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辽宁省实验中学2026届高三下学期4月高考模拟考试数学试题
一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“ ”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．等比数列的公比为，则（ ）
A． B． C． D．
4．某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地”的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆.已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知两函数和的图象在区间上有三个交点，且三个交点构成一个正三角形，若交点横坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（ ）
A．若，则 B．
C． D．
10．在棱长为的正方体中，M，N分别为，的中点，则（ ）
A．
B．
C．点在正方形内，当平面时，点轨迹长度为
D．点在棱所在直线上，当平面时，四面体的外接球表面积为
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．和的图象不存在公切线
B．在上是增函数
C．若恒成立，则整数的最大值为2
D．若，且，则的最小值为
三、填空题
12．已知，且，则______.
13．已知正数x，y满足，则的最小值为______.
14．已知数列满足，且，则数列的前n项和为_______．
四、解答题
15．已知的三个内角为A，B，C，三个内角所对的三个边分别为a，b，c，，，，内存在一点D使得，，

(1)求；
(2)求.
16．某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表：
施肥量 2 3 4 5 6
青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400
根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，，
(1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数.
(2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量.
参考公式：，.
17．已知函数，其中e为自然对数的底数，
(1)当时，求在处的切线；
(2)若为实数，，求的最小值；
(3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，曲线为以、为焦点，且与直线相切于点Q的椭圆，
(1)请求出的标准方程，并求出点Q的坐标；
(2)设直线过与（1）中的曲线交于A、B两点，若，且，求直线纵截距的取值范围.
19．世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型.其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算.例如，在空间直角坐标系中，已知过点且法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线l的方程为，基于以上知识，解决如下问题.
(1)已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，求直线与平面所成的角的正弦值；
(2)求通过直线且与平面垂直的平面方程；
(3)已知直线为两个平面与的交线，直线为两个平面与的交线，若直线与直线、都相交且都垂直，则定义为两条直线、的公垂线，两个交点之间的距离称作两条直线、的距离，求、的距离与公垂线方程.
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．D
6．B
7．A
8．B
9．BC
10．BCD
11．BCD
12．/
13．
14．
15．（1）由，得，为直角三角形且，
由勾股定理，故.
因为，所以，即，解得.
在中，由余弦定理：
代入，，，得
即，.
解得.
（2）由，得，.
在中，，，.
由余弦定理：.
代入得，即.
在中，，，.
由余弦定理：.
代入得.
由同角三角函数关系，.
故.
16．（1）根据题意，可得，
又由，
所以产量y关于施肥量x的回归方程为，
其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩.
（2）设利润为元/亩，
当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大.
17．（1）∵，∴，
∴，，
∴切线方程为，
整理得；
（2）∵，令，，则，
∴，∴时，，时，，
∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1；
（3）当时，
∵，∴，
令，则，
依题意，，，.
若，即时，使得时，
所以即在单调递减，∴时，不合题意，
∴，即，下面证明时符合题意.
∵，，，∴当时，
即在单调递增，∴，，
综上，实数a的取值范围为．
18．（1）方法一：
取的标准方程为，即，
与直线联立得，
其判别式为，整理得.
解得（舍去）或，所以的标准方程为
所以原方程可化为，解得点Q的横坐标，
所以点Q的纵坐标为，所以点Q的坐标为
方法二：
若与直线相切于点Q，则点Q应为直线上到、距离之和最小的点.
取为关于直线对称的点.
直线斜率为，故斜率为，得直线:.
中点在直线上，代入得
联立解得：，，即.
则直线为.
与联立得点Q坐标为.
所以的长轴，
所以，所以的标准方程为.
（2）依题意可知，若轴，则，不合题意.
若直线的斜率为，，，则，矛盾，
所以可设直线为，代入得.
取、为交点坐标，所以
因为，所以，.
所以，所以，所以.
取，所以，.
所以在单调递减，所以，解得，
所以.
直线：，令可得直线纵截距为.
所以直线纵截距，
即纵截距的取值范围为.
19．（1）取的法向量为，上的点满足，
在方程组中取得，所以点在直线上.取得，
所以点在直线上.所以直线的方向向量可以取为，
取直线与平面所成的角为，则.
（2）取平面满足且，取的法向量为，
直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，不妨取，
因为点在直线r上，所以点在平面内，
所以的方程为，整理得
（3）因为上的点满足，所以可取上的点为，
例如、均为上的点，所以的方向向量取为，
同理因为上的点满足，所以可取上的动点为，
例如、均为上的点，所以的方向向量可取为，
方法一：若直线为、的公垂线，则，，
因为，所以，
所以，所以、为公垂线在两条直线上的垂足，
此时，所以、的距离为，
所以公垂线方程为；
方法二：因为，
所以，
，
当且仅当时取等，所以、的距离为，
此时、为公垂线在两条直线上的垂足，
所以，所以公垂线方程为

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