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广东仲元中学等校2025-2026学年下学期学科素养提升练习
八年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若是整数，则正整数的最小值是( )
A. B. C. D.
4.矩形纸片中，，，将纸片沿折叠使点与点重合，折痕与相交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
5.下列条件不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
6.若一个多边形的内角和是，则这个多边形是( )
A. 十边形 B. 六边形 C. 八边形 D. 七边形
7.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是( )
A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
8.下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为( )
A. B.
C. D.
10.如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中；≌；四边形是平行四边形；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.计算： ．
12.如图，在四边形中，与相交于点若，，则当 ， 时，四边形是平行四边形．
13.直角三角形有两边长分别为，，则该直角三角形第三边的长度为 ．
14.计算： ．
15.在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，则平行四边形第四个顶点的坐标为 ．
16.如图，在四边形中，连接，，已知是边上的一点，连接，过点作于点，且若，，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.计算：
；
．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：已知，，求下列各式的值：
；
．
19.本小题分
如图，每个小正方形的边长均为，，，，均为格点．
直接写出下列线段的长度： ， ；
连接，判断形状，并证明你的结论．
20.本小题分
综合与实践
学校花园有一个不规则的池塘，，两点分别位于池塘的两端，利用现有皮尺无法直接测量，间的距离．综合实践小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下：
实践任务 测量池塘两端，间的距离
测量工具 皮尺
测量方案及测量数据 如图所示，图中各点均在同一水平地面内．第一步：沿线段延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使；第二步：在的一侧选点，使点能直接到达，，三点，测得，，．
问题解决：
试判断的形状，并说明理由；
求池塘两端，之间的距离．
21.本小题分
如图，在中，是它的一条对角线，过，两点分别作，，、是垂足，求证：．
22.本小题分
如图所示是某校篮球架实物图，如图所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的点处观察篮板底部点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到点，使得从点观察篮板顶部点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注点的位置，测量的长度为活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由．
23.本小题分
“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，请利用这个图形解决下列问题：
试说明：
如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
24.本小题分
【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知在中，，，．
请你用“海伦秦九韶公式”求的面积．
除了利用“海伦秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
25.本小题分
定义：若端点均在四边形边上的线段平分该四边形的面积，则我们称这条线段为该四边形的等积线．例：如图，在中，连结，我们可以利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”，结合“等底同底等高的两个三角形面积相等”来说明与的面积相等，即是的等积线．
请利用图完成例的证明．
如图，在四边形中，连结已知点与上一点的连线段是四边形的等积线，过点作的平行线，交于点，若，求的长度．
如图，在的条件下，延长，交于点若，请在图中找出一条不同于的四边形的等积线，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.或 或
14.
15.，，
16.
17.【小题】
解：原式
；
【小题】
解：原式
．

18.【小题】
解：，，
，
；
【小题】
解：，，
，，
．

19.【小题】

【小题】
解：是直角三角形；
证明：，，，
，
是直角三角形．

20.【小题】
解：是直角三角形，理由如下，
在中，，，，
，
．
是直角三角形．
【小题】
是直角三角形，在同一直线上，
，
．
即池塘两端，之间的距离为．

21.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
．
22.解：我认为小明的说法正确．理由如下：
，
．
．
，
．
四边形是平行四边形．
．
的长度就是篮板的高度．

23.【小题】
证明：大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，
．
【小题】
解：大正方形面积为，
，
，
，
又小正方形面积为，
，
，
，
．

24.【小题】
，，
【小题】
证明：，，
，，
所以为直角三角形；

25.【小题】
解：过作于，过作于，
，
，，
夹在两条平行线间的垂线段相等，
，
，，
，即是的等积线．
【小题】
解，连接，，过作于，过作于，
，
，
线段是四边形的等积线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题】
连接，，
由可得，
，
四边形是平行四边形，
，
，
线段是四边形的等积线，
，
，
线段是四边形的等积线．

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