资源简介

压轴18 圆锥曲线中的定点与定值问题的3大核心题型
定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.
题型01 定点问题
1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【解题指导】（1）巧设椭圆方程→定点代入求参→E的方程
（2）设出直线方程→与椭圆C的方程联立→分情况讨论斜率是否存在→直线的方程→消参确定直线HN过定点
【解】（1）设椭圆E的方程为，
【技巧】当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①【第1步】直线斜率不存在时，证明直线HN过定点
若过点的直线斜率不存在，直线.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②【第2步】设直线斜率，求直线方程，与椭圆方程联立
若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
【第3步】求
可得，，
且
【第4步】求的坐标，直线的方程
联立可得
可求得此时，
【第5步】化简，消参确定直线HN过定点
将，代入整理得，
将代入，得显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【解后反思】动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).
2.（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点．
【解】（1）由题意可知，点到点和到的距离相等，
故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
故动圆圆心的轨迹C的方程为；
（2）由题意可知，直线的倾斜角均不为和，
故直线，的斜率存在且不为，
因为，所以，即，
即，
若直线的斜率为，则与抛物线只有一个交点，若斜率不存在，则重合，均不符合题意；
故设，，
联立，得，
则，
则
，
得，
则直线恒过点.
题型02 定直线问题
3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【解题指导】（1）由焦点和离心率→列方程求参→双曲线方程；
（2）设出直线方程→与双曲线方程联立→直线与的方程→消去→→交点的横坐标为定值→点在定直线上.
【解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
【第一步】设参，因直线过x轴上（T,0)点，方程可巧设为
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，
【第二步】用参，利用韦达定理，设而不求表示出判别式，两根之积与和
则，且
【提醒】忽视，此为得分点

直线的方程为，
直线的方程为，
【技巧】直线的方程可用类比的方法获得
【第三步】消参，利用两条直线交于P点，将两根之和与两根之积代入化简，转化为含有的代数式，确定定点。
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
4.（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解】（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）在定直线上，理由如下：
设点与直线联立消去整理得，
由，且，
所以，
易知，，则，，
两式作商得，
解得，故在定直线上.
题型03 定值问题
5.（2024·河南新乡模拟）分别是椭圆的左、右顶点，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两个不同的点．设直线，交于点，证明：点到轴的距离为定值．
【解题指导】（1）由弦长和离心率→列方程求参→椭圆方程；
（2）设出直线方程→与椭圆方程联立→直线，方程→两直线交点的横坐标→结合韦达定理化简得定值
【解】（1）由题可知，解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）
【第1步】设直线的方程与椭圆方程联立，根据判别式求的范围
设直线的方程为，
联立的方程，消去得．
其中，
即，
【第2步】由韦达定理写出两根之和与积，并消参k
设，，则，，
，又，，
【第3步】求直线，的方程，并联立求
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
．
【第4步】结合韦达定理化简得定值
又，，
即点到轴的距离为定值1．
6.（2025·吉林·三模）已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解】（1）由椭圆满足，且右焦点，
可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由题意知：椭圆的左、右焦点为，
设，且，
再设，其中，
则，可得，
整理得，同理可得，
则，
所以存在为定值，定值为.
题型04 存在性问题
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．
(1)求的方程．
(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．
(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解】（1）已知离心率，故，结合得,
所以双曲线方程可写为，代入点得：，
解得，所以，双曲线的方程为.
（2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论：
若直线斜率不存在，则，由得，
不妨设，
则：，所以；
若直线斜率存在，设为，则，
由，得，
此时且.
设， 由韦达定理：，
则：
.
综上，，即为定值.
（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合，
设中点为，则。
设，则，两式相减得，即，
整理得方程为。
又在双曲线上，代入得，即，故方程为.
若，
联立与双曲线，消去得，
即，判别式：
若，则，，代入双曲线得，无实根.
因此不存在满足条件的三点.
8.（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线：上的点与焦点的距离为2，点到轴的距离也为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为3的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，求四边形的面积；
(3)过点且倾斜角为的直线与交于，两点.点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）该抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
因为点到轴的距离为2，
所以设点的坐标为，代入抛物线中，得，
因为点与焦点的距离为2，
所以，即抛物线的方程为.
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
，
设，则有，所以
.
直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
，
设，则有，
显然，
点到直线的距离为，
同理点到直线的距离为，
因此四边形的面积为
.
（3）直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
，
设，则有，所以
，
要想为定值，只需，
当时，，
当时，此时不是常数，
所以存在常数，使得为常数，此时，.
