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专项复习提优五 平行四边形
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，那么这个平行四边形较短的边长为( ).
A. 6cm B. 3cm C. 9 cm D. 12cm
2.(2025·资阳中考)三角形的周长为48cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是( ).
A. 12cm B. 24cm
C. 28cm D. 30cm
3.(2025·山西中考)如图,在 ABCD中,O是对角线AC的中点,E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( ).
A. B. C. D.
4.(2025·江苏苏州吴江区期末)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，添加下列条件后，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是( ).
A. AD=BC B. AB=DC
C. AB∥CD D. ∠B=∠D
5.如图,在平面直角坐标系中, ABCD 的顶点B,C,D的坐标分别是(-5,0),(0,0),(2,3),则顶点A的坐标是( ).
A. (-2,3) B. (-3,2) C. (-2,2) D. (-3,3)
6.如图,在 ABCD中,AB=3,∠ABC与∠BCD 的平分线交于点E,若点E恰好在边AD 上,则BE 的值为( ).
A. 12 B. 16 C. 24 D. 36
7.如图,在长方形ABCD 中,若AB=3,BC=4,EB∥DF,且BE 与DF 之间的距离为3,则AE 的长是( ).
A. B. C. D.
8.如图,E 为 ABCD外一点,且EB⊥BC于点B,ED⊥CD 于点D,若∠E=50°,则∠A 的度数为( ).
A. 135° B. 125° C. 130° D. 35°
9.(2025·石家庄长安区一模)根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是( ).
10.如图(1),在 ABCD中,AD>AB,∠ABC是锐角,在BD上取两点M,N,使四边形 ANCM 为平行四边形，现有图(2)中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为( ).
A.甲、乙、丙 B.甲、乙 C.甲、丙 D.乙、丙
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,现在请你添加一个适当的条件： ，使得四边形AECF 为平行四边形(图中不再添加点和线).
12.如图,在 ABCD中,AD=6,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF= .
13.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA 的中点,连接DE,EF,FD,则图中平行四边形的个数为 .
14.如图，点 P 是平行四边形ABCD内一点，△PAB 的面积为5，△PAD 的面积为3,则△PAC 的面积为 .
15.如图,在 ABCD中,BE⊥AD 于点E,BF⊥CD 于点F,若BE=2,BF=3, ABCD 的周长为20,则平行四边形的面积为 .
16.如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,CF交BE于点G,若 则BG= .
17.(2025·河南平顶山新城区期中)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=3,M,N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，E，F 分别为DM，MN的中点，则 EF 长度的最大值为 .
18.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6cm,AD=10cm,点 P在边AD 上以每秒1cm的速度从点 A 向点D 运动，点Q 在BC 边上以每秒4cm的速度从点C 出发，在C，B间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点D 时停止运动，同时点Q 也停止运动.设运动时间为t s(t>0)，开始运动以后，当t 的值为 时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形.
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
39.(6分)如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,E 和 F 为对角线AC 上的两点, 求证：四边形ABCD 为平行四边形.
20.(6分)如图,在 ABCD中,∠ABC 的平分线交AD 于点E,∠BCD 的平分线交AD 于点F,交BE于点G,AD=6,EF=3.求AF 的长度.
21.(8分)(2025·安徽六安金寨期末)如图, ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,∠ADC 的平分线与边AB 相交于点E,P 是DE 的中点,若AD=5,CD=9,求PO 的长.
22.(8分)(2025·四川广安期末)如图,E 为 中边DC 的延长线上一点，且CE=DC,连接AE，分别交 BC,BD 于点F,G,连接AC交BD 于点O,连接OF.
(1)求证:BF=CF;
(2)判断AB 与OF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论.
23.(8分)如图，四边形ABCD 为平行四边形，线段AC为对角线，E，F 分别为线段 BC,AD 的中点,连接EF 交AC 于点O.
(1)求证：四边形 AECF 为平行四边形；
(2)若OF=3,求CD 的长.
24.(8分)如图,平行四边形 ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,AE 平分 ,交 BC 于点E，且
(1)求证:AB=AE;
(2)若 连接OE.
