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数 学
时间 120 分钟, 满分 150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1. 复数 的虚部为
A. -5 B. -6 C. 5 D. 6
2.若全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.{2}
3. 一组从小到大排列的数据:2，8，x，18，22. 若它们的第 60 百分位数比平均数大 2，则 的值为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4. 已知 的内角 所对的边分别是 ,若 ,则 的值为
A.2√2 B.
C. D.
5. 已知点 到点 的距离为 ,则 的最小值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6. 已知数列 是等比数列, ,则 “对任意的正整数 都有 ” 是 “数列 是单调递增数列” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知 是定义在 上的函数, ,当 时, 5-2x,则
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
8. 已知函数 有两个极值点,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 函数 的最小值为
B. 点 是函数 图象的一个对称中心
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到
10. 已知棱长为 2 的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点,则
A. 正方体 的外接球半径为
B. 四点共面
C. 直线 与 所成角的余弦值为
D.过直线 的平面截正方体 的外接球所得的所有截面圆中,半径最小的圆的面积为
11. 已知 是椭圆 的两个焦点,点 在椭圆 上, 是椭圆 上的动点, 轴,垂足为 ,且点 为 的中点, 轴,垂足为 , 且点 为 的中点,则
A. B. 的最小值为
C. 面积的最大值为 D. 面积的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知向量 与向量 满足 ，则 _____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 都在抛物线 上，抛物线 的准线与 轴交于点 . 若 ，则 _____.
14. 将十进制整数转换为二进制整数采用除 2 取余, 逆序排列法. 步骤是: 用 2 整除十进制整数, 可以得到一个商和余数; 再用 2 去除商, 又会得到一个商和余数, 如此进行下去, 直到商小于 1 为止; 最后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位, 后得到的余数作为二进制数的高位有效位,依次排列起来.
例如,将十进制数 5 转化成二进制数 ,即十进制数 5 转化成二进制数为 101 ; 十进制数 13 转化成二进制数 ,即十进制数 13 转化成二进制数为 1101 .记 为十进制中正整数 的二进制表示中数字 1 的个数,例如 , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分) 袋中装有标有数字 1 到 6 的 6 个大小、形状相同的小球, 从袋中任取 3 个小球, 每个小球被取出的可能性都相等,用 表示取出的 3 个小球标号的最大数字.
(1)求随机变量 的分布列及数学期望；
(2)已知取出的 3 个小球的标号和为偶数,求 的概率.
16.(15分)已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， 其中 .
(1)求公差 及 的值；
(2)设数列 ，数列 的前 项和为 ，求 .
17. (15分)如图1， 为半径为2的圆 的直径，点 ， 为圆 上的两点，且 ， . 如图 2,将圆 沿 翻折， 为线段 上的一点,连接 ， ， ， .
(1)若 ， 为 的中点，证明: ；
(2)若平面 平面 ,求二面角 的余弦值.
图1
图2
18.(17分)若(3 + 2 ，点 ，双曲线 .
(1)写出 ， 的坐标，并证明:对任意 ，点 在双曲线 上；
(2)设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，记 的面积为 为坐标原点 ,求证: 为定值;
(参考公式:设三角形的三个顶点分别为 ,则三角形的面积 .
(3)证明: .
19.(17 分) 已知函数 ,函数 .
(1)讨论函数 的单调性并求最值；
(2)若对 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)已知 ，证明: .
数学参考答案及评分意见
1.B 的虚部为 -6. 故选 B.
2.D . 故选 D.
3. A 这 5 个数据的第 60 百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数,即 . . 故选 A.
4.B 由正弦定理,得 . 故选 B.
5.D 由题意得,点 的轨迹方程为 ,点 的轨迹方程为 .
゛圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径, 的最小值是 . 故选 D.
6.C 是等比数列, ,
.
是等比数列, 是单调递增数列, .
“对任意的正整数 都有 ” 是 “ 是单调递增数列” 的充分必要条件. 故选 C.
7.D . 两式相加,得 , 是周期函数,且 . 故选 D.
8.A 由题意 .
有两个极值点, 有两个异号零点,即 有两个根.
令 ,则 直线 与 的图象有两个交点.
若直线 与 的图象相切，则设切点为 . 由于 ，则切线的斜率为 ，
切线方程为 ,即 ,解得 .
要使直线 与 的图象有两个交点, . 故选 A.
