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2026 届 高 三 核 心 素 养 测 评 数 学
本测评共 150 分, 时间 120 分钟.
一、单项选择题; 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 分别服从正态分布和二项分布,且 ,则
A. B. C. D.
3. 已知 为复数，下列选项中是方程 的根的是
A. B.
C. D.
4. 已知数列 满足 ,则 的个位数字为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
5. 已知两条直线 ,有一动圆 与 交于 两点,与 交于 两点,且 ,则圆心 的轨迹为
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6. 在平面直角坐标系 中,以 轴非负半轴为始边作角 和角 ,它们的终边分别与单位圆交于点 ,设线段 的中点 的纵坐标为 ,若 ,则点 的纵坐标是
A. B. C. D.
7. 已知函数 满足 ,则 “ 单调递减” 是 “存在 ,对任意的 ,均有 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知点 ,定义 为 的“镜像距离”. 若点 , 在曲线 上,且 的最小值为 2,则实数 的值为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对得 6 分,部分选对得部分分,有选错的得 0 分.
9. 设数列 的前 项和为 ,满足 . 则下列说法中正确的是
A.
B.
C. 是等比数列
D. 若 ,数列 前 项和 . 则
10. 如图，正方体 的棱长为 2， 是 的中点，则
A. 若 是 的中点，则直线 与 是异面直线，
B. 由 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
C. 与平面 所成角为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
11. 数学中有许多形状优美的曲线,曲线 就是其中之一，其形状酷似数学符号“ ”(如图)，对于此曲线，下列说法正确的是
A. 曲线 与直线 有 3 个公共点
B. 曲线 与圆 有 4 个公共点
C. 曲线 所围成的图形的面积为:
D. 若点 在曲线 上,点 ,线段 的长度可能为 4
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一. 某村统计了一合作社最近 100 天通过直播带货销售农产品的日销售额 (单位:万元)，并绘制成右侧的频率分布直方图，则 _____； 的第 80 百分位数为_____.
13. 如图,设 是平面内相交成 角的两条数轴, 分别是与 轴, 轴正方向同向的单位向量,若向量 ,则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标. 在该坐标系下向量 ,则 _____.
14. 函数 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知椭圆 的短轴长为 2，右顶点为抛物线 的焦点，
(1)求椭圆的标准方程和离心率；
(2)若直线 过椭圆 的右焦点 且与椭圆 相交于 ， 两点(点 在 轴上方)， (O 为坐标原点),求直线 的方程.
16.(本小题满分 15 分)
中, 是 内一点, .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 中 边上的高.
17. (本小题满分 15 分)
如图，四棱锥 顶点 在平面 内，其余顶点均在平面 同侧， 平面 ， 四边形 为正方形, ,点 为 的中点,点 与点 到平面 的距离为 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 ,
(1)求不等式 的解集；
(2)已知 ，求 的零点个数；
(3)若 且 ,求证: .
19. (本小题满分 17 分)
流行病学调查表明某种疾病 是由致病菌 和致病菌 共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈。
(1)若有某种治疗方案 ，有 的概率能杀灭致病菌。 . 若这种治疗方案能杀灭致病菌 ，则它有 的概率能杀灭致病菌 . 若这种治疗方案不能杀灭致病菌 ,则它有 的概率能杀灭致病菌 . 求使用治疗方案 痊愈的条件下,能杀灭致病菌 的概率;
(2)若市面上仅有两款药物 和药物B对疾病 有疗效，且这两种药物的疗程各均为 3 天(假定药物使用时，均按疗程服用 3 天)，超过 3 天无效时需换药进行治疗. 若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过 3 天也能痊愈. 已知药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率分别为 ,且对于同一种药物,杀灭两种致病菌的事件相互独立. 药物 杀灭致病菌 和致病菌 的概率均为 . 请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短
(3)已知某种药物 能治愈疾病 的概率为 . 设针对药物 的 次临床试验中有连续 3 次或连续 3 次以上治愈疾病 的概率为 ，且每次治疗结果相互独立. 求证: .
高三·数学·核心素养·参考答案
选择题
1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A
8. B 9. ACD 10. BD 11. ABD
填空题
12.0.2
提示:
1. 由题意得, , . 故选 C.
2. 由题可得 . 故选 D.
3. ,即 ,解得 或 ,故选 D.
4. 依题意, ,令 ,得 ,当 时上式也符合, ,则 2026 * 2027, 个位数字为 2 . 故选 A.
5. 设动圆的圆心坐标为 ,圆心到直线 的距离为 ,圆心到直线 的距离为 , 又动圆 与 交于 两点,与 交于 两点,且 ,即 4，化简得 ， 圆心 的轨迹为双曲线。故选 C.
6. 由题意可得, ,则 ,由 可得 ,故选 B.
7. 充分性分析: 单调递减, “ 单调递减” 是 “存在 ,对任意的 ,均有 的充分条件; 必要性分析: 设 , 取 ,当 时, ,则 , ,此时 ; 当 时, 则 ,此时 ; 故存在 ,对任意的 ,均有 ,但是 不是单调递减函数,故 “ 单调递减” 是 “存在 ,对任意的 ,均有 ”的不必要条件；综上可知，“ 单调递减”是 “存在 ,对任意的 ,均有 ”的充分不必要条件。故选 A.
