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孝感市 2026 届高三年级第二次统一考试 数 学
本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 集合 ,则
A. B. C. D.
2. 方程 的一个复数根是
A. B. 1+3i C. -3+i D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 等于
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 若 是夹角为 的两个单位向量,则 与 的夹角为
A. B. 60° C. 90° D. 120°
5. 设一个圆台的侧面积、体积分别为 、 ，将它的高扩大到原来的 2 倍(上、下底面圆的半径均不变),得到的圆台的侧面积、体积分别为 、 ,则
A. B.
C. D.
6. 在 中, 边上的高等于 ,则
A. B. C. D.
7. 已知函数 为偶函数,且 ,则 的解集为
A. B. ,或
C. ,或 D.
8. 以 为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个公共点,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图，四面体 中， 平面 ， ，垂足为 ， ，垂足为 ，则下列说法正确的是
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 平面
D. 若 ，则
10. 数列 满足 ，且 ，数列 的前 项和为 ，从 的前 项中任取不同的两项,它们的和为偶数的概率为 ,数列 的前 项积为 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知函数 的定义域是 ,满足 ，若存在实数 ，使函数 在区间 上恰好有 2026 个零点， 则实数 的值可能为
A. B. 0
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则点 的坐标为_____.
13. 已知抛物线 的焦点为 ,点 是抛物线上一点,且满足 ,过点 作抛物线准线的垂线,垂足为 ,则 的内切圆半径为_____.
14. 在一组数2,2,7,12,27中插入两个整数 ,使得新的一组数极差为原来极差的两倍, 且众数和中位数保持不变，则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
如图，正方形 所在的平面与平面 垂直，且 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)当 时,求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 在区间 单调,其中 为正整数, ,且图象关于点 对称.
(1)求 的最小正周期；
(2)在 中， 边上的中线长为 ，求 的面积.
17. (本小题满分 15 分)
甲、乙两支球队参加某球类比赛,如果每局比赛甲队获胜的概率为 ,乙队获胜的概率为 ，且每局比赛的结果相互独立. 比赛有两种方案，方案一:采用“三局两胜” 制，即累计先胜两局的队最终获胜；方案二:采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜.
(1)当 时，采用方案一还是方案二对乙更有利(不用说明理由)，并求该方案下乙队最终获胜的概率;
(2)当 时,若比赛采用方案二.
(i)求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率；
(ii) 若比赛结果为 或者 时，胜方得 3 分，负方得 0 分，比赛结果为 时，胜方得 2 分，负方得 1 分，求甲队本次比赛的得分 的分布列及均值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)函数 ,讨论其单调性;
(2)若 对 恒成立，求 的值；
(3)函数 ，若该函数有且仅有三个极值点 ，且 ， 若 ,求证: .
19. (本小题满分 17 分)
是一个动点, 与直线 垂直,垂足 位于第一象限, 与直线 垂直,垂足 位于第四象限,若四边形 的面积为 1,设 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)已知 ，在 中，试确定 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
(3)记坐标原点为 ，过 的直线 交曲线 于点 ，将 绕点 旋转,与直线 在第一象限交于点 ,即点 满足 ,以此类推,过点 作斜率为 的直线交曲线 于点 ,将 绕点 旋转,与直线 在第一象限交于点 ,即点 满足 . 在 中,设底边 上的高为 ,求 .
参考答案
1.C 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.B 9.BC 10.ABD 11.AB
1. C ,或 .
2. A 由 可得 .
3. D 设公差为 ,则 ,联立解得 .
4. C ,又 ,则 .
5. C 设原圆台底面半径分别为 、 ，高为 ，母线长为 ，则 ， ,扩大后圆台母线长为 ,可得 ; 由台体体积公式 可知 .
6. A 设 边上的高为 , ,设 ,则 ,从而点 在线段 上, . 故 ,
.
7.B 由函数 为偶函数可知函数 是二次函数且关于 轴对称, 则 ,由 可知 .
,解得 ,或 .
故不等式 的解集为 ,或 .
8. 依题意,直线 与椭圆相切,直线 上除切点外任意一点均在椭圆外. 由椭圆的定义可知切点是直线 上与 两点距离和最小的点. 关于直线 对称的点为 ,故椭圆的长轴长为 7,焦距 ,离心率 .
9.BC A: 与 异面,显然不正确;
B: 若 ,易得 ,
又 ,则 ,所以 ,故 B 正确; 对于选项 C 与 D,
因为 平面 平面 ,所以 ,
又 是平面 内两条相交直线,
所以 平面 ,又 平面 ,故 .
又 ,且 是平面 内两条相交直线,所以 平面 .
又 平面 ,故 .
又 ,且 是平面 内两条相交直线,所以 平面 . 故选项 正确; 又 平面 ,故 .
若 与 也垂直，由 、 与 共面，则 与 重合，故选项 D 不正确.
10.ABD A: 当 时, ,又 ,故 .
,
,
所以 为偶数时, 为奇数时, .
