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上海市宝山区2025--2026学年第二学期九年级模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.若，则下列式子正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列关系式中，是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
4.如图，，点为射线上一点，，如果是以点为圆心，半径为的圆，那么与直线的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定
5.如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有 种不同的剪法．
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；连接交于点，交于点，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点、；那么线段的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.实数的立方根是 ．
8.因式分解： ．
9.方程的根是 ．
10.计算： ．
11.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12.年我国人工智能产业活力迸发、亮点纷呈，人工智能企业数量超家，核心产业规模预计突破万亿元，将数据万亿元用科学记数法表示为 元．
13.已知一次函数经过点且随增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数关系式： ．
14.在一个不透明的袋子里装有个绿球、个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球的个数是 ．
15.如图，在中，的平分线交于点，，设，，那么用向量、表示向量是 ．
16.如图，正六边形是由八个全等的等腰梯形拼接而成，如果每个等腰梯形的腰长都是，那么正六边形的边心距是 ．
17.如图，在矩形中，将绕点旋转至的位置，点在的延长线上，与交于点，如果，，那么四边形的面积是 ．
18.定义：有且仅有一条边长等于其外接圆半径的三角形叫做“等接圆三角形”如果等腰三角形是“等接圆三角形”，那么的面积与其外接圆面积的比值是 保留
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
19.计算：．
20.解关于的不等式组：．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与直线交于点、点，点和点关于原点对称．
求与的值；
求的值．
22.本小题分
某校开展校园才艺大赛，根据同学们的报名意向分为“唱歌、舞蹈、器乐、戏剧、其他”几个表演类别．图、图是每类表演报名人数的不完整统计图．
扇形统计图中“舞蹈”所在扇形的圆心角度数为 ；
本次大赛总共报名______人，请补全条形统计图；
才艺大赛当天由名学生代表作为评审进行打分满分分，甲、乙两位同学在“唱歌”项目的得分及其部分统计结果如下：
甲
乙
平均数 中位数 方差
甲
乙
表中的数据：______，______，______；
结合平均数、中位数、方差等统计数据，谈谈你对甲、乙两位同学成绩的看法．
23.本小题分
如图，已知梯形中，，，对角线与交于点，将沿着直线翻折得到点对应点
求证：四边形是平行四边形；
如果四边形是矩形，且，求证：．
24.本小题分
【问题背景】
图是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架．
【数据测量】
图是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点、在边上，点、在抛物线上．
【问题解决】
如图，工程队以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
求顶点的坐标及抛物线的函数表达式；
当支撑架为正方形时，求架骨的长；
为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离，求此时的取值范围．
25.本小题分
如图，是的直径，是延长线上一点，是的切线，为切点，连接、．
求证：；
如图，过点作交于，
如果，，求的长；
连接、，如果是以为腰的等腰三角形，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.
17.
18.或
19.解：原式．
20.解：
由，得；
由，得；
不等式组的解集为．

21.【小题】
解：由题意得，把代入得，，
，
把代入，则，
解得；
【小题】
解：由知一次函数解析式为，
解得，
，
点和点关于原点对称，，
，如图：
，
同理可求，
，
，
在中，．

22.【小题】
【小题】
解：总人数：人，
的人数：人，
则的人数为：人，
补全条形统计图：
【小题】
解：；
乙的数据排列为：，，，，，，，则；
；
甲、乙的平均数一样，说明甲、乙的平均水平接近，乙的中位数高于甲，说明乙的高分多，甲的方差小，说明成绩更加稳定．

23.【小题】
证明：由翻折可得，，
梯形中，，，
梯形是等腰梯形，，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题】
证明：如图，
四边形是矩形，
，，
，设，
，，
，
，
，
，
，
翻折，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

24.【小题】
解：四边形是矩形，
，
，
矿洞横截面是轴对称图形，，点到的距离为，
顶点，
设抛物线的表达式为，
代入得，，
解得，
抛物线的表达式为；
【小题】
解：设正方形的边长为，则，
根据对称性可得，，
，
将点代入得，，
解得，舍去，
正方形边长为，即架骨的长为；
【小题】
解：矿车距离上方预留的安全距离，
把代入，
则，
解得舍去，
此时，
两侧支撑架需预留的安全距离，
此时，
为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，．

25.【小题】
证明：连接，
是的直径，
，
，
是的切线，为切点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
；
【小题】
解：作于点，作于点，则，
，
，
四边形为矩形，
，，
设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得或舍去；
，
，
，
，
，即，
；
当时，延长交于点，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
；
当时，连接，交于点，则，
垂直平分，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
综上：．

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