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趋势新题特训四 中考新考法
一、选择题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8.点F 是AB边的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值是4；③四边形CDFE 的面积保持不变.其中正确的结论是( ).
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
2.(2025·河北沧州期末)如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C有( ).
A. 6 个 B. 7个 C. 8 个 D. 9个
3.(2025·江苏无锡宜兴东沈中学月考)如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k·90°(k为整数)，则下列关于 n 的选项正确的是( ).
A. n 可能为1,不可能为2,3 B. n 可能为2,不可能为1,3
C. n 可能为1,2,不可能为3 D. n可能为1,2,3
4.(2025·山东潍坊高新区期末)如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A 地到 B 地.
甲:A→C→B,路程为 l甲.
乙:A→D→E→F→B,路程为 l乙.
丙:A→G→H→B,路程为l丙.
下列关系正确的是( ).
A. B. C. D.
二、填空题
5.(2025·新乡二十二中三模)小明在解关于 x 的不等式组 时，不小心把不等式组中的第②个不等式污损，若这个不等式组的解集中恰好有三个整数解，请你帮助小明补充一个符合条件的不等式②为 .
6.对x，y定义一种新的运算F，规定： 当x≥y时,若关于正数 x 的不等式组(当x7.我们定义一种新运算：记 如果设 A 为代数式，若 那么A= (用含x，y的代数式表示).
8.先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：
解：将“x+y”’看成整体，令x+y=A，则原式 再将“A”还原，得原式=(x+y+1) .上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，利用上述方法将 分解因式的结果是 .
9.若关于x的分式方程 的解为 我们就说这个方程是和解方程.比如： 就是一个和解方程.如果关于x的分式方程 是一个和解方程，那么n= .
10.(2025·四川成都武侯区期末)如图,在Rt△ABC 中,点 D,E,F 依次在斜边AC 上,分别以AD,DE,EF，FC 为斜边在 Rt△ABC 内作四个直角三角形，且满足 点G，J分别在边AB,BC上.若AB=8,BC=6,则这四个直角三角形的周长的和是 .
11.规定如
(1)若则x的取值范围为 ；
(2)若则x-y的值为 .
12.(2025·山东东营利津期末)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A 顺时针旋转到 的位置,点B,O 分别落在点B ,C 处,点B 在x 轴上,再将 绕点 顺时针旋转到 的位置，点C 在x 轴上，将 绕点 C 顺时针旋转到 的位置，点. 在x轴上，…，依次进行下去.若点A( ,0),B(0,2),则点 B 的坐标为 .
三、解答题
13.(2025·福建泉州石狮期末)已知a，b，c为三个互不相等的有理数.
(1)已知a1-3b.在下列说理中,填空(数学符号或理由):
解:∵a∴-3a -3b(不等式的基本性质3),
∴1-3a>1-3b( ).
(2)已知a+b+c<0,4a+c=2b,试说明:b14.请阅读求绝对值不等式|x|<3和|x|>3的解集的过程：
若|x|<3，从如图(1)所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|<3的解集是-3若|x|>3，从如图(2)所示的数轴上看：小于-3的数和大于3的数的绝对值都是大于3的，所以|x|>3的解集是x<-3或x>3.
解答下面的问题：
(1)不等式|x|0)的解集为 ;不等式|x|>a(a>0)的解集为 ;
(2)解不等式|x-2|<4;
(3)解不等式|x-5|>7.
15.(2025·广东惠州惠城区期中)在边长为10的等边三角形ABC中，Q是边BC上任意一点，P是边AB上一动点，以每秒2个单位的速度从点 A 向点B 移动，设运动时间为t秒.
(1)如图(1),若CQ=6,当t为何值时,PQ∥AC
(2)如图(2)，若点 P 从点A 向点B 运动，同时点 Q 以每秒3个单位的速度从点 B 经点C 向点A 运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形
16.(2025·广西中考改编)[平行六边形]如图(1),在凸六边形ABCDEF 中,满足AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA,我们称这样的凸六边形叫作“平行六边形”.其中AB 与DE,BC 与EF,CD 与FA 叫作“主对边”;∠A 和∠D,∠B 和∠E,∠C 和∠F 叫作“主对角”;AD,BE,CF 叫作“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分
[菱六边形]六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”.
(2)如图(2),已知平行六边形OPQRST 满足OP=PQ=QR=RS.求证:平行六边形OPQRST 是菱六边形.
17.(2025·湖南长沙一中月考)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“静待花开方程”，例如：方程x-2=2的解为x=4，而不等式组 的解集为2(1)在方程①5(x+2)-(x+4)=26;②9x-3=20;③6-2(x-3)=0中,不等式组 的“静待花开方程”是 ；(填序号)
(2)若关于x的方程3x-2k=6是不等式组 的“静待花开方程”，求 k 的最大正整数值；
(3)若关于x的方程 是关于x的不等式组 的“静待花开方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m 的取值范围.
