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2026 年高考适应性测试试卷 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 若复数 ,则 在复平面内对应的两点之间的距离为
A. B. 2 C. D. 5
2. 已知两个单位向量 的夹角为 ,则
A. 0 B. C. D.
3. 已知集合 ,且 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
4. 某工厂抽检了 100 个零件，并统计了这些零件的直径(单位:mm)数据，得到如下表格:
直径/mm 46 47 48 49 50 51 52 53 54
频数 5 8 12 15 20 18 12 6 4
由表可知这 100 个零件的直径的第 60 百分位数为
A. B. C. D.
5. 若直线 的倾斜角分别为 ,则
A. B. C. D.
6. 已知函数 ,若 恰有 2 个零点,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
7. 已知 ,且 ,则 的最小值为
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
8. 若 的中线 ,且 ,在平面直角坐标系 中,点 在双曲线 上，则 的离心率为
A. B. C. D. 2
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若曲线 关于点 对称,则 的解析式可以为
A.
B.
C.
D.
10. 若正方体 外接球的球心为 ,且 分别为棱 的中点,则
A.
B. 二面角 的正切值为 -2
C. 平面
D. 为四面体 外接球的球心
11. 若函数 的定义域为 ,且 ,则
A.
B.
C. 为奇函数
D. 当 时,
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 若椭圆 的焦点在 轴上，则 的取值范围是_____▲_____.
13. 甲、乙两名游客来广州旅游，他们各自从广州塔、永庆坊、镇海楼、广州大剧院、周氏大宗祠、 五仙门发电厂旧址这 6 个景点中选 2 个游玩, 则甲、乙两人至少有一人选择广州塔的选法种数为_____▲_____.
14. 正三棱柱 的棱长均为 分别是棱 的中点,过点 的平面分别交直线 于点 ,则三棱柱 与三棱锥 公共部分的体积为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
如图，在四棱锥 中，正三角形 所在平面与矩形 所在平面垂直.
(1)在答题卡中，作出四棱锥 的高，并说明理由；
(2)若 ，且 ， ，求 与平面 所成角的正弦值.
16.(15 分)
已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若不等式 对 恒成立，求 的取值范围.
17. (15 分)
某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为 0.6 ，选择乙餐厅的概率为 0.4 , 甲餐厅的准时送达率为 0.95 , 乙餐厅的准时送达率为 0.9 . 已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.
(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.
(2)在该用户的 次外卖点餐中，记准时送达的次数为 ，若 的方差大于 0.7 ，求 的最小值.
(3)平台推出“准时保”，每单需支付 0.5 元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付 3 元； 若外卖准时送达，则平台不赔付. 该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过 0.3 元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.
18. (17分)
已知圆 的圆心在第一象限且圆 与两坐标轴均相切，抛物线 经过圆心 C.
(1)求圆 的标准方程.
(2)设 与圆 交于 两点,证明: 两点到 轴的距离均不小于 .
(3) 为坐标原点,过圆心 的直线 交 于另一点 ， 的焦点为 ,求 的最小值.
19. (17 分)
若数列 满足 ,则称 为 “ -拟等差数列”; 若数列 满足 ,则称 为“ -拟等比数列”.
(1)若数列 既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且 ，求 的通项公式.
(2)已知 ，数列 是 “ -拟等比数列”， 的前 项和为 .
( i )证明: 存在 ,使得 是 “ -拟等差数列”.
(ii) 证明: .
2026 年高考适应性测试试卷 数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 C D D C A B C B ACD BC ACD (1,+∞) 125
15.
解: (1) 取 的中点 ,连接 ,则 是要求作的四棱锥 的高. 2 分理由如下:
因为 为正三角形, 是 的中点,所以 . 3 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,即 是四棱锥 - 的高. 4 分
(2) . 5 分
取 的中点 ,连接 . 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 6 分因为 ,所以 为棱 的中点,
则 , , 8 分所以 , . 9 分设平面 的法向量为 ,则
10 分
令 ,得 , 11 分
所以 , 12 分
故 与平面 所成角的正弦值为 . 13 分
16.解: (1) , 2 分
则 . 3 分
因为 , 4 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 6 分
(2) . 7 分
由 ,得 . 8 分
设 ,则 .
9 分
令 ,得 ,则 在 上单调递减; 11 分
令 ,得 ,则 在 上单调递增. 13 分
所以 , 14 分
故 的取值范围为 . 15 分
17.解:(1)设事件 “外卖点餐准时送达”， “在甲餐厅点餐”， “在乙餐厅点餐”，依题意得 . 1 分
由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率 .
4 分
(2)依题意得 ， 6 分
则 . 7 分
若 的方差大于 0.7,则 ,所以 ,
故 的最小值为 11 . 9 分
(3)他愿意购买“准时保”. 10 分
理由如下:
设他购买“准时保”的净收益为 元，则 的所有可能取值为 -0.5,2.5 . 11 分
, 12 分
13 分
则 . 14 分
因为 ,即亏损期望不超过 0.3 元,所以他愿意购买“准时保”. 15 分
18.(1)解:设圆 的半径为 ,则圆心 . 1 分
将圆心 的坐标代入 ，得 ，解得 . 2 分
故圆 的标准方程为 . 4 分
(2)证明:由 得 ，即 6 分
则 , 7 分
因为 ,所以 ,又 ,
所以 ,故 两点到 轴的距离均不小于 . 9 分
(3)解:易知 ，设 ， ，
则 , 11 分
所以
12 分
设过圆心 的直线 的方程为 ，代入 ，得 (m , 13 分
则 ,即 ,且 , 14 分
所以 , 15 分
则 16 分
因为 ,所以当 (满足 ) 时, 取得最小值,且最小值为 . 17 分
19.(1)解:因为 是“2-拟等差数列”,所以 ，则 是等差数列，设 的公差为 . 1 分
又 是 “ 4-拟等比数列”,所以 ,
即 ,即 . 2 分
当 时,由 ,得 ; 3 分
当 时,由 ,得 . 4 分
(2)证明:(i)由“ -拟等比数列”的定义，取 ，得 ，即 ，得 ,所以 . 5 分
由 可得 , 6 分
即 ,即 . 7 分
所以 是常数列, ,即 ,即 是 “ -2-拟等差数列”. 8 分
(ii) 由 ,得 ,可知 是等比数列,首项为 ,公比为 -1,故 . 9 分
当 为奇数时, ;
当 为偶数时, . 10 分
所以当 为奇数时, ; 11 分
当 为偶数时, . 12 分
设 ,则 .
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 所以 ,即 ,当且仅当 时,等号成立. 13 分取 ,其中 ,则有 ,即 ,即 ,则 1)] . 15 分
当 为奇数时, . 16 分
当 为偶数时, . 综上, . 17 分

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