1.（2025·江西·二模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
【解】（1）设点的坐标为，因为点在第一象限，所以，
双曲线的渐近线方程为，因为点在双曲线的渐近线上，
所以，
所以点的坐标为，又点在抛物线上，
所以，所以，
故抛物线的标准方程为：；
（2）设直线的方程为，联立，消得，，
方程的判别式，即，
设，则，
设关于轴的对称点为，
则直线的方程为，
根据抛物线的对称性可知定点必定在轴上，
令得：
．
直线过定点．
2.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
【解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）由（1）知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去，得，
显然，，则，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值
3．（山西省部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月模拟）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【解】（1）因为C的短轴长为2，离心率为，
所以，解得，
所以C的方程为：.
（2）设直线l方程为：，设，，
联立直线l与椭圆C的方程，消去x得，，
因为，
所以，，（*）
因为
，
所以，即.
（3）直线和的斜率比值为定值，理由如下：
法1：因为，
由（*）知，，代入上式得，
.
所以直线和的斜率比值为定值3.
法2 因为，
因为，所以，所以，
由（2）知，两式相除得，.
4．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.
(1)求C的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.
【解】（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，
则，，
又因为的面积，即，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由（1）可知：，，
则直线的斜率，且线段的中点为，
假设存在直线l满足题意，设直线l：，，，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
可得，，
即，则，
可得线段的中点为，直线的斜率，
此时，可知直线与直线不垂直，
这与等腰梯形的性质相矛盾，假设不成立，所以不存在直线l满足题意.
5．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，且离心率为2．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
【解】（1）由题意，可得，
解得.
所以的方程为.
（2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为，
与方程联立，得.
因为与有两个交点，所以且，解得．
设，则，则有
因，则，
所以，因，
代入可得，，即为定值.
6．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程．
(2)若的面积为24，求点的坐标．
(3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【解】（1）由题可知，，则．
又三点不共线，所以点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的双曲线（不包含顶点），
故的方程为；
（2）设．因为的面积为24，
所以，得．
由，得．
因为是的重心，
所以或或或；
（3）由题可知的斜率存在，可设的方程为．
由，得，
则，得，则，．
直线的方程为，直线的方程为，
则．
由，，得，
则，得，
故点在定直线上.
7.（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
【解】（1）将代入中得，，则，
因为，所以，
又，得，
故C的方程为；
（2）若直线斜率不为，则设直线，，，
联立，得，
则，
得，，
因为，则，
则直线的方程为，
令，得，
则直线HB过定点；
若直线斜率为，则直线HB为轴，过点；
故直线HB过定点.
8．（2025·广东广州·一模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点．
【解】（1）当时，，，所以
由题意可知，
所以，所以抛物线的方程为
（2）因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点，
则直线的斜率一定存在且不为0，
设其方程为，
联立，得，且有，
，
根据题意，由于过的两条直线垂直，则，
且有，即，
即
即，化简整理得到，所以，
将其代入，整理得，
若对任意等式都成立，则有，即，
故直线恒过定点.
9．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知直线与双曲线相切.
①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；
②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.
【解】（1）因为的虚轴长为，所以.
因为PF垂直于轴，所以，
因为为实半轴长和半焦距的等差中项，所以，
因为，所以，则，故，
所以双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线的方程为，
因为，所以直线与直线PF的交点，
直线与直线的交点，
由，得，
则，即.
①因为，且，
所以，所以，为定值.
②由得，同理可得，
所以.
因为原点到直线的距离，所以.
因为，所以，即的面积为定值.

10.（2026·广西南宁·一模）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，．
(1)求C的标准方程．
(2)已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧．
（i）求的最小值；
（ii）若，证明：l过定点．
【解】（1）依题意，抛物线（p>0）的焦点为，准线方程为，
则准线与x轴的交点为，则，
解得（舍去），故抛物线C的标准方程为.
（2）（i）由题意，，
因是抛物线上一点，则，故当时，取得最小值24，
则此时的最小值为.
（ii）依题意，直线的斜率不能为0，故可设直线的方程为，
代入，消去，可得，则，
由韦达定理，，因P，Q在x轴的两侧，则，即，
则，
即，
因，则，此时直线的方程为，故直线必过定点.
11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交于，两点．
（i）是坐标原点，若的面积为，求的值；
（ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
【解】（1）设焦距为，则，所以，即，
其渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离为，即，
所以，所以的方程为；
（2）（i）设，联立，化简得，
，则，
所以，解得，
所以的值为．

（ii）由（i）知．
所以，
即为定值.