18.数学活动：认识算两次.
把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法为算两次.
例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图(1)中最大的正方形面积验证了完全平方公式：
(1)如图(2)，将长为m、宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式 .
(2)如图(3)，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体.
①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x，y的整式分别表示为 , , ;
②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：
③若 求 的值.
19. (2024·兰州中考)综合与实践
[问题情境]在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题.
如图，在 中，M，N分别为边AB，AC上的动点(不含端点)，且AN=BM.
[初步尝试](1)如图(1)，当 为等边三角形时，小颜发现：将MA 绕点M 逆时针旋转 得到MD,连接BD,MN,则MN=DB,，请思考并证明；
[类比探究](2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图(2)，在 中， 于点 E,交BC 于点 F,将MA 绕点 M 逆时针旋转 得到MD,连接DA,DB.试猜想四边形 AFBD 的形状，并说明理由；
[拓展延伸](3)孙老师提出新的探究方向：如图(3)，在 中， 连接BN,CM,请直接写出.BN+CM的最小值.
1. C [解析]如图,连接CF.
∵在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=8,F 是边AB 的中点,∴∠ACF=∠FCB=∠A=∠B=45°,CF⊥AB,∴CF=AF=FB.
∵AD=CE,∴△ADF≌△CEF(SAS),
∴∠CFE=∠AFD,DF=EF.
∵∠AFD+∠DFC=90°,
∴∠CFE+∠DFC=90°,∴∠DFE=90°,
∴△DFE 是等腰直角三角形，故①正确；
∵△DFE 是等腰直角三角形，
∴当DE 最小时,DF 也最小,
即当FD⊥AC 时,DE 最小,此时∠CFD=∠AFD=∠A=
故②错误；
∵△ADF≌△CEF,∴S△ADF=S△CEF,
∴四边形 CDFE 的面积
∴四边形 CDFE 的面积保持不变，故③正确.
综上所述，正确的结论是①③.故选 C.
2. C
3. D[解析]将左边的阴影四边形绕点 E 顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n=1；将左边的阴影四边形绕点A 逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点 C 顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n=2；将左边的阴影四边形绕点 B 顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点 E顺时针旋转90°，最后将得到的四边形绕点 C 逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n=3.则n可能为1，2，3.故选 D.
4. D [解析]设AB=a,在题图甲中,∵∠A=∠B=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AC=BC=AB=a,
∴甲所行走的路程l甲=AC+BC=2a;在题图乙中,AE+BE=AB=a,
∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°,
∴△DAE 和△FEB 都是等边三角形,
∴AD=DE=AE,EF=FB=EB,
∴乙所行走的路程lz=AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a;
在题图丙中，延长AG，BH 交于点 P，如图所示：
∵∠A=∠B=60°,∴△ABP 是等边三角形,
∴AP=BP=AB=a.
根据三角形三边之间的关系，得GH∴丙所行走的路程l丙=AG+GH+HB故选 D.
5. x+1<3(答案不唯一) [解析]解不等式①,得x>-2.
∵这个不等式组的解集中恰好有三个整数解，
∴不等式②的解集为x∴不等式②可以为x+1<3.
6.11≤m<12 [解析]①若0由 得
由2-x>5,得x<-3,与0②若x≥2,
由 得 解得
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴9≤m-2<10,解得11≤m<12.
[解析]∵
=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]
=2a·2b=4ab,
可变形为
[解析]令 则原式=A(A-4)-5=A -4A-5=(A-5)(A+1),再将A 还原，得原式
9. [解析]解方程 得
∵关于x的分式方程 是一个和解方程，
解得
经检验， 是方程 的解.
故
10.24 [解析]由勾股定理,得
如图,由题意将 DH,EI,FJ 平移到边 AB 上,将 FI,EH，DG平移到边BC上，则这四个直角三角形的周长的和为AB+BC+AC=8+6+10=24.
11.(1)x<-1
(2)6 [解析]∵ 即 由①-②,得x-y=6.
12.(6076,0) [解析]由题图可知,点 B 在x轴上.
∴B (4,0),B (10,0),B (16,0),…,
∵(2025-1)÷2=1012,
∴1012×6+4=6076,∴B (6076,0).
13.(1)>不等式的基本性质1
(2)∵4a+c=2b,∴c=2b-4a.
∵a+b+c<0,∴a+b+2b-4a<0,
∴3b-3a<0,∴3b<3a,∴b14.(1)-aa或x<-a
(2)∵|x-2|<4,∴-4解得-2(3)∵|x-5|>7,∴x-5<-7或x-5>7,解得x<-2或x>12.
15.(1)∵△ABC是等边三角形,PQ∥AC,∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°,∠B=60°,AB=BC,∴∠B=∠BQP=∠BPQ=60°,
∴△BPQ 是等边三角形,∴BP=BQ,∴AP=CQ.