9. AB 对于 ,当 时,函数 取得最小值,为 ,故 正确. 对于 ,当 时, ,故 正确. 对于 ,令 函数 在区间 上单调递减,故 错误. 对于 的图象向左平移 个单位长度得到 ,故 错误. 故选 AB.
10.AC 对于 A，正方体 的外接球半径 ，故 A 正确.
对于 ,设 的中点为 . 因为 四点共面,点 不在平面 内,所以 四点不共面，故 B 错误.
对于 ,如图,连接 ,则 在 中, ,故 正确.
对于 ,如图,连接 ,记 为 的中点,过点 作 的垂线,交 于点 .
在 中, ,则 ,所以
过直线 的平面截正方体 的外接球所得的所有截面圆中,半径最小为 ,所以半径最小的圆的面积为 ,故 错误. 故选 AC.
11.ACD 对于 点 在椭圆 上， ，解得 ， ，
,故 A 正确.
对于 ,设点 ,则 . 将点 的坐标代入椭圆的方程 ,得 ,
即 , 点 的轨迹方程为 ,则 的最小值为点 到圆心的距离减去半径,
即 ,故 B 错误.
对于 ,由 可知, ,则当 时, 的面积最大,
为 ,故 正确.
对于 ,由椭圆对称性,设点 在第一象限, ,
.
,当且仅当 时,等号成立,
面积的最大值为 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12. ,解得 .
13. 点 到准线的距离为 点 是线段 的中点.
点 到准线的距离为 .
为线段 的中点, 为 的中位线, .
在等腰三角形 中,点 . 将点 的坐标代入抛物线的方程,得 ,
.
14.192 数1表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数为 1 ;
数1,2,3表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数和为 ;
数1,2,3,4,5,6,7表示成二进制为 ,出现数字 1 的个数和为 ;
......；
数 表示成二进制,所有出现数字 1 的个数和为 .
所以 .
15. 解: (1) 随机变量 的所有可能取值为3,4,5,6,
则 ,
4 分
所以 的分布列为
3 4 5 6
5 分
所以 . 7 分
(2)记事件 为“取出的 3 个球的标号和为偶数”,事件 为“ .
由题意得, , 9 分
11 分
由条件概率公式,得 . 13 分
16. 解: (1) ,
, 2 分
. 4 分
,
. 6 分
(2)由(1)得， ， . 8 分
又 的周期 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ;
当 时, ,其中 . 11 分
在一个周期内,
,
13 分
数列 的前 20 项为 5 个完整的周期, . 15 分
17.(1)证明:取 的中点 ，连接 ， .
分别为 的中点,
. 2 分
又 是圆 的直径, .
. 4 分
又 平面 平面 . 5 分
平面 . 6 分
(2)解: .
故以 为坐标原点,分别以 所在直线,过点 且垂直于平面 的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 7 分 .
则 ,
. 9 分设平面 的法向量为 ,
则 令 ,则 ,
. 11 分
设平面 的法向量为 ,
则 令 ,则 ,
. 13 分
. 14 分
由图知二面角 为锐二面角, 二面角 的余弦值为 . 15 分
18.(1)解:当 时， ,
. 1 分
当 时, ,
. 2 分
,
4 分
,
任意 ,点 在双曲线 上. 6 分
(2)证明:由(1)知
设直线 的斜率为 ,
则直线 的方程为 ,且 . 8 分
不妨设 是直线 与直线 的交点,
是直线 与直线 的交点.
联立 得 . 9 分
联立 得 . 10 分
,
. 12 分
,
.
即 的面积 为定值. 14 分
(3)证明: , 15 分 16 分即 . 17 分
19.(1)解:由题意可得 的定义域为 ， . 1 分
当 单调递增,当 单调递减.
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 3 分
有最大值 ,无最小值. 4 分
(2)解:由题意， 对 恒成立，且 .
,且 .
令 ,则 ,且 .
令 ,则 ,且 . 6 分
① 当 ，即 时，有 在 上单调递增，
在 上单调递增, .
在 上单调递增, 成立. 7 分
② 当 时， ， ，且 ， 单调递增，
,有 当 时, 单调递减, .
在 上单调递减, 单调递减,
,与题干矛盾,舍去. 8 分
③ 当 时， ， 当 ， ， 单调递减，则 ，
单调递减, 单调递减, ,舍去. 9 分
综上,实数 的取值范围为 . 10 分
(3)证明:由(1)可知 ， ， ，即 .
令 ,则 ,
. 12 分
又 ,即 .
则 ,
......,
,
,右式得证. 14 分
下证左式: 由 (2) 可知 .
由 (1) 可知 ,即 . 15 分
又
,
......,
.
所以上式得证. 17 分

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