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压轴10 数列求和的3大核心题型
近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．
题型01 分组转化法求和的常见类型
1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【思维导引】（1）设公差为→列方程求出→求出的通项公式→根据→作差得数列为等比数列→的通项公式
（2）→分组求和法求出→令→利用作差法判断的单调性→求出→解的对数不等式→的取值范围.
【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，
，即，解得或（舍去），
所以.
数列的前项和，
当时，，
当时，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，.
（2）由（1）可得，
【技巧】若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
.
令，，
单调递增，.
，，.
【易错提醒】只考虑数列求和对实数的要求，忽视对数函数的要求
（法二）令，
因，单调递增，
2.（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解】（1）由题意得，当时，有，即
因为，所以对任意都成立
故数列是首项为1，公比为2的等比数列，从而．
（2）由，可得，
则
当时，符合上式，故．
所以
题型02 裂项相消法求和
3.【基础型】已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
【详解】（1）证明：因为，所以，
则，即，所以是以为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）知，所以．
（3）证明：因为．
所以
， 因为，所以．
4．【根式型】记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【详解】（1）因为①，
当时，，解得．
当时，②，
由 ①－②得，即，所以．
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，则，所以．
（2）由（1）可知，
从而，
因为，单调递增，则．
5．【指数型】已知数列满足，.
(1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和.
【详解】（1）由，变形可得
因为，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，
故，即.
（2）因为，由（1）知，
所以，
故
6．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，又，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以．
题型03 错位相减法求和
7.（2025·新课标1卷T16）设数列满足，
证明：为等差数列；
设，求．
【解题指导】（1）化简→→为等差数列
（2）求的通项公式→代入函数并求导→错位相减求和→导函数表达式→
【解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，
即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）第一步：根据（1）得到数列的通项
由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
第二步：求出函数的导函数
在中，
，
第三步：利用错位相减法求和
∴，
当且时，
∴，
∴
【易错提醒】用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
第四步：代入，求
∴
.
8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和的取值范围．
【解】（1）由得，，
两式作差得，
因数列为正项数列，则，
令，则，则，
则数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
故为奇数时，，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
故为偶数时，，
综上，数列的通项公式为；
（2）由（1）可得，，
设数列的前项和为，则，
则，
两式作差得，
，则，
令，则，
则数列为递减数列，且，
则，故，
故数列的前项和的取值范围为.
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．（2025·重庆三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
【解】（1）当时，，解得：.
当时，，
所以，即，
所以
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，所以，
.
所以时，即，所以，所以的最大值为.
3.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
【解】（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.
,所以故所以
，.
4．已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式； (2)若，求证：.
【详解】（1）由题意得，
所以，又数列是各项都是正数的数列，，
所以，，
当时，有，
所以，
所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列，所以.1
（2）由（1）得，
所以，
所以，
裂项得，证毕.
5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列的前n项和为，对任意，点在过原点且与直线．垂直的直线上．数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)若，求数列的前n项和．
【解】（1）与直线垂直的直线斜率为1，过原点且与直线垂直的直线为，
又因为点在直线上，所以，所以；
（2）数列的前n项和为，且，
当时，，
当时，，符合上式，所以，
又因为，
所以数列是等差数列
（3）因为，所以，
设数列的前n项和为，
，
所以，
所以，
设，
，
所以，
，
，
所以；
6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，．
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解】（1）因为，，所以，
再由，
因为，所以，代入上式得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：，
则
7．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
【详解】（1）令时，，即得，
时，①，②，
由①-②得，，
又由，又，所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以；
（2）因为．
所以．
8．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
【解】（1）因为，且，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
（2）由（1）可知：，
当时，则，
且符合上式，所以，
可得，
设数列的前n项和为，
则，
所以数列的前n项和为.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)证明：．
【解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可知
解得，故．
（2）由（1）得，所以，
数列的前项和为；
（3）由（2）知，其中，
当时，
，
当时，．
综上所述，．
10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
【解】（1）由，得，
又，，所以，
所以，，
即是以1为首项，3为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
当时，
.
当时，也成立，所以的通项公式为；
（3）由（2）得，
所以，
所以，
显然是递增数列，所以.
因为，所以，所以.
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
【解】（1）因为，所以
.
（2），
直线的方程为，
令，
得，
所以，
令数列的前项和为，则
，
，
两式相减得，故，
又数列的前项和为，
所以数列的前项和.
12.（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）设等差数列的公差为d，已知，
，则．
则，
解得，所以
设等比数列的公比为q，，，又，所以．
因为，
解得（舍去，因为），所以．
（2）由（1）知，，
则．
．
（3）由（1）知，，则．
①，
②，
①-②得：，所以，则．
因为对任意正整数n，不等式恒成立，
即恒成立，等价于恒成立．
设，则．
当时，，即；
当时，，即，
所以的最大值为．
所以，即实数的取值范围是．
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近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．
题型01 分组转化法求和的常见类型
1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
2.（2025·湖北黄冈·二模）记为数列的前项和，已知，当时，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
题型02 裂项相消法求和
3.【基础型】已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等差数列；(2)求的通项公式；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
4．【根式型】记分别为数列的前项和，已知，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．【指数型】已知数列满足，.
(1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和.
6．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
题型03 错位相减法求和
7.（2025·新课标1卷T16）设数列满足，
证明：为等差数列；
设，求．
8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和的取值范围．
1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
2．（2025·重庆三模）已知为数列的前项和，且满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，记为数列的前项和，求满足不等式的的最大值.
3.（2024全国甲卷数学（理））记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
4．已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且.
(1)求的通项公式； (2)若，求证：.
5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列的前n项和为，对任意，点在过原点且与直线．垂直的直线上．数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)若，求数列的前n项和．
6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列中，，．
(1)令，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
7．记为数列的前项和，已知．
(1)求；(2)设，求数列的前项和．
8．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)证明：．
10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)记，数列的前项和为，证明：.
11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数.
(1)若数列，求数列的前n项和；
(2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.
12.（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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