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上海市虹口区2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中，点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.当多边形的边数由逐渐增加到时，且为正整数，这个多边形的外角和( )
A. 逐渐增加 B. 逐渐减小 C. 没有变化 D. 增、减情况不确定
3.俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动个格子，再向下移动个格子后，点恰好落在点处，则上方的方块移动前点所在位置的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如果平行四边形的一条边长是，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
5.如图，菱形各边的中点分别为，，，，若四边形的面积为，则菱形的面积为( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线互相平分
B. 有一个内角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的四边形是菱形
C. 正方形具有矩形和菱形的所有性质
D. 对角线相等的矩形是正方形，对角线垂直的菱形是正方形
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.正六边形的内角和为 度．
8.在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ．
9.在平面直角坐标系中，已知两点，那么 ．
10.在平行四边形中，的补角与互余，那么的度数为 ．
11.如图，如果“车”的坐标为，“马”的坐标为，那么“炮”的坐标为 ．
12.已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么点的坐标为 ．
13.如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么 ．
14.如图，是的中位线，平分，交于点已知，，则的长为 ．
15.已知点、、，平行四边形的顶点的坐标为 ．
16.如图，矩形中，为上一点，将沿翻折，点的对应点恰好为的重心，那么 ．
17.在平面直角坐标系中，对于平面任一点，若规定以下三种变换：
，如：；
，如：；
，如：．
按照以下变换有：，那么 ．
18.在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”如果 是“中垂三角形”， 是中线， ， ，那么 的长为 ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标为、、，试求的面积．
20.本小题分
如图，在周长为的平行四边形中，相交于点交于点，求的周长．
21.本小题分
点是平面直角坐标系中不在坐标轴上的点，过点向轴、轴作垂线段，垂足分别为如果，那么点称为“好点”例如：点，因为，所以点是“好点”．
在点、、中，“好点”是 ．
如果是“好点”，求的值．
22.本小题分
如图，在平行四边形中，点为边上的一点，连接、交于点，，如果，求证：四边形是菱形．
23.本小题分
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺无刻度的直尺不能度量，且无法画垂线、平行线，只能用来连线．
作图：只用无刻度直尺在图中作出平行四边形的对角线的中点； 小朱同学采用下面的方法： 用无刻度直尺连接线段； 线段与的交点记为点； 结合已学过的平行四边形性质，图中的点即为线段的中点．
参考以上作法，请你在以下两题中只使用无刻度直尺和铅笔作图保留作图痕迹：
如图，在平行四边形中，点是边的中点，请作出边的中点；
如图，点、点、点都是方格纸中的格点，作出的重心．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，点，点在轴上．
当点在轴正半轴，将点绕点逆时针旋转后落在点处，如果的面积为，求点的坐标；
如果点在直线上，，且，求点坐标．
25.本小题分
如图，在正方形中，，对角线交于点，点是边上一点不与点重合，连接交于点，延长交的外角角平分线于点．
求证：；
连接、，当时，求的长．
26.本小题分
综合与实践
【问题情境】某数学兴趣小组研究了课本教材中的折纸与数学，思索折纸与角的关系，寻求新的折纸方法，其内容如下：
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作、、等大小的角，可以采用下面的方法如图： 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，点、的对应点分别为、，把纸片展平．
【知识运用】请根据上述过程，连接，观察图中，试猜想这三个角的大小关系是 ；
【拓展提升】小华再次探究，寻找等分角的方法：如图，点为边上的一点，连接，在上取一点，折叠纸片，使、两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点、分别落在、上，得到折痕，点、的对应点分别为、，展平纸片，连接、求证：是的一条三等分线；
【迁移探究】兴趣小组成员继续探究三等分线段的方法：如图，将正方形纸片对折，得到折痕，其中，点、分别是边、的中点，连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长，交边于点，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18. 或
19.解：，，和的纵坐标相等，均为，
轴，的长度为，所在直线为，
点到直线的垂直距离为，
．

20.解：四边形是平行四边形，且相交于点，
，，
平行四边形的周长为，
，
，即；
又，
垂直平分，
，
的周长．

21.【小题】
和
【小题】
解：是“好点”，且点不在坐标轴上，
，且，
分两种情况讨论：
当时，原式化简为，即，
解得；
当时，原式化简为，即，
解得；
综上，．

22.证明：四边形是平行四边形，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
，
四边形是菱形．

23.【小题】
解：如图，点即为所求；
连接、交于点，连接并延长交于点，连接、交于点，连接并延长交于点，点即为所求；
四边形是平行四边形，点为对角线、的交点，
，，，为的中点，
点是边的中点，
是的中位线，
，，
，，即，
四边形是平行四边形，点为对角线、的交点，，
为的中点，为的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，
，
，即，点是的中点；
【小题】
解：如图，点即为所求；
取，且，连接与相交于点，取的中点，连接、相交于点；
，，
，
，即点是的中点，
点是的重心．

24.【小题】
解：设点坐标为，，已知，即，，
由旋转的性质得，，
的面积为，
，即，
在中，由勾股定理得，
，
点的坐标为；
【小题】
解：设点坐标为，
点在直线上，
点坐标为，
，
，，，
，
，
即：，
，
，且，，
即：，
再结合，
可得：，即，
，
整理得：，
，
，
，
，
点的坐标为：或．

25.【小题】
解：如下图，延长，交于点，
四边形是正方形，
，，
是的外角的平分线，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，
，
作，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
；
【小题】
如下图，延长，过点作的延长线的垂线交于点，交的延长线于点，
由知：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得：舍去，
．

26.【小题】
【小题】
证明：如图所示，连接，
由折叠可知：是的垂直平分线，
，；
由折叠的性质可得，，
，
；
由折叠的性质可得，
由矩形的性质可得，
，
，
，
，
是的一条三等分线；
【小题】
证明：如图所示，连接，
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得，
，
，
，
又，
，
；
设，则，
点为的中点，
，
；
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，即，

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