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压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型
子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
题型01 数列中相邻两项和或积的问题
1.（2025·广东清远·二模）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围．
2.（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有．
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
题型02 型
3.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
题型03 含有(-1)n类型
5.（2025·河南郑州·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
6.（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
题型04 两数列的公共项
7.（2026·重庆万州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列满足，且是和的等比中项，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）将数列和中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列，，令，求数列的前项和.
题型05 数列有关增减项问题
9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
10.（2025·安徽黄山一模）已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.
1．（2025·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列的通项公式．
2.（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
5.（2025·河北廊坊联考）已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．
6.（2025·陕西西安·二模）已知数列满足，
(1)记，求，，并证明数列是等比数列；
(2)记，求满足的所有正整数的值.
7.（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知．
(1)求的通项公式；
(2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．
8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值．
12．（25-26高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
13．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域；
(3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和.
14.（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
15．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
16．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型
子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
题型01 数列中相邻两项和或积的问题
1.（2025·广东清远·二模）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围．
【解题指导】（1）求→由求通项
（2）确定数列为等差数列→分奇偶求数列的通项公式→分奇偶分别转化恒成立求解的取值范围.
【解】（1）由题意得，
①当时，；
②当时，．
当时，，
【易错提醒】注意验证的情况
．
（2）由（1）知，①
当时，；
当时，，②
①-②得，
【技巧】构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0) an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q 两式相减得 an＋2－an＝p
数列是以为首项，公差为的等差数列，
数列是以为首项，公差为的等差数列．
当为偶数时，；
当为奇数时，，
，．
又对任意的都有成立，
（ⅰ）当为奇数时恒成立，
即对为奇数时恒成立．
【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值
当时，，
，即；
（ⅱ）当为偶数时恒成立，
即对为偶数时恒成立．
当时，，．
【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时为偶数，且
综上所述，的取值范围是．
2.（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有．
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解】（1）因为，，所以．
因为，所以，
又，则有，所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以．
（2）设，
则，
两式相减得，
则.
题型02 型
3.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【思维探究】
看到什么 想到什么
为等差数列 联想等差数列的通项公式
求出数列的通项公式,表示出
，． 用表示及，联立方程组求解
的通项公式 把代入的通项公式
当时， 利用奇偶分组讨论的方法将，表示出来，对于数列的比较大小可以用作差法
【解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
【技法】作差法比较两个实数大小
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
【解后反思】当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和；
4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【解】（1），
，又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
又构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
题型03 含有(-1)n类型
5.（2025·河南郑州·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解题指导】（1）等差中项列式→完全平方公式计算化简→由定义得出等差数列；
（2）等差数列的通项公式→求出→借助正负分组→公式求和得出
【解】（1）因为是与的等差中项，所以，
所以，
因为数列的各项均为正数，所以，
所以，所以，
所以数列是公差为1，首项为的等差数列；
（2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，
所以，当时，，
当时，，
所以,
所以，
【技巧】求和时通过(－1)n实现正负交替，要注意符号的变换
【解后反思】通项中含有(－1)n的情形
(1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和，
如an＝(－1)n(2n－1)，前20项的和
a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39).
(2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值，
如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·，则其前n项和，求Tn＝Sn－的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值.
6.（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，.
(1)求
(2)若，求数列的前n项和.
【解】（1）因为，且，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
则，所以.
（2）由（1）可知：，
当时，则，
且符合上式，所以，
可得，
设数列的前n项和为，
则，
所以数列的前n项和为.
题型04 两数列的公共项
7.（2026·重庆万州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列.
(1)求与的通项公式；
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和.
【解】（1）由得，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，所以.
依题意，，，
解得，所以.
（2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…，
所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，所以，
则.
8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列满足，且是和的等比中项，数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）将数列和中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列，，令，求数列的前项和.
【解】（1），
且，即，，
，
，时，，两式相减得，，
即，，且，，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，；
（2）数列中的项有，数列中的项有，
观察规律发现，当中的第1，3,5，…，项在中有相等的数，即公共项，
即为通项，，，
，
，故
题型05 数列有关增减项问题
9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【解】（1）由题意知：
当时： ①
当时： ②
联立①②，解得.