①若 求平行四边形 ABCD 的面积；
②设 试求k与m满足的关系。
25.(10分)(2025·吉林长春农安期末)如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫作等垂四边形.如图(1)，在四边形ABCD 中，若 且 则四边形 ABCD 为等垂四边形.如图(2)和图(3)，已知四边形 ABCD 为等垂四边形，
(1)在图(2)中,若 则 的度数为 °；
(2)在图(3)中,若CD∥AB,CM,AN 分别平分，请判断四边形 CMAN 是否为等垂四边形，并说明理由.
26.(12分)已知 是等边三角形，D是边 BC上的一个动点(点 D 不与点B，C重合)， 是以AD 为边的等边三角形，过点 F 作BC 的平行线交射线AC 于点E，连接 BF.
(1)如图(1),求证:
(2)请判断图(1)中四边形 BCEF 的形状，并说明理由.
(3)若点 D 在边BC 的延长线上，如图(2)，其他条件不变，请问(2)中结论还成立吗 如果成立，请说明理由.
1. B 2. B
3. C [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=CD.∵O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，∴OE 是△ACD 的中位线, 故A，B，D错误，不符合题意；C正确，符合题意.故选 C.
4. B 5. D
6. D [解析]∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,DC=AB=3,,BC=AD,
∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠DCB=180°.
∵∠ABC 与∠BCD 的平分线交于点 E,点 E 恰好在边AD 上,
∴∠AEB=∠ABE,∠DEC=∠DCE,∠CBE+∠BCE=
∴AE=AB=3,DE=DC=3,∠BEC=180°-(∠CBE+∠BCE)=90°,∴BC=AD=AE+DE=3+3=6,
故选D.
7. C [解析]过点E作EH⊥DF于点H,则EH=AB=3,∠A=∠EHD=90°.
∵EB∥DF,∴∠EDH=∠AEB,
∴△AEB≌△HDE,∴DE=BE,DH=AE.在Rt△AEB中,设AE=x,则 BE=DE=4-x,则 解得 故选 C.
8. C [解析]∵EB⊥BC,ED⊥CD,
∴∠EBC=∠EDC=90°.
∵四边形 BCDE 的内角和为360°,∠BED=50°,
又四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠BCD=130°.故选 C.
9. C[解析]A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故不符合题意；B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故不符合题意；C.由“内错角相等，两直线平行”，可得一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意；
D.由“内错角相等，两直线平行”，可得两组对边分别平行，
∴该四边形是平行四边形，故不符合题意.故选 C.
10. A [解析]方案甲:如图,连接AC.
∵在 ABCD 中,O 为BD的中点,
∴OB=OD,OA=OC.
∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM，∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确，故符合要求.
方案乙:∵在 ABCD 中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM,
∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°.
∵∠ABN=∠CDM,∠ANB=∠CMD,AB=CD,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM.
又AN∥CM，∴四边形 ANCM 为平行四边形，方案乙正确，故符合要求.
方案丙：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,∠ABN=∠CDM.
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∵∠BAN=∠DCM,AB=CD,∠ABN=∠CDM,
∴△ABN≌△CDM(ASA),
∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,∴∠ANM=∠CMN,
∴AN∥CM,∴四边形ANCM 为平行四边形,方案丙正确，故符合要求.综上，3种方法都正确.故选 A.
11. BE=DF
12.3 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6.∵E,F分别是BD,CD的中点,
13.3 [解析]∵点 D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA的中点,∴DF∥BC,DE∥AC,FE∥AB,且 DF= ∴有 3个平行四边形，分别为□AFED,□DFEB,□DFCE.
14.2
15.12 [解析]∵ ABCD 的周长为 20,∴2(AD+CD)=20,∴AD+CD=10①.∵S ABCD=AD·BE=CD·BF,
∴2AD=3CD②,联立①②,解得 AD=6,∴ ABCD 的面积为AD·BE=6×2=12.
16.6 [解析]取 BE的中点 H,连接FH与CH,如图所示,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴DC∥AB,DC=AB.
∵F是AE 的中点,
H 为BE 的中点,∴FH 为△ABE 的中位线,
∵E 是CD 的中点,
又 FH∥CD,∴四边形 CEFH 为平行四边形,
[解析]如图,连接DN.
∵E,F 分别为DM,MN的中点,
∴当 DN 最大时,EF 最大.
