资源简介

压轴12 数列中的创新与融合问题的4大核心题型
新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.
题型01 数列与其他知识的交汇
1.数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.
2.（2025湖南长沙模拟）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
题型02 数列的新情境问题
3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求．
4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；
(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
题型03 数列的新定义问题
5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布 伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．
（ⅰ）证明：数列为递增数列；
（ⅱ）已知时，，证明：．
6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
题型04 数列的凹凸性
7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
1．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记.
(1)求函数的表达式；
(2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和.
2.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.
(1)若数列，求数列；
(2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
(3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.
3.（2025·浙江温州·模拟）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列．
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列．
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证：
4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数．
(1)当时，，求实数的取值范围．
(2)若，设的正零点从小到大依次为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断数列的单调性，并证明．
附：当时，．
5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．
6．（2026·江苏盐城·月考）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：．
7．（2026·北京海淀一模）已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
(1)直接判断数列和是否为凸数列；
(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
9．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄
人数 30 150 90 60 30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列；
(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值．
11．（2026·广东广州·二模）已知函数.
(1)直线过点且与曲线相切，求直线方程；
(2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴12 数列中的创新与融合问题的4大核心题型
新高考的命题要求为：创新试题形式，加强情境设计，注意联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题.这些要求反映在数列试题中，就是出现了数列的新情境、新定义和新性质问题，这些“三新”问题逐渐成为热点的压轴题.
题型01 数列与其他知识的交汇
1.数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.
【解】（1）由已知条件可知，由于，
故，
则，
故数列是以1为公差的等差数列，且首项为，
故，即.
（2）
，
由，得.
2.（2025湖南长沙模拟）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【解】（1）因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，
因为为正实数，所以为正实数，.
（2）因为，所以，
，由题意得，
则，而，
则，故为公比为的等比数列，且，
得到，故，
两边取指数得到，解得.
题型02 数列的新情境问题
3．（2026·湖北黄冈·一模）抽屉里有相同规格的3块充电电池和2块一次性干电池，当需要使用电池时即从抽屉随机抽取一块，充电电池使用完后充满电放回原抽屉，干电池使用完后即作垃圾回收．当抽屉只剩下充电电池时则停止电池的随机抽取．
(1)求在第2次抽取的是干电池的条件下第1次抽取的也是干电池的概率；
(2)若每次用完一块干电池就补充一块充电电池，直到2块干电池用完．记抽取第次时恰好抽到最后一块干电池的概率为，求．
【解】（1）记第1，2次取出的是干电池的概率分别为，，
，，
在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为
.
（2）方法一：依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，
用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变．
记第次恰好抽到第一块干电池，
第次恰好抽到第二块干电池的概率为，
则，
∴ .
方法二：“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：
第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池．
当第1次抽到充电电池时：
此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，
当第1次抽到干电池时，仅第1次与第次抽到干电池：
此时“第次抽取时恰好抽到最后1块干电池”的概率为，
∴，．，．
∴，∴，
∵，
∴是以为首项为公比的等比数列，
∴，
∴，当时该式也成立．
故所求概率为，．
4．（2026·江苏南京·三模）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子（点数为）玩游戏，游戏规则如下：每次由1人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为4的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是4的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前4次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量，求的分布列和均值；
(3)若第一次从小芳开始，求第次由小芳投掷的概率．
【解】（1）设事件为“小明投掷一次骰子后，点数之和为4的倍数”，
则基本事件为：
，
，
，
总数为36，
事件包含的基本事件有：，
共9个基本事件，所以.
（2）由（1）知小芳投掷一次后，出现点数之和是4的倍数的概率也为，
由题意知可取值为，则：
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为：.
（3）若第一次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
第一种情况：第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为，
第二种情况：第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为，
由于这两种情况彼此互斥，所以，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
题型03 数列的新定义问题
5.（2025·安徽芜湖·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布 伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式．伯努利不等式的一般形式为：若且为正整数时，，当且仅当或时等号成立．
（ⅰ）证明：数列为递增数列；
（ⅱ）已知时，，证明：．
【解】（1）因为，
当时，，
当时，，符合此式，
所以；
（2）（ⅰ）记，
则
，
则，所以数列为递增数列；
（ⅱ）当，时，因为，
由伯努利不等式，得，
于是，
所以当时，
，
所以，
即，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
当时，，不等式成立，
综上所述，不等式恒成立.
