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高二数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版必修第一、二册占 30%, 选择性必修第一册到第三册 7.3 占 70%。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 不小于 2 的所有整数构成的集合可表示为
A. B.
C. D.
2. 若 为奇函数,当 时, ,则
A. B. C. D.
3. 将复数 的实部与虚部进行交换,得到的复数为
A. B. 5-15i C. -5-5i D. -5+10i
4. 的展开式中系数为有理数的各项系数之和为
A. -30 B. -29 C. 1 D. 31
5. 设双曲线 的左焦点为 ,过 作 的一条渐近线的垂线,交 轴于点 . 若 ,则 的离心率为
A. 2 B.
C. D.
6. 从 这 10 个数中任取 4 个不同的数,则这 4 个数恰好可以构成等差数列或等比数列的概率为
A. B. C. D.
7. 已知随机变量 服从两点分布,随机变量 的分布列为若 ,且 与 相互独立,则
Y 1 2 3
P 0.2 0.6 0.2
A. 0.25 B. 0.4 C. 0.65 D. 0.9
8. 函数 的最小值为
A. B. C. 1 D. 0
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知数列 分别是等差、等比数列,则必有
A. B.
C. D. 成等比数列
10. 若 ,则 的取值可以为
A. -10 B. C. -4 D. 1
11. 在正四棱锥 中, 是 的中点, 为底面的中心,点 在四棱锥 的外接球 (球 ) 的球面上,点 在四棱锥 的内切球的球面上,则 A. 球 的表面积为
B. 平面 将该四棱锥 分成两部分,体积较小的部分也是一个四棱锥
C. 的最大值为
D. 为定值
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 设函数 ，则 _____▲_____.
13. 振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉. 某中学社会实践小组为测量振风塔的高度, 开展了一次实地测量的活动. 他们在塔底 所在的水平地面上选取 两点,测得 米, ,在点 处测得塔顶 的仰角为 ,则振风塔的高度 约为_____▲_____米. (结果精确到整数,参考数据: 取 )
14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有_____▲_____种.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 .
(1)求 的值；
(2)求 的定义域；
(3)若 在区间 上有零点，求 的最小值.
16. (15分)
某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为 0.6 ，选择乙餐厅的概率为 0.4 , 甲餐厅的准时送达率为 0.95 , 乙餐厅的准时送达率为 0 .9 . 已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.
(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.
(2)平台推出“准时保”，每单需支付 0.5 元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付 3 元； 若外卖准时送达，则平台不赔付. 该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过 0.3 元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.
17. (15分)
如图，在直三棱柱 中， ，且 .
(1)证明: 平面 .
(2)在答题卡上，作出平面 与 的交点，并说明你的理由.
(3)求平面 与平面 夹角的正切值.
18.(17分)
已知椭圆 经过点 ，且 的长轴长与短轴长之比为 .
(1)求 的方程.
(2)已知点 ，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，且 .
(I)若 与 重合，求 .
(II)判断直线 是否过定点. 若是,求出该定点; 若不是,请说明理由.
19. (17分)
在正项数列 中,记 ,若 为非零常数列,则称 存在等比型递推结构,数列 为 的结构常数数列.
(1)试问数列 是否存在等比型递推结构？请说明理由.
(2)已知正项数列 存在等比型递推结构,且 .
(1)求 的通项公式；
( II ) 设 ,记 的前 项和为 ,证明: 对任意 恒成立.
高二数学参考答案
1.D 不小于 2 的所有整数构成的集合可表示为 .
2. A .
3. ,则所求复数为 .
4. 的展开式中系数为有理数的项为 ,其系数之和为
5. D 不妨设直线 的方程为 ，则 ，因为 ，所以 ,则 ,所以 的离心率为 .
6. C 设被选取的 4 个数为 ,且 .
若这 4 个数成等差数列,设公差为 ,则 ,当 时,满足条件的 , 有 7 组,当 时,满足条件的 有 4 组,当 时,满足条件的 有 1 组. 若这 4 个数成等比数列,则只有一种情况,即 . 故所求概率为 .
7. C (方法一) 令 ,则 的可能取值为1,2,3,4.
2. 0.65 .
(方法二) 由随机变量 服从两点分布,得 ,
又 与 相互独立,所以 .
8. . 设 ,则 -1,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,则 . 令 ,则 ,因为 在 上单调递增,所以当 时, 取得最小值,且最小值为 0 . 故 的最小值为 0 .
9.BC 对于 A 选项,因为等式左边是两项之和,右边只有 1 项,所以 未必成立, A 错误. 对于 选项,等式两边均为 3 项之和,且下标之和相等,所以 正确. 对于 选项,等式两边均为 3 项之积,且下标之和相等,所以 正确. 对于 选项,当公比为 -1 时, ,所以 不是等比数列, 错误.