由题意可知,AP=2t,则2t=6,∴t=3,
∴当t的值为3时,PQ∥AC.
(2)①如图(1),当点Q 在边BC上时,连接AQ,此时△APQ不可能为等边三角形；
②如图(2),当点Q 在边AC 上时,
若△APQ为等边三角形,则AP=AQ.
由题意可知,AP=2t,BC+CQ=3t,
∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=10+10-3t=20-3t,即20-3t=2t,解得t=4,
∴当t=4时,△APQ为等边三角形.
16.(1)①错误 ②正确 ③错误[解析]如图(1),连接BE,CF,AD,设BE,AD 交于点M.
①由AB∥DE 不能判断出AB=DE,同理不能判断出BC=EF,AF=CD,故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②∵AB∥DE,∴∠ABE=∠BED,同理可得∠CBE=∠BEF,∴∠ABC=∠DEF,同理可得∠BAF=∠CDE,∠BCD=∠AFE,故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的；
③由①可知，无法判定平行六边形的三条主对角线互相平分，故该猜想是错误的.
(2)如图(2),过点 Q 作QH∥PO,且使QH=PO,连接OH,HS,
则四边形 PQHO 是平行四边形，
∴PQ∥OH,PQ=OH.
在平行六边形OPQRST 中,PO∥RS,PO=RS,
∴QH∥RS,QH=RS,
∴四边形QRSH为平行四边形，
∴QR∥HS,QR=HS.
在平行六边形OPQRST 中,PQ//ST,QR//OT,
∴OH∥ST,HS∥OT,
∴四边形 HSTO 为平行四边形，
∴HS=OT,OH=ST,
∴QR=OT,PQ=ST.
∵OP=PQ=QR=RS,
∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,
∴平行六边形 OPQRST 是菱六边形.
17.(1)② [解析]解方程①5(x+2)-(x+4)=26,得x=5;
解方程②9x-3=20,得
解方程③6-2(x-3)=0,得x=6.
解不等式④,得x>2,解不等式⑤,得x≤4,
∴原不等式组的解集为2(2)解方程3x-2k=6,得
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x≤7,
∴原不等式组的解集为1由题意可知 解得
∴k的最大正整数值为7.
(3)解方程 得x=4m-2.
②
解不等式①，得
解不等式②,得x≤3m+1.
∵该不等式组有5个整数解，
∴原不等式组的解集为
∴可设该不等式组的整数解为n,n+1,n+2,n+3,n+4,
∵n为整数,∴n=3,
即
又关于 x 的方程 是关于 x 的不等式组
的“静待花开方程”，
综上所述，
[解析]甲长方体的体积
乙长方体的体积
丙长方体的体积
②∵大正方体的体积一小正方体的体积
甲长方体的体积+乙长方体的体积+丙长方体的体积=
∴等式两边都除以x，得
即
∴等式两边平方，得
即
由②，得
19.(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,AB=AC.
∵MA 绕点M 逆时针旋转120°得到MD,
∴DM=AM,∠AMD=120°,∴∠DMB=60°.
∵AN=BM,∠A=∠DMB=60°,
∴△ANM≌△MBD(SAS),∴MN=DB.
(2)四边形AFBD 为平行四边形.理由如下：
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°.
∵MA 绕点M逆时针旋转 90°得到MD,
∴MA=MD,∠DMA=90°,∴∠MAD=∠MDA=45°,∠DMB=90°,
∴∠MAD=∠ABF=45°,∴AD∥BF.
在△ANM 和△MBD中
∴△ANM≌△MBD(SAS),∴∠AMN=∠MDB.
∵AE⊥MN,∴∠AMN+∠MAE=90°.
∵∠MDB+∠MBD=90°,
∴∠DBM=∠MAF,∴DB∥AF,
∴四边形AFBD 为平行四边形.
(3)如图,过点 A 作∠BAG=45°,使 AG=CB,连接GM,GC,BG,过点G 作GO⊥CB 交CB 的延长线于点O.
∵AB=AC=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠GAM=∠BCN=45°.
∵AN=BM,∴AM=CN.
又AG=CB,∴△GAM≌△BCN(SAS),
∴GM=BN,∴BN+CM=GM+CM≥CG,
∴当G，M，C 三点共线时，BN+CM的值最小，最小值为CG 的长.
∵∠GAM=∠ABC=45°,
∴AG∥BC.
又AG=BC,∴四边形 ACBG 为平行四边形,∴BG=AC=4,AC∥BG,
∴∠ABG=∠BAC=90°,
在 Rt△BOG 中,易得
在 Rt△ABC 中,
∴OC=OB+BC=6
在Rt△GOC中,
∴BN+CM 的最小值为 4

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