8. 由函数可得 ,即 的反函数为 . 由点 在曲线 上,可知点 在其反函数 上, 相当于 上的点 到曲线 上点 的距离,即 ,利用反函数性质可得 与 关于 对称, 当 与 垂直时, 取得最小值为 2,因此 两点到 的距离都为 1 . 过点 作切线平行于直线 ,斜率为 1,由 ,得 ,可得 ,即 ,点 到 的距离 ,解得 . 当 时, 与 相交,不合题意; 当 时, 与 不相交,符合题意. 综上, . 故选 B.
9. 当 时, ,解得 . 当 时, ,即 数列 是以首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 . 对于 A. ,故 A 正确; 对于 B: ,故 B 错误; 对于 ,则 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 正确; 对于 ,故 D 正确. 故选 ACD.
10. 对于 ,直线 与 是平行直线，故 A 错误；对于 ，如图，过 ， 三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形 为 的中点 (平行则四点共面), 等腰梯形 的周长为 正确. 对于 与 不垂直， 与平面 不可能垂直， 故 C 错误; 对于 D, 坐标法: 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系, 则 , ,设外接球的球心为 ,则 ,求得 ,故 D 正确. 故选 BD.
11. 对于 ,由 ,可得 1), ,即 ,解得 或 或 或 曲线 与直线 有 3 个公共点,故 正确; 对于 ,由 ,可得 ,则有 ,平方得 ,代入 5,得 ,即 关于 的方程 有两个不同的正根,从而得 有四个不同的解, 曲线 与圆 有 4 个公共点,故 正确; 对于 ,如图所示:
曲线 所围成的图形的面积为四个全等弓形 的面积之和,设弓形 的面积为 所在圆的圆心为 ,半径为 ,在 中, 扇形 的面积 曲线 所围成的图形的面积为 ,故 错误; 对于 ,当 与 或 重合时,则 ,故 D 正确. 故选 ABD.
12. 设销售额的第 80 百分位数为 ,由已知 ,解得 ,又 ,且 ,解得 .
13. 依题意、 .
14. 由于 ,且定义域为 , 是偶函数, 只需要研究 部分,即 ,由于 当 时, 是一个周期为 的函数，则只需要研究一个周期 的最小值，以下分类讨论:则当 时， ,此时最小值为 ,当 时, ,此时最小值为 ,则当 时, ,此时最小值为 ,当 时, ,此时最小值为 ,当 时, ,此时最小值为 ,综上最小值为 -2 .
解答题
15.(1) 椭圆 的短轴长为 2，
可得
又 椭圆 的右顶点为抛物线 的焦点 ,
椭圆 的方程为 . (5 分)
离心率为 . (6 分)
(2)由题意知 的斜率不为 ， (7 分)
故设 的方程为 , .
由 ,得 ,
. (9 分)
,依题意知, ,
分
则 ,
解得 分
直线 的方程为 ,
即 . (13 分)
16. (1)根据正弦定理得， ，
. (2 分)
. (4 分)
根据正弦定理得 ,
. (7 分)
(2)设 ，
在 中,根据余弦定理,
得 ,
化简得 . (8 分)
在 中,根据余弦定理,
得 ,
化简得 ,(9 分)
. (10 分)
,
分
化简得 ,解得 或 分
又 ,
分
中 边上的高 (15 分)
17.(1)在四棱锥 中， 平面 ，且四边形 为正方形，则直线 两两垂直，
以点 为原点,直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，(2 分)
则 , ,
,
因此 ,
即 ,(5 分)
. (6 分)
(2)由(1)得 ，
设平面 的法向量 ,
则 ,取 ,得
设平面 的法向量 ,
点 , 由点 与点 到平面 的距离为 ,
得 ,则 ,
由顶点 均在平面 同侧,
取 ,得 分
因此
平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
18.(1)已知 ，对其求导可得 ，(1 分) 令 ,解得 . (2 分)
当 变化时, 的变化情况如下表:
- 0 +
↘ 极小值 ↗
(4 分)
,结合 的草图可得不等式 的解集为 . (5 分)
(2)由题意可知 的定义域为 ，
且 .
则当 时, ; 当 时, .
故 在区间 上单调递减,在 上单调递增. (7 分)
. (8 分)
当 时, ,故 ; (9 分)
当 时,
在 上单调递增,
当 时, 有且仅有一个零点. (11 分)
(3)证明: 由 ,
得 ,
则 .
要证 ,可证 ,
即证 . (12 分)
令 ,即证 ,
即证 . (13 分)
下证 ,
先证 ,
设 ,
当
在 上单调递增,
则 . (14 分)
令 ,
则只需证明 ,
又 ,
分
在 上单调递减,则 1) ,
即 . (17 分)
19.(1)设使用治疗方案 治愈疾病 为事件 ，使用治疗方案 能杀灭致病菌 为事件 ，
则 (2 分)
事件 发生则事件 必发生,
故
. (5 分)
(2)设 表示药物 能治愈疾病 的概率， 表示药物 能治愈疾病 的概率.
则有
设先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为 , 先用药物 再用药物 来治愈疾病 所需的天数为 ,
则 ,
分)
同理得
则有 . (10 分)
从而有 ,
因此需先使用药物 可使得痊愈的平均天数更短. (11 分)
(3)设针对药物 的 次临床试验中未出现连续 3 次或连续 3 次以上治愈疾病 的概率为 ,
因此有 ,从而 ,从而 ,(12 分)
由 可得 ,
有 分
这表明 随 增大而增大, 随 增大而减小,
有 分
另一方面,由 ,
可得 ,即
注意到 有
即 ,(16 分)
有 , 综上所述, . (17 分)

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