由题意，得当点 N 与点 B 重合时，DN 最大，最大值为3 ,∴EF 长度的最大值为
18.4或 或8 [解析]∵四边形ABCD 平行四边形，∴BC=AD=10cm,AD∥BC,即PD∥BQ.
若PD=BQ,则以 P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形.由题意,得点 P 到点 D 的时间为t=10÷1=10(s),点 Q 到点 B 的时间为t=10÷4=2.5(s).
根据题意，分四种情况：
①当0∴10-4t=10-t,解得t=0(舍去);
②当2.5③当5④当7.5综上所述，当t的值为4或 或8时,以 P,D,Q,B 为顶点的四边形是平行四边形.
19.∵AB∥CD,∴∠EAB=∠FCD.
在△AEB 和△CFD 中 ∴△AEB≌△CFD(AAS),∴AB=CD.又AB∥CD,∴四边形 ABCD 是平行四边形.
20.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.
同理可得DF=CD,∴AE=DF,
即AF+EF=DE+EF,∴AF=DE.
∵AD=6,EF=3,∴AF+DE=AD-EF=3,
21.∵ ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AD=5,CD=9,
∴AB∥DC,AB=CD=9,OD=OB,
∴∠CDP=∠AED.
∵DP平分∠ADC,∴∠CDP=∠ADP,
∴∠ADP=∠AED,∴AE=AD=5,
∴EB=AB-AE=9-5=4.
∵P 是DE 的中点,O是BD 的中点,
22.(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴BA∥DC,BA=DC,∴∠BAF=∠E.
∵CE=DC,∴BA=CE.
在△ABF 和△ECF 中
∴△ABF≌△ECF(AAS),∴BF=CF.
(2)AB∥OF,AB=2OF.证明如下:
∵ ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O,∴AO=CO.
由(1),得BF=CF,∴OF 是△ABC 的中位线,
∴OF∥AB,且 即AB∥OF,AB=2OF.
23.(1)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.
∵E,F 分别为线段BC,AD 的中点,
又AF∥CE,∴四边形AECF 为平行四边形.
(2)∵四边形 AECF 为平行四边形,∴OA=OC.
∵AF=DF,∴OF 为△ACD 的中位线,
∴CD=2OF=2×3=6.
24.(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=120°.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠EAD=60°,
∴∠AEB=60°=∠BAE=∠ABE,
∴△ABE 是等边三角形,∴AB=AE.
(2)①∵
②∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=mBC.
易证△BOE 的边BE 上的高等于△BDC 的边BC上的高的一半,底 BE 等于 BC 的m 倍.
设△BDC中BC边上的高为h,BC 的长为b,
∴2-m=k,∴m+k=2.
25.(1)70 [解析]∵∠ACD=40°,AC⊥BC,
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=130°.
∵∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=130°.
(2)四边形 CMAN 是等垂四边形.理由如下：
∵CD∥AB,∴∠ACD=∠CAB.
∵CM,AN 分别平分∠ACD,∠CAB,
∴∠DCM=∠BAN.
∵四边形ABCD 为等垂四边形,∴∠DAB=∠DCB,
∴∠DAB-∠BAN=∠DCB-∠DCM,即∠MCN=∠MAN.
∵AC⊥CN,∴四边形 CMAN 是等垂四边形.
26.(1)∵△ABC和△ADF 都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°.
又∠FAB=∠FAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠FAB=∠DAC.
在△AFB 和△ADC 中, ∴△AFB≌△ADC(SAS).
(2)四边形 BCEF 是平行四边形.理由如下：
由(1),得△AFB≌△ADC,∴∠ABF=∠C=60°.
又∠BAC=∠C=60°,∴∠ABF=∠BAC,∴FB∥AC.
又 BC∥EF,∴四边形 BCEF 是平行四边形.
(3)成立.理由如下：
∵△ABC 和△ADF 都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°.
又∠FAB=∠BAC-∠FAE,∠DAC=∠FAD-∠FAE,
∴∠FAB=∠DAC.
在△AFB 和△ADC 中, ∴△AFB≌△ADC(SAS),∴∠AFB=∠ADC.又∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,∴∠ADC=∠EAF,∴∠AFB=∠EAF,∴BF∥AE.又 BC∥EF,∴四边形 BCEF 是平行四边形.

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