12.（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
【解】（1）如图，
由题意知
所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆的方程为，
则，，，
所以椭圆方程为．
（2）如图，
解法一：
设，，，，
由可得，
则，即①
由可得
则，即②
所以，整理得③
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得，
消去得，
，，
代入③得，又因为，所以．
直线的斜率不存在时，不妨取，，
则，，则，，解得，
综上可得，点在一条定直线上，直线方程为．
解法二：设，，，，
由可得，
则，即①
由可得，
则，即②
所以，整理得③
当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为，
联立，消去得，
，
代入③得
当直线的斜率为0时，，，
则，恒成立，点H在上也成立，
综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H．
①若，求的值；
②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解】（1）因为椭圆的长轴长为4，
所以，所以，
因为点在椭圆C上，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线，的斜率一条不存在，另一条的斜率为0时，
不妨设直线的斜率一条不存在，直线的斜率为0，
则，，，
，
当直线，的斜率存在且不为0时，
设，，因为，所以，
设直线，，
联立方程得，所以，
所以，
同理，
所以.
综上可知，.
②设，将，代入椭圆方程，
得，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以直线，
同理，
联立，所以，
所以，
所以，
直线，令，则，则，
又因为，所以，
所以直线，
所以直线过定点.
14．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.
(1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；
(2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解】（1）设双曲线，
由题意得：解得故双曲线方程为.
设，则
ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点.
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或）
联立方程组：消去得：.
由，即.
又，则，，
所以，即，解得.
所以直线，又，则.
联立方程组：消去得：，因为.
则上式化简为，恒成立.
设，，则，所以为AB的中点.
（2）因为与相交，则切线的斜率存在，
由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得
所以，，则，
.
所以.
故存在，使得恒成立.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴18 圆锥曲线中的定点与定值问题的3大核心题型
定点问题主要涉及直线或圆过定点问题的判定及证明；定值问题主要涉及面积、长度、代数式等与参数无关的定值，考查题型为解答题，一般作为压轴题出现.
题型01 定点问题
1.（2022全国乙（理）卷T20）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
2.（2026·江西·模拟预测）已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)过点作倾斜角为，（）的两条直线交轨迹C于M，N两点，若，求证：直线MN恒过定点．
题型02 定直线问题
3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
4.（2025·北京石景山·一模）已知椭圆过点，短轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点，．设直线与直线相交于点．试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
题型03 定值问题
5.（2024·河南新乡模拟）分别是椭圆的左、右顶点，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两个不同的点．设直线，交于点，证明：点到轴的距离为定值．
6.（2025·吉林·三模）已知分别为椭圆的左、右顶点，，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
题型04 存在性问题
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．
(1)求的方程．
(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．
(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
8.（2026·宁夏银川·一模）已知抛物线：上的点与焦点的距离为2，点到轴的距离也为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为3的直线与交于，两点，过点且斜率为的直线与交于，两点，求四边形的面积；
(3)过点且倾斜角为的直线与交于，两点.点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得为常数？若存在，求出及的值；若不存在，请说明理由.
1.（2025·江西·二模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且点的横坐标为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点，关于轴的对称点为，证明：直线必过定点．
2.（2025·河北秦皇岛·三模）已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
3．（山西省部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月模拟）在坐标平面xOy中，，分别是椭圆的左右顶点，且C的短轴长为2，离心率为.过的中点B的直线l（不与x轴重合）与C交于D，E两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：；
(3)直线和的斜率比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
4．（2026·河北唐山·一模）已知椭圆的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，的面积是1，其中O是原点，平行于的直线l与C交于M，N.
(1)求C的方程；
(2)是否存在这样的直线l，使以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由.
5．（2026·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，且离心率为2．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．
6．（2026·河北邯郸·一模）已知是的两个顶点，是的重心，分别是边的中点，且．记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程．
(2)若的面积为24，求点的坐标．
(3)已知点，过的直线与曲线交于两点，直线与交于点，试判断是否在一条定直线上．若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
7.（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，轴，且．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于不同的两点A、B，于点H，证明：直线HB过定点．
8．（2025·广东广州·一模）已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点．
9．（2026·贵州·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为，点在双曲线上，PF垂直于轴，且为实半轴长和半焦距的等差中项.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)已知直线与双曲线相切.
①若与直线PF相交于点，与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值；
②若直线分别与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，为坐标原点，判断的面积是否为定值.
10.（2026·广西南宁·一模）已知抛物线（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点H，．
(1)求C的标准方程．
(2)已知点，O为坐标原点，直线l交C于两点，且P，Q在x轴的两侧．
（i）求的最小值；
（ii）若，证明：l过定点．
11．（2026·河北沧州·一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交于，两点．
（i）是坐标原点，若的面积为，求的值；
（ii）设的左焦点为，则是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
12.（河北省NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第二次调研）平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
(1)求点Q的轨迹E的方程；
(2)过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．
13．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，连接OD（O为坐标原点）并延长，交椭圆C于点E，交直线于点H．
①若，求的值；
②若，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
14．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点.
(1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点；
(2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