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压轴20 非对称问题处理策略的3大核心题型
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|，+，+之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如，或λx1+μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”.
题型01 解决定值问题
1.已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值．
【解析】方案一 反设直线与积化和（变量y）：由题，A(－2，0)，B(2，0)，设，则， ，联立，消x得，且△>0，则．
所以，代入得，，为定值，得证．
方案二 配凑半替换（变量y）：由题，A(－2，0)，B(2，0)，设，则， ，联立，消x得，且△>0，则．因此，得证．
方案三积化和（变量x）： 当直线l斜率存在时，不妨就直线，，，
联立，消得，因此，
所以，为定值，得证．
方案四 配凑半替换（变量x）： 当直线l斜率存在时，不妨就直线，，，
联立，消得所以，
即，为定值，得证．
题型02 解决定线问题
2.点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．
【解】联立化简得(，
△＞0，，直线AM：，直线BN：
联立得，
策略一：配凑半代换
原式＝
故直线AM与直线BN交点在定直线x＝4上．
策略二：和积转换
分离常数得：，
则有
代入得
题型03 解决定点问题
3.已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
【解】（1）由题意可得，且为的中点，又为的中点，
所以，且．
因为点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，
由垂直平分线的性质可得，
所以，
所以由双曲线的定义可得，点的轨迹是以为焦点的双曲线．
，
故曲线的方程为；
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去得：，
则，
解得，且
，①
由，得直线，
令，解得，即，
同理可得，
则
，
1.已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上、下顶点分别为A、B，过点斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点.求证：直线BM与AN的交点G在定直线上.
【解】（1）由题意，，解得：，故椭圆C的方程为
（2）由题意，直线MN的方程为，，，设，，
联立消去y整理得：，
判别式，
所以或，由韦达定理，
直线BM的方程为，直线AN的方程为，
联立 消去x可得：
从而 ③
接下来给出以下两种计算非对称结构的方法：
法1：由①②知，
代入式③得：
从而，解得：，所以点G在定直线上.
法2：由①知，
代入式③得：
从而，解得：，所以点G在定直线上.
2.（2025.黑龙江漠河高三模拟）.已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
【解】由已知有，解得，
故椭圆C的标准方程为：；
(2)由已知直线l斜率不为零，故设其方程为，
由消去x得：（，
令得．
设，则有，易知，
∴
所以为定值．
3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于 两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【解】（1）抛物线的焦点为，则.
椭圆的离心率，则.
故椭圆的标准方程为.
（2）显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.
当直线的斜率存在且不为时，设，，则有，，
两式相减得.由线段的中点为，则，
故直线的斜率.因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.
令，此时，于是直线过定点.
当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.
综上所述，直线过定点.
4.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.
【解】（1）设椭圆方程为，由题意可知：，所以，
所以椭圆的方程为
（2）是定值，定值为.设，，因为直线过点，设直线的方程为：，
联立
所以，，因为点在直线上，所以可设，
又在直线上，所以：
所以
5.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【解】（1）将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题显然直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，
，
化简得：，
故，
即，
当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故.
6.（2020新高考卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
【解】（1）椭圆方程为：.
（2）设．若直线的斜率不存在，则．
因为，则，即．由，解得或（舍）．
所以直线的方程为．若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．令，则．又，令，则．因为，所以，
即或．当时，直线的方程为．所以直线恒过，不合题意；当时，直线的方程为，所以直线恒过．综上，直线恒过，所以．又因为，即，所以点D在以线段为直径的圆上运动．取线段的中点为，则．所以存在定点Q，使得为定值．
7已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上.
【解】（1）当t＝－时，直线l：x＝－y＋1，
令x＝0，得y＝，即椭圆的上顶点为（0，），
则b＝，
又△AF1F2的周长为6，
即2a＋2c＝6，即a＋c＝3，
又a2－c2＝b2＝3，解得a＝2，c＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）证明：由（1）知，M（－2，0），N（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
依题意，点A，B不在x轴上，
由
消去x并整理得（3t2＋4）y2＋6ty－9＝0，Δ＞0，
则
得ty1y2＝（y1＋y2），
直线AM的方程为y＝（x＋2），
直线BN的方程为y＝（x－2），
联立直线AM，BN的方程得＝
＝＝
＝＝＝3，
于是得x＝4，
所以直线AM，BN的交点Q在定直线x＝4上.
8.设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
【解】（1）双曲线：的渐近线方程为，
不妨设，
因为三角形的面积为，所以，
所以，又，所以.
（2）双曲线的方程为：，所以右焦点的坐标为，
依题意，设直线与轴交于点，直线的方程为，
设，，则，
联立，得，
且，
化简得且，
所以，，
因为直线的斜率存在，所以直线的斜率也存在，
因为，，三点共线，所以，
即，即，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
化简得，所以经过轴上的定点.

9.已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；
(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．
【解】（1）解：设是曲线上的任意一点，
因为点，且动点满足直线与直线的斜率之积为，
可得，整理得，其中．
所以曲线的轨迹方程为.
（2）解：①当直线斜率存在时，设的方程为，设，
联立方程组，整理得，
则，即，
且
所以，
因为，
所以，
所以，
化简得，即，
所以，且均满足，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，过定点，记为点．
②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线，
联立方程组，解得，此时直线也过点，
综上，直线过定点．
又由，所以点在以为直径的圆上，
故当为该圆圆心，即点为的中点时，为该圆半径，即，
所以存在定点，使为定值．
（3）解：设，易得直线的斜率不为0，可设直线
联立方程组，整理得，
则，且，
则，
所以
．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴20 非对称问题处理策略的3大核心题型
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1-x2|，+，+之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如，或λx1+μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”.
题型01 解决定值问题
1.已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值．
题型02 解决定线问题
2.点是椭圆的左右顶点若直线与椭圆交于M，N两点，求证：直线AM与直线的交点在一条定直线上．
题型03 解决定点问题
3.已知点是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若点，直线，过点的直线与交于两点，直线与直线分别交于点．证明：的中点为定点．
1.已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上、下顶点分别为A、B，过点斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点.求证：直线BM与AN的交点G在定直线上.
2.（2025.黑龙江漠河高三模拟）.已知椭圆的右焦点为F，长轴长为4，离心率为．过点的直线与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，求证：为定值．
3.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线交椭圆于 两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
4.已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点的坐标为，点坐标为，且直线轴，过点作直线与椭圆交于，两点（，在第一象限且点在点的上方），直线与交于点，连接.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，问：的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由.
5.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
6.（2020新高考卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
7已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），M，N分别为左、右顶点，直线l：x＝ty＋1与椭圆C交于A，B两点，当t＝－时，A是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM，BN交于点Q，证明：点Q在定直线上.
8.设直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，且三角形的面积为.
(1)求的值；
(2)已知直线与轴不垂直且斜率不为0，与交于两个不同的点，，关于轴的对称点为，为的右焦点，若，，三点共线，证明：直线经过轴上的一个定点.
9.已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；
(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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