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高三数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的。
1. 复数 的虚部为
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
2. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. 或
C. D. 或
3. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 8 B. 11 C. 15 D. 20
4. 已知母线长为 2 的圆锥的表面积与直径为 2 的球的表面积相等，则该圆锥的底面半径为
A. B. C. D.
5. 二项式 的展开式中,常数项为
A. 672 B. 84 C. -84 D. -672
6. 已知圆 与抛物线 的交点为 ,与 的准线的交点为 . 若 ,则
A. 12 B. C. 8 D.
7. 已知 ,则
A. -7 B. -6 C. 6 D. 7
8. 2025 年 11 月 9 日, 首届中国(国际)机器人辩论大赛决赛在北京举办. 经过了初赛的“人机协同”，复赛的“人机对抗”，决赛现场采用了“机机对决”的形式. 最终，松延动力的机器人“小诺”凭借出色的对话管理和精准的反驳能力夺得冠军. 某机器人的人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化. 记第一轮训练的模型参数的数量为 ,从第二轮开始,每一轮与它前一轮相比较,该模型每轮训练的模型参数增加的数量为等比数列 ,且首项 ,公比 . 若第 轮训练的模型参数的数量大于 ,则 的最小值为
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某地 7 月 11 日到 7 月 20 日连续 10 天的最高气温分别为38,38,37,37,35,34,36,39,38,38(单位: )，若这 10 个数据的平均数为 ，中位数为 ，极差为 ，方差为 ，则
A. B.
C. D.
10. 已知函数 的最小正周期为 ,点 是 图象的一个对称中心，则下列说法正确的是
A.
B. 的最小值为
C. 在区间 上单调递增
D. 直线 与 图象的所有交点的横坐标之和为
11. 已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 为左焦点), 为坐标原点, 与 在第一象限交于点 与 的离心率分别为 ,则下列结论正确的是
A.
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 函数 的图象在 处的切线方程为_____.
13. 已知两两不共线的三个平面向量 满足: ,使得 , 则 _____.
14. 已知函数 ,若 ,则函数 的零点个数是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
某工厂购进 6 台车床, 其中 4 台是合格品, 2 台是次品, 需要修理后才能使用. 由于车床外表没有区别，技术员要找出 2 台次品修理，只能逐台检查. 若找出 2 台次品，或找出 4 台合格品，就结束查找.
(1)求第 1 次查找到的是合格品的概率；
(2)记 为查找结束时的查找次数，求 的分布列和数学期望.
16.(本小题满分 15 分)
在 中,内角 的对边分别是 ,且 .
(1)若 的面积为 ，求 的周长；
(2)若 为 边上的一点， ，且 ，求 的面积.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形， .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 .
( i )求三棱柱 的体积;
( ii )求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的右焦点为 ，且 的离心率为 ，直线 与 有两个不同的交点 .
(1)求 的方程；
(2)若点 在直线 上，点 是线段 的中点， 为坐标原点，若 上存在点 ，使得 ， 求直线 的斜率；
(3)若 在点 ， 处的切线分别为 ， ， 与 交于点 ，点 在直线 上. 试判断:直线 是否过定点 若是,则求出该定点; 若不是,请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在区间 上的值域；
(3)若 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
高三数学参考答案、提示及评分细则
1. 因为 ,所以其虚部为 -2 . 故选 D.
2. ,所以 . 故选 B.
3. C 由等差数列 中， 得 ,所以 . 故选 C.
4. D 设该圆锥的底面半径为 ,所以圆锥的表面积为 ,球的表面积为 ,所以 ,解得 或 (舍). 故选 D.
5. A 通项公式 ,令 ,可得 ,所以展开式中的常数项为 . 故选 A.
6. C 设圆心到 的准线的距离为 ，则 ，所以 ， ， ，由 与 联立,解得 ,所以 . 故选 C.
7. 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,又 ,解得 ,所以 . 故选 D.
8. 由题意知 ,设第 轮训练的模型参数的数量为 ,则 ,当 时, ,当 时,令 ,则 ,即 ,设 ,则 1024,当 时, ,当 时, ,当 时, ,所以 ,又 ,所以满足 的最小正整数是 14,即当第 轮训练的模型参数的数量大于 时, 的最小值为 14 . 故选 C.
9.BC 将 10 个数由小到大排列为34,35,36,37,37,38,38,38,38,39,则平均数 37, A 错误; 中位数 正确; 极差 正确; , D错误. 故选 BC.
10. AC ,其最小正周期为 ,即 ,所以 , A 正确; ,令 ,解得 ,由题知 ,又 ,所以 的最小值为 , B错误; 令 ,解得 ,所以当 时, ,所以 在区间 上单调递增, 正确; 令 ,即 ,所以 或 ,即 或 . 因为 ,所以满足条件的所有 的值为 ,故所有交点的横坐标之和为 错误. 故选 AC.
