资源简介

数学
注意事项:
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 样本数据12,15,16,17,18,20,22,23的 75% 分位数为
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 在等比数列 中,若 ,则
A. 3 B. C. 9 D. 27
4. 已知圆 上的点 到直线 的距离为 1,则满足条件的点 的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线与双曲线的左、 右两支分别交于 两点. 若 ,且 ,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
6. 心理学家有时使用函数 来测定在时间 (分钟)能够记忆的量 ，其中 表示需要记忆的量, 表示记忆率. 假设一个学生有 300 个单词要记忆,心理学家测定在 6 分钟时该学生记忆了 30 个单词,则该学生记忆 57 个单词大约需要
A. 30 分钟 B. 24 分钟 C. 18 分钟 D. 12 分钟
7. 已知正三棱柱 的所有顶点都在球 的表面上,且球 的表面积为 ,则该三棱柱的侧面积的最大值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 R,且满足 ,则
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 设 为复数,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 是实数 B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知函数 ,则
A. 的极大值点为 -1
B. 恰有三个零点
C. 当 时,
D. 若 在区间 上有最大值,则 的取值范围为
11. 已知 是抛物线 上不同的两点， 是坐标原点，且 ，过点 分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为 ,则
A. 存在点 ，使得 为直角三角形
B.
C. 的面积的最小值为 16
D. 点 到直线 的距离不大于 4
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 满足 ，若 ，则 与 的夹角为_____.
13. 已知函数 ,如图, 是直线 与曲线 的两个交点,且 ,若 在区间 上的值域是 ，则 的取值范围是_____.
14. 现有一盒子里装有编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次有放回地从盒子里各随机抽取一球(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的编号分别为 ，则满足 的情况的种数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中，内角 的对边分别为 ，且 . (1)求 的值；
(2)若 ,求 外接圆的面积.
16. (本小题满分 15 分)
如图，已知四棱锥 的底面 是正方形， ，点 分别为棱 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ,求平面 与平面 夹角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队 3 人)进入了决赛. 决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得 10 分，答错者得 0 分. 假设甲队中 3 人答对的概率分别为 ,乙队中每人答对的概率均为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)记随机变量 表示甲队的总得分，求 的分布列和数学期望；
(2)在甲、乙两队总得分之和等于 30 分的条件下, 求甲队得分比乙队得分高的概率.
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，且 ，点 是 上异于顶点的一点,当 时, 的面积为 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于另外一点 ，且 ，求直线 的斜率；
(3) 上两个不同的动点 ， 满足 与 的倾斜角互补，过点 且垂直于 轴的直线与 的另一个交点为 ,记线段 的中点为 为坐标原点,求证: 三点共线.
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求 的取值范围；
(3)已知函数 ，若 在区间 上的最小值为 ，令 .
(I)若对任意的 ，都有 ，求 的取值范围；
( II ) 求证: .
1.C 由小到大排列为12,15,16,17,18,20,22,23,一共有 8 个数据, ,所以 分位数为 . 故选 C.
2.B 由题意可得: ,所以 . 故选 B.
3. A 设等比数列 的公比为 ,由题意可得: 可得 ,所以 . 故选 A.
4. D 圆 的圆心为 ,半径为 ,圆心 到直线 的距离为 ,故 到直线 的距离为 1 的点共有 4 个. 故选 D.
5. A 因为 在双曲线的左、右支上,所以 又 ，所以 ，即 ，所以该双曲线的离心率 . 故选 A.
6. 当 时, ,将这些值代入函数 中，可得 ，所以 ，解得 ,解得 ,所以 ,即 ,所以 ,解得 ,即该学生记忆 57 个单词大约需要 12 分钟. 故选 D.
7. 记三棱柱上、下底面中心分别为 ,则 的中点为 ,设球 的半径为 ,则 ,所以 ,所以 ,所以 ,解得 ,当且仅当 ,即 时，等号成立，所以该三棱柱的侧面积 ，即三棱柱的侧面积的最大值为 . 故选 B.
