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2025 学年第二学期杭州北斗联盟期中联考 高一年级数学学科 试题
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后, 只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( ).
A. B. C. D.
2. 如果空间两条直线 与 没有公共点,那么 与 ( )
A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行, 也可能是异面直线
3. 函数 的最小正周期是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知平面 ,直线 ,则 “ ” 是 “ ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知平面向量 ，若 ，则 ( )
A. B. 2 C. D. 5
6. 已知函数 ,则不等式 的解集为 ( )
A. B. C. D.
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空
间中有两个点 为坐标原点,定义余弦相似度为 (其中 为向量 的夹角),余弦距离为 . 已知 , ,若 的余弦距离为 ,则 ( )
A. B. c. D.
8. 已知定义在 上的偶函数 ,满足 ,且当 时, . 若 ,则 的大小关系为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若复数 ，则下列结论正确的是( )
A. 的虚部为 -2 i B. 的共轭复数为 C. D.
10. 已知函数 ,则( )
A. B. 的单调递增区间为
C. 的值域为 D. 是 图象的一条对称轴
11. 已知正四棱台 上底面的边长为 ，下底面的边长为 ，且高为 3,则下列说法正确的有( )
A. 该四棱台的体积为 14
B. 若 为 的中点，则 平面
C. 该四棱台的侧面积为
D. 该四棱台的外接球表面积为
非选择题部分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的定义域是_____.
13. 在 中,角 所对的边为 . 若 ,则 外接圆的面积为_____.
14. 已知函数 ,向量 是平面内三个不同的单位向量,其中向量 相互垂直,且满足 ,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 已知 中的内角 所对的边为 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的周长.
16. (本小题 15 分) 已知函数 ,满足 ,
(1)求 的值；
(2)若 ，且 ，求 .
17. (本小题 15 分) 如图,在菱形 中,已知 ，点 分别是 的中点,点 为 的四等分点 ,设 .
(1)用向量 表示 ， ；
(2)判断 ， 是否垂直？用向量的方法证明你的结论；
(3)点 为线段 上的一个点，求 的取值范围.
18. (本小题 17 分) 如图所示，四棱锥 ，底面 为正方形， ， 为正三角形， ，点 在 上.
(1)若 为中点，求证: 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)若 ，在棱 上是否存在一点 ，使 平面 ？并证明你的结论.
19. (本小题 17 分) 已知函数 .
(1)求证: ;
(2)设函数 ，其中 .
(i)当 时,求函数 在区间 上的最大值和最小值;
(ii)若函数 在 上有两个零点 ,且 ,求实数 的值.
2025 学年第二学期杭州北斗联盟联盟期中 联考 高一年级数学学科参考答案
选择题部分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A A D C B
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
序号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
非选择题部分
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13.2π 14.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.
15. 解: (1) 由正弦定理得: 3 分
5 分
7 分
(2)由余弦定理 ，得:
11 分
故 的周长为 . 13 分
16. 解: (1)
. 2 分
或
5 分
7 分
10 分
即 11 分
,
,或 13 分
,或 ,故 ,或 . 15 分
17. 解:(1)根据向量三角形法则:
2 分
4 分
(2)
已知
与 不垂直,故EF与EG不垂直. .9 分
(3)设
.11分
13 分
的最大值为6,最小值为2
15分
18. 解: (1) 连接 交 于点 ,连接 , 因为 是正方形，所以 为 中点，. 所以在 中, 为中位线, . 2 分
4 分
又 平面 平面 平面 7 分
(2)当 是棱 PC 中点时， 平面 8 分
证明如下: 取 中点 ,连接 ,则 ,
平面 平面 ,
平面 分
在 中， 为 中点， 为 中点，
平面 平面 ,所以 平面
，所以平面 平面 ；
平面 平面 . 17 分
19. 解: 由平方差公式:
2 分
3 分
因此代入得
故 得证. 4 分
(2)(i)核心思路:换元后求二次函数在指定区间的最值。
当 时,令 6 分
单调递增,当 时:
当 时, ,当 时, ,因此 . 7 分
二次函数 开口向上,对称轴为
最小值在对称轴处取得, , 8 分
最大值 ,故最大值为 . 9 分
(ii) 先求满足题意的 的取值范围
方法一: 转化为方程 在 有两个不等根, 分
根的分布 12 分
解出 13 分
方法二: 分参转化为有两个交点 . 10 分
12 分
解出 .13 分
再根据 求出 的值
14 分
又 ，得到 ①. 15 分
两边同乘 得, ,
代入整理得
整理得 ②16 分
结合①②得 ，求出 ，满足题意。 17 分

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