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，.
所以.
所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则，
所以，即.
又因为m，k，p成等差数列,
所以
所以
化简得，所以
又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
10.（2025·安徽黄山一模）已知数列为等比数列，正项数列满足，且，.
(1)求和的通项公式；
(2)若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求.
【解】（1）因为，
所以，又，
所以.
即，又，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.
所以，即，
设的公比为，又，，
所以，解得，
所以.
综上，数列和的通项公式分别为，；
（2）由（1）知，，，，，
，，，.
所以
.
.
1．（2025·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，．
(1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式；
(2)求数列的通项公式．
【解】（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列；
是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
2.（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【解】（1）显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
（法二）由题意知数列满足．
所以，
，
则
．
所以，数列的通项公式．
（2）
．
3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由，，成等比数列，得，而，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.
4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）由已知，，
，，，
又, ，
数列中任意一项不为0, ，
数列是首项为2, 公比为2的等比数列，.
（2）由第（1）问知， ，
则，设数列的前项和为,
所以①，
②，
所以①-②可得：
，
所以.
由，得，
化简得.
当 为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
5.（2025·河北廊坊联考）已知数列的前项和满足，，且．
（1）求证：数列是常数列；
（2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和．
【解】（1）证明：由，得，
将上述两式相减，得，即．
，
则，
数列是常数列；
（2）由（1）可知，当时，，
，检验当时，也适用，
，
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
的前项和为．
6.（2025·陕西西安·二模）已知数列满足，
(1)记，求，，并证明数列是等比数列；
(2)记，求满足的所有正整数的值.
【解】（1）由题意，，，，所以，，
又因为，
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为1，2，3，4.
7.（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知．
(1)求的通项公式；
(2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和．
【解】（1）设公差为，
由题意得，
解得，
故；
（2），，
故的前20项为，
故的前20项和为
.
8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为．
(1)求和；
(2)求和．
(3)求数列的前项积．
【解】（1）由题意，，，.
（2），所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即；
设，则，即，
又因为，所以，所以，
所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
（3）要求，
只需求，
又，
所以
，
所以，所以.
9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得，
又，所以，公差，
所以；
，
因为数列各项为正数，，故，
即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：；
（2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分：
设奇数项和为，设偶数项和为，
，
为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列，
共项，故，
为偶数时，设，则：，
裂项相消求和：，
所以.
10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
【解】（1）由，
可得，
又为常数列，
所以，
即，
当时，，
所以，当时，，又，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
故；
（2）因为，所以，，
，
，
所以
，
所以
11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值．
【解】（1）设的公差为d，因为，
所以，整理得，
所以，解得，
故的通项公式为．
（2）由（1），
则
易得在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为．
12．（25-26高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解】（1）由，
当时，，
两式相减得，，即，
因为数列为等比数列，所以数列的公比为，
当时，，而，解得，
所以.
（2）由（1）知，，则，
所以，
则，
两式相减得，，
则.
13．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域；
(3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和.
【解】（1）因为，
因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
所以，又，所以，所以，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为；
（2）因为，，所以，，，，
所以在上的值域为.
（3）因为，令，得，
所以或，，即或，，
所以所有的正零点需满足或，得为正整数.
所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，
所以
.
14.（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，.
(1)求，的通项公式；
(2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
【解】（1）设等比数列的首项为，公比为，
显然且.
由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以，
所以；
，
∴，，所以.
（2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，
所以
.
15．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，证明：．
【解】（1）由题意.
当时，.
当时，，，
两式相减，得
所以，
又因为，所以.
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
所以.
（2）因为，
所以
，
因为为单调递增数列，且,
所以.
16．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且．
(1)求，的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率．
【解】（1）因为，所以，
又，所以，所以，
是首项为0，公差为2的等差数列，所以，
由，得，所以，所以，
故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，
所以的通项公式为．
（2），，
令，
则，
上两式相减，得，
所以，又，
所以．
（3）因为，的前20项分别为，
由得，
又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项，
所以所求概率．
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