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绝密★考试结束前
高一数学学科练习
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分(共 58 分)
一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知复数 (其中 为虚数单位)，则 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( ▲ )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列灰色几何体是棱台的是( ▲ )
A.
B.
C.
D.
3. 已知向量 ，若 ，则实数 的值为( ▲)
A. -3 B. -4 C. -5 D. -6
4. 若 为直线， ， 为两个平面，则下列结论中正确的是( A )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
5. 若平面向量 满足 ,且 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ,则 的面积为(A)
A. B. C. D.
7. 已知四棱锥 ， 平面 ， ， ， ，若三棱锥 与三棱锥 的外接球半径分别为 ,则
第 7 题图
A. B. C. D.
8. 已知边长为 4 的正三角形 ，点 是 的中点， 交 所在的直线于点 ， ， 则 的最小值为( ▲ )
A. 3 B. C. D. 5
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如果 是平面 内的一组基底,则下列能作为基底的是
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
10. 已知 为复数，下列说法正确的是( A )
A. B.
C. 若 ,则
D. 若 是方程 的两根,则
11. 已知 的三边为连续的自然数，则(A)
A. 存在 ,使得它的一个角为
B. 存在 ,使得它的一个角为
C. 存在 ,使得它是钝角三角形
D. 存在 ,使得最大角是最小角的两倍
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分. 把答案填在题中的横线上.
12.
13. 某科技小组利用无人机测量水平地面两个基站 之间的距离. 无人机在点 处悬停, 平
面 (水平平面),测得 米. 从点 观测基站 的俯角为 ,观测基站 的俯角为 , 且 . 则两个基站 之间的距离为_____▲_____米.
14. 点 是正四面体 的棱 上的动点，直线 与平面 所成角的正切值最大为_____▲_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分) 在 中, 分别是角 所对的边, .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积.
第 16 题图
16. (本小题满分 15 分) 在等腰直角三角形 中，斜边 ，已知 ，动点 在线段 上,且 ,设 .
(1)用 表示 ；
(2)求 的取值范围.
第 17 题图
17. (本小题满分 15 分) 如图,四棱锥 中, 平面 , 点 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
18. (本小题满分 17 分) 在 中,内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 ，且 的面积 .
(i) 求 ;
(ii) 已知 ，点 分别在边 上，且 为等边三角形，求 的最小值.
19. (本小题满分 17 分) 如图: 等边三角形 和直角三角形 , 绕 翻折,使点 到达点 .
第 19 题图
(1)求三棱锥 的体积最大值；
(2) 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值;
(3) 求三棱锥 表面积最大时,二面角 的余弦值.
2025 学年第二学期温州十校联合体期中联考 高一年级数学学科 参考答案及评分细则
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D B C A C D C B
二. 选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
选项 ABC AD BCD
三. 填空题:本大题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分.
12. 1-8i 13. 14.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15.(1)解析一:由已知条件得: ，所以 . .6 分 (其中 4 分)
解析二: 由已知条件得: ..........4 分因为 ,所以 . .
(2) 且 ,可得 .9 分
因此 13 分
16.(1)取 为基底，则 .4 分
(2)
则 ，所以 .12 分设 .
可得: 的取值范围 .15 分
17. (1)法一:取 中点 ，连接， ， 则 ，且 ， .2 分
， ，四边形 DCEF 为平行四边形， .4 分 , 平面 平面 平面 .............6 分
法二: 取 的中点 ,连接 为 的中点, , 又 ,又 四边形 为平行四边形 _____2. 分， 平面 ， 平面 ， 平面 .同理: 平面 .4 分
平面 ,且 平面 平面 平面 平面 .6 分
(2)法 1:利用等体积转化
设点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为 . .8 分,
,又 , .10 分
， .12 分
易得 ,设 与平面 所成的角为 ,则 .15 分
法 2: 以 分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 , .8 分
则
设 是平面 的法向量,则 .12
分
设 与平面 所成角的大小为
.15 分
18.(1) . .6 分 (其中化边或化角的动作 3 分, 答案 3 分)
(2) ， .2 分
, .2 分
或 (舍), .2 分
(3)法 1: 为直角三角形，且 ，设 ，
,设 ,在 中,由 正 弦 定 理 得 (3 分，有找 和 关系的动作给 1 分) .2 分
法 为直角三角形,且 ,设 ,设 , ,过点 作 垂直 交 于点 , ,
..(3分,有找 和 关系的动作给 1 分)
第 19 题
.2 分
19.(1)要使三棱锥 的体积最大即点 到平面 的距离
最大. 所以 , 2 分
,
..........4 分 (其中 分)
(2) ， ， 平面 . .2 分
平面 平面 ，作 交 于点 ，则 即为所求， .2 分
,平面 .........2 分 (3 系求角对应本做法酌情给分)
(3)设 ， ，
即 ①
②
+ ② 得
.2 分
(其中①② 任意出现一个给 1 分)
取最大时 ,代入①式得
如图作出二面角 得平面角
.1 分
.2 分
(其它做法对应本做法酌情给分)

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