6.（2025·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：，定义变换，将数列P变换成数列：．对于每项均是非负整数的数列，定义，定义变换，将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
(1)若数列为2，4，3，7，求的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
【解】（1）依题意，，，
.
（2）（i）记，
，
，
，
，所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，从而对于任意给定的数列，
由，，由（i）知，
所以.
题型04 数列的凹凸性
7.（2026·山东枣庄·模拟预测）若数列的各项均为正数，对任意，有，则称数列为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1，3，2，4和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明理由；
(2)若函数有三个零点，其中．
证明：数列为“对数凹性”数列；
(3)若数列的各项均为正数，，记的前n项和为，，对任意三个不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得．
证明：数列为“对数凹性”数列．
【解】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4中不成立，
所以数列1，3，2，4不是“对数凹性”数列；
而数列1，2，4，3，2中均成立，所以数列1，2，4，3，2是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知有两个不等实数根，
所以，
又，所以，
显然，即不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
则有三个零点，
所以有两个零点，
所以同上有，
故数列为“对数凹性”数列
（3）将互换得：，所以，
令，得，
所以，故数列是等差数列，
记，所以，
所以，
又因为，所以，
所以，所以为单调递增的等差数列，
所以.
所以
所以，数列是“对数凹性”数列
8．（2026·浙江金华·三模）若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．
(1)证明：；
(2)若，证明：；
(3)若，，求的最大值．
【解】（1）法一：由题意得：，∴，
∴，，，，，
将以上式子累乘得：，也即成立．
法二：由题意得：，
∴，∴成立．
（2）法一：∵，∴，
∴，
则，
∴，
∴．
法二：考虑反证法，假设，
由得，
∴，∴，
同理：，
∴，∴，
同理可证：，，…，，
综上可得：，与条件矛盾，
∴假设不成立，∴成立．
法三：∵，∴，也即，
同时，由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，
也即，同理可得：
，
，
……
，
将以上式子累加得：，
∴，∴，∴成立．
（3）由可得：，
∴，也即，
∴，，…，，
将以上式子累加得：，①
另外，，，…，，
将以上式子累加得：，②
结合①②式可得：，
∴，化简得：，
另外，显然有符合题意，此时，
综上，的最大值为10．
1．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记.
(1)求函数的表达式；
(2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和.
【解】（1）已知当时函数取得最大值4，
因为，所以.此时，
又，解得，
所以函数的表达式为.
（2）由（1）知，则，.
因为是等差数列，设公差为，则，解得，，
所以.
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，
可得.
2.（2025·北京平谷·一模）对于数列，若满足，则称数列为“数列”.定义变换，若，将变成0，1，若，将变成1，0，得到新的“数列”.设是“数列”，令.
(1)若数列，求数列；
(2)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至多有多少对？请说明理由；
(3)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为.求关于的表达式.
【解】（1）由变换的定义可得.
（2）数列中连续两项相等的数对至多有19对.
证明：对于任意一个“数列”中每一个1在中对应连续四项，
在中每一个0在中对应的连续四项为，
因此，共有10项的“数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，
在中若出现连续两项的数对最多，
对于中的每一个第项和第项之间产生一个连续相等的数对，
所以中至多有19对连续相等的数对.
比如：取，则
.
（3）设中有个0，1数对，
中的“0，0”数对只能由中的“0，1”数对得到，所以，
中的“0，1”数对有两个产生途径：①由中的1得到；②由中“0，0”得到，
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个.
