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2025 学年第二学期台州十校联盟期中联考 高一年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后, 只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求.
1. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在 中,角 的对边分别是 ,已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 如图， ， ，设 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
4. 如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，已知 则四边形 的周长为( )
A. B.
C. D.
5. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 ，则圆锥的体积为( )
A.
B. C. D.
6. 在 中，" " 是 " 是锐角三角形" 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，在正方体 中， 为 中点， 为线段 上一动点,过 的平面截正方体的截面图形不可能是( )
A. 三角形 B. 矩形
C. 梯形 D. 菱形
8. 如图，在梯形 中， ， ， ，点 ， 分别在线段 上运动且 ，求 的最大值()
A. 2
B.
C.
D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 满足 ，则( )
A. 的实部是 -1 B. 的虚部是 -2
C. D. 在复平面内所对应的点位于第二象限
10. 已知两条不同的直线 ，两个不同的平面 ，则下列命题为真命题的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 在 Rt 中，斜边 ， 为 中点， 的角平分线交 于点 ， 与 交于点 ,下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 为定值
非选择题部分
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每题 5 分, 共 15 分.
12. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 _____.
13. 已知 ， ， ，则 在 上的投影向量为_____.
14. 在三棱锥 中,三条棱 两两垂直,且 . 若点 为三棱锥 的外接球球面上任意一点，则点 到平面 距离的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 设复数 .
(1)若 是实数，求 ；
(2)若 是纯虚数，求 .
16. (15 分)已知平面向量 ，其中 .
(1)若 为与 方向相同的单位向量，求 的坐标；
(2)若 且 与 垂直，求向量 夹角的余弦值.
17. (15 分)如图，圆柱 轴截面 是边长为 2 的正方形，动点 在底面圆周上.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若点 为弧 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值.
18.(17分)在 中，角 的对边分别是 ，若 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积；
(3)若 ，求锐角 面积的取值范围.
19.(17 分)如图，在四棱锥 中， ， ， 为 的中点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若平面 底面 ，求直线 与底面 所成角的正切值；
(3)若 ，求锐二面角 的余弦值.
2025 学年第二学期台州十校联盟期中联考 高一年级数学学科参考答案
命题:台州市外国语学校 赵剑鹏台州市永宁中学 金群伟
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B A D C B A D AD AC ABD
8.设 ,
显然, 在 上的投影为 ,所以
在 上的投影为 减去 在 上的投影
所以
因此
当 时， .
故选 D.
11.
设 ,则
选项，根据 为角平分线且 可得
化简得
而在 中, ,所以 ,将 代入解得 ,
故 正确.
选项，根据 ，则在 ， 为 的角平分线，
则有
因此,想求出 只需先求出 的长度.
根据 得 ，所以
根据 解得 ,故 正确.
选项，在 和 分别使用等面积法可得
化简得
两式相除可得 ,即 ,
将 代入得 ,故 错误.
选项,根据 选项可得 ,根据 选项可得
而
计算 ,得证,故 正确.
非选择题部分
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.60° 或 120°(写对一个得 3 分)
13.
14.
14.如图,因为 两两垂直,
所以三棱锥 的外接球,即为长方体 的外接球,
因为 ,所以长方体 的
体对角线 ,
所以长方体 外接球半径即三棱锥 的
外接球半径为 ,
又 , 在 中,由余弦定理, ,
则 ,
由正弦定理,可得 的外接圆半径为 ,
所以球心到平面 的距离为 ,
所以点 到平面 距离的最大值为 .
故答案为: .
四、解答题: 本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.(本小题 13 分)
解析:
(1) (2 分)
因为 是实数,
所以有 (4 分)
因此 (6 分)
(2) (8 分)
因为 是纯虚数,所以有 (11 分)
所以 (12 分)
因此 (13 分)
16.(本小题 15 分)
解析:(1)设 (3 分)
由 得 ,解得 . (5 分)
(6 分)
(2) (8 分)
即 (10 分)
又 ,
(12 分)
向量 夹角的余弦值 (14 分)
(15 分)
17.(本小题 15 分)解析:
(1)证明:如图，连接 ，
且
即 (1 分)
平面 平面
又 为圆 的直径
平面 平面
平面 (5 分)
平面
平面
平面 平面 (7 分)
(2)延长 交圆 于点 ，连接
易得 ,所以 且 , 所以 (9 分)
且
即 且
可得 且
即
可得 或其补角即为异面直线 与 所成角 (11 分)
点 为 的中点且 为直径， ，可得
(13 分)
在 中,
. (15 分)
18. (本小题 17 分)
解析: (1) 边化角可得
所以
即 .(2 分)
解得 (3 分)
即 .(4 分)
(2)根据余弦定理 ，将条件代入得
即 (6 分)
因为 ,解得 (8 分)
所以 (9 分)
(3)因为 ，则
(10 分)
(12 分)
(14 分)
因为 为锐角三角形且 ,所以 (15 分)
则 , (17 分)
19. (本小题 17 分)
解析: (1) 取 的中点为 ,连接 ,则 ,且 , (1 分)
又 ,且 ,
所以 ,且 ,
所以四边形 为平行四边形,
所以 (2 分)
又 平面 平面 ,所以 平面 (4 分)
(2)因为 ，所以直线 与底面 所成角即直线 与底面 所成角， 如图,过 作 于 ,
又平面 底面 ,平面 底面 平面 ,
则 底面 , (6 分)
所以 即为直线 与底面 所成角. (7 分)
取 的中点 ,连接 ,因为 ,则 . 因为 为 的中点,所以 为 的中点.
又 ,
则 ,
在 Rt 中, ,
所以 ,
即直线 与底面 所成角的正切值为 (10 分)
(3)如图，过 作 交 于 ，连接 ，
则 即为平面 和平面 的夹角. (12
分)
因为四边形 为直角梯形, ,
所以 ,又因为
所以 .
当 时,在 中, ,
由余弦定理得 (14 分)
在 中, ,
由余弦定理得 .
所以锐二面角 的余弦值为 (17 分)

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