 错误;
圆心 到直线 的距离 ,故 正确；
点 到直线 的最大距离为圆心到直线 的距离与半径之和,即 ,故 正确;
在 中, ,则 ,故 D 错误,故选 BC.
10.【答案】
对于 ,由组合数的性质 ,得 或者 ,则 或 ,故 正确; 对于 B，因为 ，又 ,所以余数为 7,故 正确;
对于 ,由2,3,3,3,4,5这六个数字组成的不同六位数共有 个,故 错误;
对于 ,将 8 个相同小球放入 4 个不同盒子中，每个盒子至少放一个小球，采用隔板法， ，故 正确，故选ABD.
11.【答案】BCD
因为等比数列 的各项均为正数,所以 ,
因为 ,所以 ;
,所以 ,因为 ,所以 ,则 且 ,又因为 , 故 ,当 时, 取最大值,所以选项 正确,选项 错误;
因为 ,因为 ,所以 ,即 ,所以选项 D 正确. 综上,故选 BCD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】
由 ,得 ,因为函数 的图象在 处的切线与直线 垂直,所以 ,则 .
13.【答案】
抛物线 的准线方程为 ,过点 作 ,垂足为 ,由抛物线定义可知 ,所以 ,当 时, 取得最小值,所以 ,则 , 此时点 的坐标为 .
14.【答案】
不妨令 ,此时有 ,即点 与点 到直线 的距离 相等，且存在两条这样的直线. 此时 或者 过 中点. ,当 过 中点时, ,当 时,只有一条直线满足; 当 时, 时 与 为同一条直线,则要使得存在两条直线,必然有 ,由于 不过原点,则过原点且与 平行时只有一条,直线 ,则 ,所以 的取值范围为 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】
, 4 分当 时, ; 6 分
(2)由二项式定理可知, 的系数为 的系数为 ，故 ， 9 分
即 ,所以 ,解得 或 7, 12 分
而 且 ,故 . 13 分
16.【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 (2)
(1) 由题意可知 ,则 , 2 分
当 时, 恒成立, 在 上单调递增, 4 分
当 时,由 解得 ,由 解得 , 5 分
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 6 分
综上所述,当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减; 7 分
(2) ，在 上恒成立， 9 分
即 在 上恒成立,只需 即可, 10 分
令 ,则 , 12 分
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时, 在 上单调递减, 14 分
所以 ,即 ,则 的取值范围为 . 15 分
17.【答案】(1)详见解析(2)
(1) 时, ,解得 , 2 分
时, ,化简得 , 4 分
又 , 5 分
所以 是以 1 为首项, 为公比的等比数列; 6 分
(2)由(1)可知: ， 7 分
所以 9 分
, 11 分
所以 13 分
. 15 分
18.【答案】(1)详见解析(2)
(1) 取 的中点 ,因为 ,所以 , 1 分
在 中，由余弦定理得 ， 3 分
因为 为等边三角形,所以 , 4 分
在 中, ,所以 , 5 分
因为 ，所以 平面 ， 6 分
因为 平面 ,所以平面 平面 ; 7 分
(2)以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
因为 ，所以点 在以点 为圆心，半径为 2 的圆上，所以 ， 9 分由题设得 ,
设 ,故 ,则 . 10 分
设平面 的法向量 ,平面 的法向量 ,
则 ,即 ,
可取 , 12 分记平面 与平面 的夹角为 ,
则 , 14 分
化简得 ,且 ,所以 , 16 分
所以 ,即 . 17 分
19.【答案】( 1 ) ( 2 )( i ) 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 或 _____。 (ii) 详见解析
(1) ,所以 , 1 分
因为坐标原点 到直线 的距离为 ，所以 ①， 2 分
又因为 的面积为 ,所以 ,即 ( 3 分
由 ① ② 及 得， ， ，所以椭圆 的方程为: ； 4 分
(2)(i)由(1)知焦点 的坐标为 ，
因为直线 的斜率不为 0,则可设直线 的方程为 , 5 分
联立方程组 ,消去 ,得 , 6 分
设 ,则 , 7 分
, 8 分
令 ,则 ,当且仅当 时,等号成立,即 面积的最大值为 . 10 分
令 ,解得 ,所以此时直线 的方程为 或 ; 11 分 (ii) ,直线 的方程为: ,
令 ,所以 ,则 ; 13 分
直线 的方程为: ,令 ,所以 ,则 15 分所以
所以 为定值,且定值为 . 17 分

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