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高二数学
注意事项:
1、答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 复数 的虚部为
A. 5 B. 3 C. -5 D. -3
2. 2025 年湖南工业经济向优向新，新质生产力加速培育壮大. 其中航空、航天器及设备制造业，电子及通信设备制造业，医药制造业，存储芯片，储能用锂离子电池，工业控制计算机及系统，工业机器人等分别增长 17.2%，15.8%，6.7%，160%，96.4%，42.7%，37.3% . 则该组数据的 60% 分位数为
A. 37.3% B. 42.7% C. 96.4% D. 160%
3. 已知集合 ,则 中元素的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 某科技公司研发了一款新型智能芯片，其生产过程中的良品率稳定在p. 为评估该芯片的性能，质检部门从一批芯片中随机抽取了 个芯片进行测试，记测试结果为良品的芯片数量为随机变量 . 已知 的数学期望 ,方差 . 若从这批芯片中再随机抽取 2 个芯片，则这 2 个芯片中恰好有 1 个是良品的概率为
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的右焦点为 ,以 为圆心, 为半径的圆与 的一条渐近线交于 两点. 若 ,则 的离心率为
A、 B.
C. D.
7. 已知函数 的定义域为 R,且满足 ,则不等式 的解集为
A. B. C. D.
8. 自然数列 按如下方式排成三角数阵,第 行第一个数为 ,令 ,若 是数列 唯一的最小项,则 的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 为空间内的一条直线, 为空间内两个不同的平面,则下列命题正确的是
A. 若 ,则 、 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知函数 ,则
A. 的图象关于直线 对称
B. 在 上单调递减
C. 在 上单调递减
D. 在 上有且仅有 1 个零点
11. 如图，抛物线 的焦点为 ，准线为 与 轴交于点 ，过 的动直线与 交于 两点 ,过 分别作准线 的垂线 ,垂足为 的最小值为 4 , 则下列说法正确的是
A. 的方程为
B.
C. 若 ,则直线 的斜率为
D. 若 ，则 的面积与 的面积的比值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 是函数 的极值点,则曲线 在 处的切线的斜率为_____.
13. 现安排甲、乙、丙、丁 4 名同学参加市运动会的服务工作, 有接待、礼仪、向导三项工作可以安排，每名同学只参加一项工作，每项工作至少有一名同学参加，若甲不参加接待工作，乙不参加礼仪工作，则不同的安排方案共有_____种.
14. 在 中，内角 所对的边分别为 的面积为 ，已知 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 .
16. (15 分)
如图，在正四棱柱 中， ， 是棱 上一动点.
(1)是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的长；若不存在，请说明理由.
(2)若 为棱 的中点,求二面角 的余弦值.
17. (15分)
已知椭圆 的短轴长为 ,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的直线 与 交于 两点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ,当 取得最小值时,求 的斜率.
18.(17分)
在平面直角坐标系中,位于点 处的一个质点 按下述规则移动: 质点每次移动一个单位长度,移动的方向只能是向上、向下、向左、向右,并且向四个方向移动的概率均为 .
(1)若点 移动两次后位于点 ，设 ，求 的分布列及数学期望；
(2)若点 移动了三次，则在点 一直处于第一象限的情况下，求点 沿水平方向恰好移动了 2 次的概率.
19. (17 分)
若函数 对于任意的 ,都有 ,则称 是区间 上的“ 阶好函数”.
(1)判断 是否为区间 上的“ 2 阶好函数”,并说明理由;
(2)若 是区间 上的“ 1 阶好函数”,求实数 的取值范围；
(3)若 是区间 上的“ 阶好函数”,求实数 的最大值.
附:当 且 时， .
高二数学 - 答案
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. 答案 D
,虚部为 -3 .
2. 答案
该组数据从小到大排列为 . 因为 ,故该组数据的 60% 分位数为 42.7%.
3. 答案 C
易知 与 的图象有 2 个交点,所以 中有 2 个元素.
4. 答案
因为 ,所以 .
5. 答案
由题意得 服从二项分布, ,解得 . 从这批芯片中再随机抽取 2 个,恰有 1 个良品的概率为 .
6. 答案
易知 是 的一条渐近线,则圆心 到渐近线的距离为 . 又 ,所以 ,即 ,得 ,结合 ,得 ,所以离心率 .
7. 答案
令函数 ,则 在 上单调递增,由 ,可得 ,即 ,所以 ,解得 .