10. ABD 若 ,则 ,设函数
,则 ,
令 ,得 单调递增,令 ,得 单调递减.
因为 ,所以 ,
故 ,解得 .
11. BCD 连接 ,则 平面 . 易知 在 上, ,设 ,在 中, ,得 ,所以球 的半径 , 表面积为 , A 错误. 取 的中点 ,连接 , ,易得 ,则四边形 即为平面 截该四棱锥所得的截面,由图可知体积较小的部分为四棱锥 正确. . ,则 ,所以 , D 正确. 设四棱锥 内切球的半径为 ,则 ,得 ,设内切球的球心为 ,则 ,则 正确.
12. 10 因为 ,所以 .
13.73 在 中, ,由正弦定理得 ,所以 . 在 中, ,所以 米,故振风塔的高度 约为 73 米.
14. 13020 因为两端都涂红色, 所以中间 4 个方格也可以涂红色.
当中间 4 个方格中有 2 个方格涂红色时,涂红色的位置有 3 种选择,剩下的有 种选择,所以共有 种涂色方法.
当中间 4 个方格中只有 1 个方格涂红色时,涂红色的位置有 4 种选择,剩下的有 种选择,所以共有 种涂色方法.
当中间 4 个方格都不涂红色时,有 种涂色方法.
综上,不同的涂色方法共有 种.
15. 解: (1) . 2 分
( 2 )由 ，得 ， 4 分
则 , 5 分
则 , 7 分
解得 , 8 分
则 的定义域为 . 9 分
(3)(方法一)令 ，得 ， 10 分
即 , 11 分
因为 ,所以 , 12 分
故 的最小值为 . 13 分
(方法二) 令 ,得 , 10 分
因为 ,所以 , 11 分
所以 ,即 . 12 分
故 的最小值为 . 13 分
16. 解:(1)设事件 “外卖点餐准时送达”， “在甲餐厅点餐”， “在乙餐厅点餐”，依题意得 . 1 分
由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率 .
7 分
(2)他愿意购买“准时保”. 8 分
理由如下:
设他购买“准时保”的净收益为 元，则 的所有可能取值为 -0.5,2.5 . 9 分
10 分
, 11 分
则 . 13 分
因为 ,即亏损期望不超过 0.3 元,所以他愿意购买“准时保”. 15 分
【备注】
第(2)问的理由还可以这样写:
设他购买“准时保”的亏损为 元,则 的所有可能取值为 , 9 分
11 分
则 . 13 分
因为 ,所以他愿意购买“准时保”. 15 分
17.(1)证明:因为 ， ，所以 . 1 分
又 ，所以 ， 2 分因为 平面 平面 ,所以 平面 . 4 分
(2)解:延长 ,交 延长线于点 , 5 分
连接 ,交 于点 . 6 分
因为 ,所以 平面 ,所以 平面 ,所以 为平面 与 的交点. 7 分
(3)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
, 8 分
9 分
设平面 的法向量为 ,则 得 10 分
令 ,得 . 11 分
易知平面 的一个法向量为 . 12 分
设平面 与平面 的夹角为 ,则 , 14 分
则 ,
故平面 与平面 夹角的正切值为 . 15 分
18. 解:(1)设 ，则 ，则 的方程为 . 1 分
因为 经过点 ,所以 ,得 . 2 分
故 的方程为 . 3 分
(2)(1)设 ，由 4 分得 , 5 分
得 , 6 分
则 . 7 分
故 . 8 分
(ii) 直线 . 由 ,得 . 9 分由 得 , 10 分则 11 分
因为 ,所以 的坐标为 . 12 分同理可得 的坐标为 . 13 分
又
, 15 分
所以直线 的方程为 16 分
因为 ,所以直线
过定点 . 17 分
19. ( 1 )解:设 ， 3 分
所以数列 存在等比型递推结构. 4 分
(2)(i)解:因为数列 存在等比型递推结构，所以可设 ， 设 ,则 ,所以 为等比数列,
,所以 ,解得 , 5 分
所以 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, , 6 分
所以当 时, , 8 分即 ,因为 ,所以 . 9 分
(ii) 证明: 由 (i) 得 ,所以 10 分
所以
分
则 . 12 分
所以要证 ,只需证 . ... 13 分
设函数 ,则 ,设 ,则 1,当 时, ,则 在 上单调递增,所以 , 14 分
所以 在 上恒成立,则 在 上单调递增,所以 ,所以 在 上恒成立, 15 分
令 ,得 ,即 16 分
所以 ,即 , 所以对任意 恒成立. 17 分

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