8. C 因为 ,所以 ,令 ,得 ,因为 , 则 ,所以 ,所以 4) ,即 是周期为 4 的周期函数,所以 . 故选 C.
9. AB 设 ,若 ,则 ,所以 ,故 A 正确; 设 ,则 ,则 ,故 B 正确; 若 ,显然满足 ,但 ,故 C 错误; 若 ,则 ,而 , ,故 D 错误. 故选 AB.
10. ACD 由题意知 ,当 时, ; 当 或 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减，所以 的极大值点为-1，故 正确；因为 ，所以 恰有两个零点,故 错误; 因为 ,则 ,且 ,可得 ,因为函数 在 上单调递减,所以 ,故 正确; 因为 ,若 在区间 上有最大值,则 解得 ,故 正确. 故选 ACD.
11. 设 ,易得点 ,所以 ，所以 不可能为直角三角形，故 A 错误；因为 ，所以 ，即 ,解得 (舍) 或 -15，故 正确； ，所以 的面积是 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,故 正确; 设直线 的方程为 ,由 得 ,所以 ,所以 解得 ,则原点 到直线 的距离 ,当 时,等号成立,即 到直线 的距离不大于 4，故 正确. 故选 BCD.
12. 因为 ,所以 , ,所以 ,又 ,所以 .
13. 根据 可得 ,故 ,故 , 令 ,故 或 ,结合图象可知 ,因此 ,故 ,因此 . 当 时, ,又 在区间 上的值域是 ,所以 ,解得 ,即 的取值范围是 .
14.96 由 ,得 ,则 ,不妨设 ,则 ,还有一个数为 ,显然 ,对于任意 取值,都有如下情况:当 时,三个数为 ,对应 , ,有 种方法; 当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法; 当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法; 当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法; 当 时,三个数为 ,对应 ,有 种方法. 所以一共有 种.
15. 解:(1)因为 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，所以 ，由正弦定理得 ，
3 分
因为 ,所以 ,
所以 ,故 . 6 分
(2)因为 ,又 ,
所以 , 8 分
所以 , 10 分
记 外接圆的半径为 ，所以 ，解得 .
所以 外接圆的面积 . 13 勿
16.(1)证明:连接 ,交 于点 ,连接 ,交 于点 ,连接 ,如图所示. 因为点 分别为棱 的中点,所以 是 的重心,所以 , 2 分
因为底面 是正方形，所以 ，所以 ，所以 , 3 分
所以 ,所以 , 5 分
又 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)解:因为平面 平面 ,且平面 平面 平面 , 所以 平面 , 8 分
又 平面 ,所以 ,又 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则 , .
可得 .
易知平面 的一个法向量为 . 9 分设平面 的一个法向量为 ,则
令 ,则 ,可得 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 , 13 分
可得 ，所以平面 与平面 夹角的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 由题意知 的所有可能取值为 0,10,20,30, 1 分
所以 ,
所以 的分布列为:
0 10 20 30
15 16
5 分
所以 . 8 分
(2)记“甲、乙两队总得分之和等于 30 分”为事件 ，“甲队得分比乙队得分高”为事件 ，
所以 ,
所以 ,
即在甲、乙两队总得分之和等于 30 分的条件下,甲队得分比乙队得分高的概率为 . 15 分
18.(1)解:当 时， 的面积 ，解得 ， 又 ,即 ,所以 ,解得 , 2 分
所以 , 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)解:易得 ，设 ，又 ，所以 ，
所以 ,所以 ,又 ,
解得 或 , 7 分
当 时,直线 的斜率为 ;
当 时,直线 的斜率为 .
综上,直线 的斜率为 或 . 9 分
(3)证明:设 ， ， ， ，由题意可知， ， ，且 ，
因为 所以两式相减可得 ,
所以 ,
所以 ,而 ,
所以 . 12 分
设直线 的方程为 ,则直线 的方程为 ,
由 得 ,整理得 ①
因为 是方程①的一个实根，所以 ,②
由 得 ,整理得 ,③
因为 是方程③的一个实根,所以 ,④
②一④可得 ,⑤
② +④ 可得 , ⑥
所以 ,⑦
将⑤⑥代入⑦式可得 , ⑧
因为 ，所以 ①，将 ⑨ 代入 ⑧ 式中可得 ， 15 分
又因为 ,所以 ,所以 ,即 三点共线. 17 分
19.(1)解:若 ，则 ，所以 ， ，所以 ,所以 的图象在 处的切线方程为 ,即 . 3 分
(2)解:由题意知 ,令 ,所以 ,所以 即 在 上单调递增, 4 分
当 ,即 时, ,所以 在 上单调递增,所以 ,符合题意; 5 分
当 ,即 时, ,所以 ,使得 ,当 时, ,所以 在 上单调递减,所以 ,不符合题意. 6 分
综上, 的取值范围是 . 7 分
(3)由题意知 在 上恒成立,所以 在区间 上单调递减，所以 ，所以 . 9 分
(1)解:若对任意的 ，都有 ，即 ，
所以 12 分
;
又 ,所以 ,即 的取值范围是 . 13 分
( II ) 证明: 由 (2) 知,当 时, ,当且仅当 时等号成立,
所以当 时, ,即 , 15 分
所以
,即 . 17 分

展开更多......

收起↑