8. 答案
命题透析 本题考查数列的递推关系.
解析 由题意知 ,累加,得 ,所以 . 因为 是数列 唯一的最小项,所以 , 解得 .
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 答案 BC
对于 ,若 ,则可能 或 与 相交,故 错误;
对于 B，根据面面垂直的判定定理可知 B 正确；
对于 ,根据面面平行的定义可知 正确;
对于 ,若 ,则可能 ,或 与 相交且成任意的角,故 错误.
10. 答案 ACD
因为 ,所以 的图象关于直线 对称，故 A 正确；
因为 ,所以 的图象不关于点 对称, 故 B 错误;
因为函数 和 在 上均单调递减,所以 在 上单调递减,故 正确;
的定义域为 ,当 时,由 的图象关于直线 对称且 在 上单调递减,可知 在 上单调递增,又 ,可知 在 上仅有一个零点,当 时, ,此时 恒成立,没有零点,所以 在 上有且仅有 1 个零点,故 正确.
11. 答案 ABD
由于 的最小值为 ，所以 ，故 的方程为 ，故 正确；
因为 ，所以 ，同理 ，所以 ,故 ,即 ,故 正确;
设直线 的倾斜角为 ,由抛物线的定义可知 ,则 ,解得 ,同理可得 ,因为 ,所以 ,解得 , 故直线 的斜率为 ，故 错误；
由 可知 ， ， ， 的面积为 ， ， 的面积为 ,故 的面积与 的面积的比值为 ,故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 答案
,因为 是 的极值点,所以 ,解得 , 则 ,所以 ,即曲线 在 处的切线的斜率为 .
13. 答案 17
4 名同学安排三项工作共有 种安排方案,若甲参加接待工作,有 种安排方案,若乙参加礼仪工作,有 种安排方案,若甲参加接待工作且乙参加礼仪工作,有 5 种安排方案,则总的安排方案共有 种.
14. 答案
由 ,可得 ,又 ,所以 ,故 ,其中 ,因为 ,当且仅当 时等号成立,又 ,当 时等号成立,所以 ,故 ,即 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 命题透析 本题考查数列的递推关系及等比数列的前 项和.
解析 (1) 当 时, , (2 分)
由 ,
可得当 时， ，
两式作差,得 ,所以 . (5 分)
又 满足上式,所以 . (7 分)
(2)因为 是等比数列,所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列. (8 分)
所以 , (11 分)
所以 . (13 分)
16. (1) 如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ,设 ,
所以 . (3 分)
若 平面 ,则 即 解得 . (6 分)
故当 的长为 1 时, 平面 . (7 分)
(2)由(1)可知, . (8 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
不妨取 ,则 ,故 . (11 分)
由 (1) 可知 是平面 的一个法向量, (12 分)
因为 ,
故二面角 的余弦值为 . j
17. (1) 因为短轴长 ,所以 , (1 分)
又离心率 , (3 分)
所以 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)易知 的斜率存在，设 的方程为 .
由 得 ,
由 ,得 ,
则 , (6 分)
设 的中点为 ,则 , (8 分)
线段 的垂直平分线的斜率为 ,则 ,
(11 分)
根据对称性,不妨设 ,则 ,
当且仅当 ,即 时,取等号. (14 分)
所以当 取得最小值时, 的斜率为 . (15 分)
18. 的所有可能取值为 0,2,4 . (1 分)
(4 分)
的分布列为
0 2 4
(5 分)
(7 分)
(2)设点 移动了三次且一直处于第一象限为事件 ，点 向水平方向移动了 2 次为事件 ，
则 , (11 分)
(15 分)
所以若点 移动了三次,且一直处于第一象限的情况下,点 向水平方向移动了 2 次的概率为 . (17 分)
19. (1) 取 ,此时 , (3 分) 不是区间 上的 “ 2 阶好函数”. (4 分)
(2) 是区间 上的“ 1 阶好函数”,
对于任意的 恒成立. (5 分)
令 ,则 在 上恒成立, (7 分)
故 ,解得 ,
实数 的取值范围为 . (9 分)
(3) 是区间 上的“ 阶好函数”,
,即 ① 对于任意的 恒成立.
设 ,则 ,
①式可化为 . (11 分)
设函数 ,则 ,
在 上单调递减,
当 且 时, , (13 分)

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