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压轴13 与球有关的切、接问题的4大核心题型
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置
题型01 空间几何体的外接球
1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2.已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3.已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
题型02 空间几何体的内切球
5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
题型03 空间几何体的棱切球
9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
题型04 与球切、接有关的最值问题
11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ）

A． B． C． D．
14.（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 .
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴13 与球有关的切、接问题的4大核心题型
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置
题型01 空间几何体的外接球
1.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
2.已知三棱锥的四个顶点均在球上，平面．若，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，
所以，所以．
因为平面平面，
所以．
又，所以．
如图将三棱锥，补形为长方体，
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，
长方体的体对角线是长方体的外接球的直径，球心为的中点．
又，即，所以球的半径为2，
故球的体积．故选C．
3.已知四面体的4个面为全等的等腰三角形，且，A，B，C，D四点在同一个球面上，则该球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可知，．
如图，将四面体ABCD放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，将四面体补形为长方体模型 ，
则解得
四面体ABCD的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为，
故所求表面积为，故选C．
4.（2023·全国乙卷T16）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
题型02 空间几何体的内切球
5.（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高，
体积，表面积，
设该棱锥的内切球半径为，则，即，故选C
6.（2025·江西南昌·模拟预测）已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为三棱锥的体积：，
其中为三棱锥的表面积，为其内切球的半径.
所以.
所以这个三棱锥内切球的体积为：（），故选A
7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，作圆台的轴截面：

设，则，过作于，则，
又，，
在中，.
所以圆台的体积为：.
故选：C
8.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
【答案】
【解析】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
题型03 空间几何体的棱切球
9．（2026·江西南昌·期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球H与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面的外接圆的圆心为，连接，延长交于，
球H与棱分别切于，设球H的半径为，
则，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
则这个球的表面积为．
故选：B
10．（2026·山东菏泽二模）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，
连接，则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，
由题意，①
因为，，
又，所以，
所以，解得，②
联立①②可得，
所以球的半径为，
所以球O的表面积为，故选C.
题型04 与球切、接有关的最值问题
11.（2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立，故选：C
【利用导数求最值】
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．故选：C.
12.（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高.
因为边长为的正三角形的内切圆半径，
所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1，
所以小球与容器的侧面，底面均相切.
要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时，
所以小球的体积与容器体积之比的最大值为，故选A.
1．（2025·广东中山·二模）如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，圆柱底面半径，母线长，
所以圆柱的表面积.
故选：C
2．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若圆锥底面半径为，则，可得，故圆锥的高，
若圆锥外接球的半径为，则球心到圆锥底面距离，
所以，即，可得，
故外接球的表面积为，故选A
3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱PB，PC，BC的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设棱的中点分别为，连接，
构造长方体，则长方体外接球的表面积
即为三棱锥外接球的表面积．依题意，，
设长方体外接球的半径为R，则，
所以其外接球的表面积．
故选：B
4．（2025·江西·二模）在三棱锥中，平面平面，，，，若点、、、均在球的表面上，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
取线段的中点，连接、，则，
故为球的直径，故球的半径，
所以球的体积为 .
故选：C.
5．（2025·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设是中点，连接，设的外心为，的外心为，
是四面体外接球球心，
由于和都是边长为的正三角形，
所以，
且分别在靠近E的三等分点处.
根据二面角 的大小为 及球的性质可知：
平面，平面，所以，
由于，所以四边形是正方形，
，，
设四面体外接球的半径为，则.
所以外接球的表面积为.
故选：A
6．（2025·四川德阳·三模）六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若一正八面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】如图正八面体，连接和交于点，
因为，，所以，，
又平面，平面，，
所以平面，
设正八面体的外接球的半径为，内切球半径为，
假设正八面体的棱长为，
则，，，
，，
因，则，且为正八面体的中心，
则点到平面的距离为内切球半径，
因为，即，
即，所以，
所以，故选：C.
7．（多选）（2025·甘肃金昌·二模）如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（ ）
A．平面
B．平面平面
C．直线与直线有可能垂直
D．三棱锥的外接球体积为定值
【答案】ABD
【解析】对于A，因为都是对应圆周上的点，是相应的圆的直径，
所以，所以，
因为平面平面，所以平面，A项正确：
对于B，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，B项正确；
对于C，若，因为，平面，
所以平面，则，
因为平面，所以，
这与矛盾，故直线与直线不可能垂直，C项错误；
对于D，因为均是以为斜边的直角三角形，
所以三棱锥的外接球的球心为的中点，由于，
故三棱锥的外接球体积为定值，D项正确.
故选：ABD
8．（多选）（2025·四川自贡·三模）如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）

A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．平面
D．
【答案】AC
【解析】选项A：由图1，在直角中，，，
因为，所以，且，
，，，，
由图2，在直角中，，
因为，且，所以，
所以在直角中，，又，
所以，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以；
在中，，，，所以，
即，又，平面，所以平面，故A正确；
选项B：因为，所以即为所求，
因为平面，平面，所以，
所以在直角中，，故B不正确；
选项C：由上可知平面，，则的中点到距离相等，
因为平面，，则的中点到距离相等，所以为的中点，
同理可知为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故C正确；
选项D：由选项C可知：球的半径，球的半径，
所以，故D不正确.
故选：AC.
9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图．
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为．
10.（2024·河南新乡·二模）在直三棱柱中，，则该三棱柱的体积的最大值为 ．
【答案】6
【解析】如图，，，则，
由，则，当时，等号成立，即的最大值为6，

此时三棱柱的体积最大，最大体积为.
11．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
【解】（1）连接，为半圆的切线，，
设，则，
，解得：，.
（2），，，，
将阴影部分绕直线旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球，
所求体积.
12．（2025·四川成都·模拟）已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【解】（1）依题意底面为正方形，、相交于，
所以为的中点，又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）设球的半径为，由球的表面积公式，
解得（负值舍去），
设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，
连接，则，，，
则在，则，即，
解得（负值舍去），
则，所以，
又为中点，平面且，所以到平面的距离为，
所以.

13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为2．若是放入一个正方体，合上盒盖，则可放正方体的最大棱长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设储物盒所在球的半径为，如图，

小球最大半径满足，所以，
正方体的最大棱长满足，解得，
故选：C.
14.（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范围为 .
【答案】
【解析】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为，
则圆台体积，球体积，已知，.
由，得，把代入，，
所以.
则. .
则 ，化简得.
令，.当，；靠近时，变得很大，趋近正无穷，
所以范围是，即.
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