的奇数项所成的数列是首项为 -2,公差为 -2 的等差数列,偶数项所成的数列是首项为 3,公差为 2 的等差数列. 故 ,选项 A 正确;
B: 选项 B 正确;
C: 由于 的奇数项都是偶数,偶数项都是奇数,
,故选项 C 错误; (或由 可知选项 C 错误)
D:
,
又 ，所以 ，故选项 D 正确.
11. (1) 当 时，显然成立；
(2)若 ，则 ，即 ，解得 ；
(3)若 ，则 ，即 ，解得 ； 综上，得 .
12. 设切点 ,则有 ,由题意得 ,
,
点 的坐标为 .
13. 如图,不妨设点 在第一象限,则 , ,所以 ,此时 ,所以 . 易知点 , ,所以 .
的面积为 .
设 的内切圆的半径为 ,内心为点 ,则由 , 得 ,解得 .
14. 31 若插入两个整数后众数不变, 则插入的数可以是“两个都是 2”, 或是“一个为 2,另一个不是 2",或是"两个不相等的且不是 2,7,12,27".
①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是 2；
②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为 2，另一个不是 2”，则一个为 2，另一个数不小于 7,又因为极差加倍,则另一个数为 52,此时 ;
③若插入的两个数是不相等的且不是 2，7，12，27，且极差为 50，中位数保持不变，
则两个数可以为: ,
所以, 的最小值为 .
15. 解: (1) 平面 平面 ,交线为 平面 ,
平面 . 又 平面 ,故 .2 分
,且 是平面 内两条相交直线
平面 .4 分
平面 .5 分
故平面 平面 .6 分
(2)解法一:
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
因为 ,设 ,由题设得,
,
, .8 分
设 是平面 的法向量,则
分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 , .12 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . 13 分
解法二: 由(1)得 平面 ，由 平面 可知 、 到平面 的距离相
等,设 到平面 的距离为 ,则 . ..8 分
设 ，由 得 ， ， .10 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 , .12 分
所以直线 与平面 所成角的正弦值是 . .13 分
16. 解: (1) 由题意, 的最小正周期 ,所以 ,
由 为正整数可得 . .2 分
又因为图象关于点 对称,所以 ,即 . 3 分
由 ,若 ,无解; .4 分
若 ; .5 分
若 ,无解. .6 分
所以 的最小正周期为 . .7 分
(2)由 可得 ，又 ， ，
从而 ,故 . .9 分
设 边上的中线为 ,则
,
解得 . 13 分
所以 的面积 . .15 分
17. 解:(1)采用方案一对乙队更有利 .1 分
当 时,乙队每局获胜的概率为: .
.
所以乙队最终获胜的概率为 . .4 分
(根据 “比赛局数越多, 对实力较强者越有利” 可知, 采用方案一, 乙队最终获胜概率较大.
也可以算出两种方案乙最终获胜的概率, 对比可知采用方案一, 乙队最终获胜概率较大.)
(2) (i)记“甲队最终获胜”为事件 ，“比赛恰好进行了四局”为事件 .
三局甲队最终获胜的概率为:C3 .
四局甲队最终获胜的概率为: .
五局甲队最终获胜的概率为: .
甲队最终获胜的概率 . .7 分
甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率 . .8 分
在甲队最终获胜的条件下,比赛恰好进行了四局的概率
.9 分
(甲队乙队每局获胜的概率相等,因此最终获胜的概率也相等,从而 ,酌情给分) (ii) 的可能取值为0,1,2,3.
.11 分
的分布列为:
0 1 2 3
5 16 3 16 5 16
.13 分
. .15 分
18. 解: .
.
. .1 分
当 时, 恒成立,因此 在 上单调递增.
当 时,由 ,因此 在 上单调递增,在 上单调递减. ..4 分
综上可知: 当 时, 在 上单调递增.
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减. .5 分 (2) .
设 .
又 ,所以 为 的极小值点,故 .
. .7 分
下面证明,当 时, .
当 ,即 时, 恒成立. ..8 分
当 ,即 时,由 可知:
.
.
当且仅当 时等号成立,故 满足条件.
综上可知: .11 分
(3) .
.
,设 .
.
在 上单调递减,在 上单调递增. 14 分
因为函数 有且仅有三个极值点,即 为方程 的三个实根,
由图象知方程 最多有三个实根,且 .
注意到 ,假设 ,则 ,从而 ,与已知矛盾,故 .
即有: . .17 分
(本题用其它解法, 过程详细、推理清晰可得全分, 过程不全的可酌情给分)
19. 解: (1) 设 ,由题意可知四边形 的面积 .
. .2 分
因为点 位于第一象限，点 位于第四象限.
,且 .
所以动点 的轨迹 的方程为: . .4 分
(未限定 的范围的扣 1 分)
(2)不妨设点 位于第一象限，设直线 的斜率为 ，则 ，直线 的斜率为 ,则
.
综上可知: 为定值 0 . .9 分
(3)问题可以转化为曲线 与坐标轴之间的各等腰三角形底边上高的和，如图所示设 ,过 作 轴于
由 可知, ,
.11 分
记 ,则各等腰三角形底角的正切值
即 . .12 分
由题意可知: .15 分联立 与 可解得 ,从而 ,
所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列
17 分
(不转化直接研究也可以得出答案, 酌情给分)

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