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2026 年 4 月高考模拟考试 数 学
一、选择题: 本小题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 设 ,则 ( )
A. B. c. D.
2. 命题 “ ” 的一个充分不必要条件是( )
A.
B.
C.
D.
3. 等比数列 的公比为 3,则 ( )
A. B. C. 9 D. 3
4. 某中学计划组织主题为“探访辽宁红色六地”的游学夏令营，目的地包括代表“抗日战争起始地”的沈阳九一八历史博物馆、代表“解放战争转折地”的锦州辽沈战役纪念馆、代表“新中国国歌素材地”的本溪东北抗日义勇军纪念馆、代表“抗美援朝出征地” 的丹东抗美援朝纪念馆、代表“共和国工业奠基地”的鞍山鞍钢博物馆、代表“雷锋精神发祥地”的抚顺雷锋纪念馆。已知安排行程时要求每个目的地只去一次，在沈阳九一八历史博物馆与丹东抗美援朝纪念馆的探访次序不相邻的条件下，最后一个目的地为鞍山鞍钢博物馆的概率为( )
A. B. c. D.
5. 已知 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,当 时, , 则 ( )
A. B. c. D.
6. 在 中, 是 上一点,若 ,则实数 的值为( )
A. B. c. D. 1
7. 已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支上，且 ，则 ( )
A. 2 B. c. D.
8. 已知两函数 和 的图像在区间 上有三个交点,且三个交点构成一个正三角形,若交点横坐标为 ,则 ( )
A. B. C. 1 D. 2
二、选择题: 本小题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 多项符合题目要求.
9. 已知 为非零复数，则下列选项中一定正确的是( )
A. 若 ,则 B. c.
10. 在棱长为 1 的正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则( )
A.
B.
C. 点 在正方形 内,当 平面 时, 点轨迹长度为
D. 点 在棱 上,当 平面 时,四面体的 的外接球表面积为
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是( )
A. 和 的图像不存在公切线
B. 在 上是增函数
C. 若 恒成立,则整数 的最大值为 2
D. 若 ,且 ,则 的最小值为
三、填空题:本小题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，且 ，则 _____.
13. 已知正数 满足 ，则 的最小值为_____.
14. 已知数列 满足 ,且 ,则数列 的前 项和为_____.
四、解答题:本题共 5 道小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)已知 的三个内角为 ，三个内角所对的三个边分别为 ， 内存在一点 使得 ,
(1)求 ；
(2)求 。
16. (15 分)某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响。在一定范围内，施肥量 (单位 )越大，青菜产量 (单位 )越高。实验测得具体数据如下表:
施肥量 2 3 4 5 6
青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400
根据散点数据特征,研究人员分析得出产量与施肥量近似满足 的关系,取 ,经计算可知 ,
(1)请根据上述数据，计算得出产量 关于施肥量 的回归方程 ，并结合常识描述 的实际意义。为简化计算,计算过程中 均精确到个位数。
(2)若青菜的收购价格为 2 元/kg，化肥的采购价格为 12 元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量。
参考公式: .
17. (15 分) 已知函数 ,其中 为自然对数的底数,
(1)当 时，求 在 处的切线；
(2)若 ，求 的最小值；
(3)已知 ，且 在 单调递增，求实数 的取值范围。
18. (17 分)在平面直角坐标系中，曲线 为以 、 为焦点，且与直线 相切于点 的椭圆，
(1)请求出 的标准方程，并求出点 的坐标；
(2)设直线 过 与(1)中的曲线 交于 两点，若 ，且 ， 求直线 纵截距的取值范围。
19. (17 分)世界模型是人工智能领域中，通过学习客观世界的物理规则与因果关系，构建时空统一表征，实现环境状态预测与动态演化模拟的核心技术模型。其数学基础之一就是在三维空间中对几何对象进行解析化的计算。例如, 在空间直角坐标系中, 已知过点 且法向量为 的平面 的方程为 , 过点 且方向向量为 的直线 的方程为 ,基于以上知识,解决如下问题。
(1)已知平面 的方程为 ，直线 是两个平面 与 的交线,求直线 与平面 所成的角的正弦值;
( 2 )求通过直线 且与平面 垂直的平面方程;
(3)已知直线 为两个平面 与 的交线，直线 为两个平面 与 的交线，若直线 与直线 都相交且都垂直，则定义 为两条直线 、 的公垂线,两个交点之间的距离称作两条直线 的距离,求 的距离与公垂线方程。
2026 年 4 月高考模拟考试 数学试卷答案
选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A C D B A B BC BCD BCD
填空题:
解答题:
15.(1)依题意， ， ， ， (4 分)
(2)由(1)可知 ，
，又 ，
， ， (13 分)
16. (1) 依题意, , (3 分)
, (5 分)
产量 关于施肥量 的回归方程为 , (7 分)
其中 描述了当化肥使用量无限增加时,青菜产量无法超越的上限①。而在实际生产过程中, 化肥量无限增加到超越合理水平, 并不一定能够持续增加青菜产量, 这也说明回归函数模型只在施肥量处于特定范围时才能有效估计产量②。……(9 分，答出两个观点中的一个, 亦或者别的合理解释, 都可给满分)
(2)设利润为 元/亩，当且仅当 亩时取等，即当施肥量为 亩时利润最大。
17. (1) , 切线方程为 , 整理得 。……(4分)
(2) ，取 ， ， ， 在 单调递减,在 单调递增, 的最小值为 ,即 的最小值为 1. ······(8分)
(3) , 依题意 。
若 ,即 时, 使得 时 ,即 在
单调递减， 时 ，不合题意。 (11 分)
,即 ,下面证明 时符合题意。
当 时 , 即 在 单调递增, 。
综上,实数 的取值范围为 。 (15 分)
18.(1)方法一:取 的标准方程为 ，即 ， 与直线 联立得 ，其判别式为 ,整理得 ,解得 (舍去) 或 ,所以 的标准方程为 。 (5 分)
原方程可化为 ,解得点 的横坐标 点 的纵坐标为 点 的坐标为 。.. (7 分)
方法二: 若 与直线 相切于点 ,则点 应为直线上到 距离之和最小的点。取 为 关于直线 对称的点,则直线 为 ,与 联立得点 坐标为 的长轴 , 的标准方程为 。 (7 分)
(2)依题意可知，若 轴，则 ，不合题意， 可取直线 为 ， 带入 得 ,取 为交点坐标, (10 分) 又 ,由 得 , ,取 在 单调递减, ,解得 , (14 分) 直线 纵截距 ,即纵截距得取值范围为 (17 分)
19.(1)取 的法向量为 ， 上的点 满足 ，在方程组中取 得 在直线 上。取 得 在直线 上。 所以直线 的方向向量可以取为 。取直线 与平面 所成的角为 , 则 。
(2)取平面 满足 且 ，取 的法向量为 ， ,不妨取 ,又 点 在直线 上, 点 在平面 内, 的方程为 ,整理得 。……(9分)
(3) 上的点满足 上的点为 ，例如 均为 上的点, 的方向向量取为 ,同理 上的点满足 , 可取 上的动点为 ,例如 均为 上的点, 的方向向量可取为 。
方法一: 若直线 为 的公垂线,则 , 、 为公垂线在两条直线上的垂足,此时 的距离为 , 公垂线方程为 。
方法二: ,当且仅当 时取等。 的距离为 ,此时 为公垂线在两条直线上的垂足, 公垂线方程为 。

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