所以，得，
由可得，
所以，
当时，若为偶数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
若为奇数，．
上述各式相加可得，
经检验，时，也满足．
所以．
3.（2025·浙江温州·模拟）设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有的数列为“好”数列．
(1)试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
(2)已知数列为“好”数列．
①若，求数列的通项公式；
②若，且对任意给定正整数，有成等比数列，求证：
【解】（1），则，所以，
而，
所以，对任意的均成立，即数列是“好”数列；
，取，则，，
此时，即数列不是“好”数列．
（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立．
当，有，两式相减，得，
即，所以，
所以，即，
即，
当时，有，即，
所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列．
设数列的公差为，
若，则，即，
因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，，所以
若，则，由成等比数列，得，
所以，即，
化简得，，即
因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，
由于是任意给定正整数，所以
4.（2025·河南洛阳·模拟）已知函数．
(1)当时，，求实数的取值范围．
(2)若，设的正零点从小到大依次为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）判断数列的单调性，并证明．
附：当时，．
【解】（1）由题意，即对任意恒成立．
设，则，
当时，，则，所以，在上单调递增，
，所以，
即的取值范围是．
（2）（ⅰ）若，，则在定义域内恒成立，
所以对任意，在区间上单调递增，
又，当趋近于时，趋近于，所以在区间内有唯一零点，
所以．
所以和都在区间内，
又，所以，
即．
（ⅱ）数列是递减数列．
证明如下：记，要证明数列是递减数列，
即证明：当时，，即，
又因为，所以只需证明当时，．
由（ⅰ）知，所以，且．
所以，所以．
，
设函数，，
则，
因为在区间上单调递增，所以当时，，，
所以在时单调递增，所以，
即，所以．
因为在上单调递增，且，所以，
综上，数列是递减数列．
5.（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递．
(1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望；
(2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求．
【解】（1）设教练甲接球次数为，可取，
球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为，
，
，
分布列为：
0 1 2
数学期望；
（2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率，
，
且，
即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，即，
又传给学员的概率相等，
．
6．（2026·江苏盐城·月考）若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中e为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(2)若关于x的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”；
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”证明：．
【解】（1））因为，所以，
因为正项数列是一个“凸数列”，
所以，所以，所以，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（2）因为有三个零点，
所以有两个不等实数根，
所以，
又，所以；
时，，所以不是的零点，
又，
令，则也有三个零点，
即有三个零点，
令，则有三个零点，
所以有两个零点，
所以，
因为，
所以正项数列对任意的相邻三项，都满足，
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（3）记，则要证，
即证，
即，即①，
因为数列为对数性凸数列，所以，，
所以，所以，
，
而，
所以
，
当且仅当时等号成立，
故式①成立，所以原不等式成立．
7．（2026·北京海淀一模）已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
(1)直接判断数列和是否为凸数列；
(2)若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
(3)已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
【解】（1），所以，.
，而，
因为，即，所以为凸数列.
，则，所以，
而，因为，即，所以不是凸数列.
（2）因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，
即，
当时，有，
所以，故.
又，故.
因为，所以.
（3）因为数列是凸数列，所以，
，当且仅当时，等号成立，
即为凸数列，所以，所以，
所以；
因为的所有项的和等于，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列.
设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值2.
8．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列．
(1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
(2)已知二阶等差数列满足，，．
①求数列的通项公式；
②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围．
【解】（1）因为，所以
，
所以，故数列为等差数列，
故数列为二阶等差数列.
（2）①根据题意可得，，
因为数列为等差数列，故数列的公差为,
所以等差数列的首项为，故，
所以，
当时，，，，，
上述等式相加得，
故，
也满足，故对任意的，；
②由题意可知，，即，可得，
令，则，
当且时，，可得；
当时，；
当且时，，可得，
所以数列的最大项为，故，
所以实数的取值范围是.
9．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，即：．①
当时，，
又，所以．
当时，，②
由①－②整理得：．
整理得，
由累乘法得：，
代入比值：，
当时，，符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）当为偶数时，
，
所以，为偶数，
由恒成立，得，
是偶数，当时，有最小值，所以；
当为奇数时，为偶数，
，
所以，为奇数，
由恒成立，得，
又在上单调递增，
所以当时，有最小值1，所以．
综上，实数的取值范围是
10.（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄
人数 30 150 90 60 30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设，求的分布列；
(3)已知该工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个．若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值．
【解】（1）估计平均年龄为.
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有（人），
年龄在第二组内的有（人），
则的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
0 1 2 3 4
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为，
设，由，且得，
所以，
显然，，
令，
当时，有，，即，
此时；
当时，有，，即，
此时，即，
所以．
11．（2026·广东广州·二模）已知函数.
(1)直线过点且与曲线相切，求直线方程；
(2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.
【解】（1）因为，则，
设切点坐标为，则切线斜率，
可得切线方程为，即，
代入点可得，解得，
所以直线方程为.
（2）由（1）可知：，则，
由题意可知：的圆心为，半径，
因为与外切，则，
可得，且，
整理可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
则，即，
则，
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