11. 因为椭圆 与双曲线 共焦点,所以 ,即 ,故 正确;根据椭圆和双曲线的定义及 在第一象限,得 所以 设 ,在 中,由余弦定理,得 ,所以 ,即 ,所以 ,即 ,所以 ,故 错误; 若 ,则 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 ,所以 ,故 正确; 因为 ,所以 ,即 ,所以 ,令 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,因为 在 上单调递增,所以 ,所以 ,故 D 正确. 故选 ACD.
12. 由 ,得 ,所以 ,又 ,所以函数 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
13. 设 ,则 ,又向量夹角的范围为 ,所以 两两的夹角相等,且为 ,所以
14.4 函数 的定义域为 ,由 ,得 ,所以函数 是偶函数,当 时, ,当 时, ,当 时, ,故 在 上单调递增,在 上单调递减,又 为偶函数,所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以
,又 时, ,所以 的值域为 . 令 ,则 ,由 ,得 ,因为 ,所以 ,画出 与 的图象如图所示,所以 有 4 个根 ,其中
,由 的图象知 无解, 无解, 有 4 个根, 无解,故函数 的零点个数是 4 .
15. 解:(1)因为 6 台中有 4 台合格品，所以第 1 次查找的是合格品的概率 . 2 分
(2) 的可能取值为2,3,4,5， 3 分
分所以 的分布列为:
2 3 4 5
11 分
13 分
16. 解:(1)因为 ，由正弦定理得 ，
即 ,所以 , 2 分
又 ,所以 , 3 分
又 ,所以 . 4 分
由 ,得 , 6 分
由余弦定理得 ,得 ,得 ,得 , 8 分
所以 的周长为 . 9 分
(2)由题意知 ，
所以 ,即 . 12 分
由余弦定理得 ,则 ,
所以 ,解得 , 14 分
所以 . 15 分
17. ( 1 )证明:在 中，由 ，
得 , 1 分
所以 ,所以 ,
因为四边形 是矩形,所以 , 3 分
WH
因为 平面 ,且 ,
所以 平面 . 5 分
(2)解:(i)由(1)知 平面 ，因为 平面 平面 ，
所以平面 平面 , 6 分
因为 ,所以 ,
由 ,得 ,所以 ,
取 中点 ,连接 ,则 ,
因为 ,所以 , 8 分
所以 . 10 分
( ii )以点 为原点,直线 分别为 轴, 轴,过点 与平面 垂直的直线为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,
所以 . 11 分
设平面 的一个法向量 ,则 即
令 ,得 ,所以 , 12 分
设平面 的法向量为 ,则 即
令 ,得 ,所以 , 13 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
18. 解: (1) 由题意知 2 分
解得 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ，易得 ，此时 ，不符合题意； 5 分
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
由 得 ,
则 . 6 分
所以 ,又 ,
所以 ,又点 在 上,所以 ,
8 分
解得 ,即直线 的斜率为 或 . 10 分
(3)由题意可知直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为 ， ， .
由题意知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,
由 得 ,
所以 ,得 ,
所以 ,
所以 .
所以直线 的方程为 ,即 . 12 分
同理可得直线 的方程为 . 13 分
由 解得 ,可得 点的横坐标,即 , 14 分
又 ,可得 ,所以 ,整理得
,即 ,所以 , 16 分
所以直线 的方程为 ,即直线 过定点 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知 , 1 分
当 时, ,所以 在 上单调递减; 2 分
当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 4 分
( 2 )因为 ，所以 是奇函数， 5 分
WH
又 ,当 时, ,所以 ,令 ,所以 ,当 时, ,所以 即 在 上单调递减, 6 分
又 ,所以 ,使得 , 7 分
所以当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减，又 ，所以当 时， ， 9 分又 是奇函数，所以当 时， .
综上, 在区间 上的值域为 . 10 分
(3)若 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立,记 ,即 对任意的 恒成立,且 ,
当 时,当 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递增, 令 ,则 ,故 在 上单调递增,则 ,所以当 时, ,又 ,故存在唯一的 ,使得 ,当 时, 在 上单调递减,所以 ,此时 ,不符合题意. 12 分
当 时,(1) 若 ,令 ,则 ,故 在 上单调递增,则 ,所以 ,则 在 上单调递增,所以 恒成立,即 成立,符合题意; 14 分
(i) 当 时,若 ,则 在 上单调递增,又 ,所以存在唯一的 ,使得 ,
当 时, 在 上单调递减,当 时, 在 上单调递增,又 ,故存在唯一的 ,使 ,
故当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递减,又 ,
所以 时, ,则 在 上单调递增,故 ,即 恒成立. 16 分
综上, 的取值范围是 . 17 分

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