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压轴21 圆锥曲线中二级结论的7大核心题型
1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
题型01 焦点三角形
1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 .
2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（　　）
A.2　　　　B.4 C.6　　　　D.12
题型02 周角定理（斜率积为定值）
3.（2025·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为
A． B． C． D．
4.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
题型03 椭圆、双曲线的焦点弦问题
5.如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是　 　；
6.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为　 　.
题型04 抛物线的的焦点弦问题
7.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　）
A. B.
C. D.2
8.〔多选〕（2025·抚顺一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A.｜AB｜的最小值为4
B.设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.若＝2，则直线l的斜率为2或－2
题型05 切线问题
9.已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
10.求双曲线在点处的切线方程．
题型06 圆锥曲线的第二定义
11.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．
12.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　 　.
题型07 阿基米德三角形
13.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
14.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为(　　)
A．8 B．16 C．16 D．32
1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
3.已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
5.（2025·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
6.设F1，F2为椭圆C：y2＋＝1(0A. B.
C. D.
7.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得∠F1MF2＝2α（α≠0），则椭圆C的离心率e的取值范围为（　　）
A.（0，sin 2α] B.（0，sin α]
C.[sin 2α，1） D.[sin α，1）
8.〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　）
A.弦AB的最小值为
B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）
9.（多选）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是（　　）
A.若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－
B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是（0，）
D.若｜PF1｜≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是（0，］
10.（多选）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，O为坐标原点，倾斜角为θ的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△OMN的面积为3，则（　　）
A.sin θ＝
B.｜MN｜＝24
C.以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点
D.＝或＝
11.过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
12.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
13.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.
14.如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为
15.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________.
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1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.
题型01 焦点三角形
1.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程 .
【答案】或
【解析】设，则. ，
又，，即.解得：
所求椭圆的标准方程为或.
2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为（　　）
A.2　　　　B.4 C.6　　　　D.12
【答案】D　
【解析】由e＝，得＝，即a＝2c①.设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝（舍负），
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知＝b2tan＝r（2a＋2c），
【二级结论】椭圆中＝b2·tan
即b2＝（a＋c）②.又a2＝b2＋c2③.联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
题型02 周角定理（斜率积为定值）
3.（2025·河北衡水·一模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（常规解法）由题意可知，，设
，，即
又，，解得（舍），
，故选B
（结论解法）由结论可得kPA·kPB=-=e2-1，即，故选B
4.（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知椭圆，A，B为G的短轴端点，P为G上异于A，B的一点，则直线，的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】（常规解法）设，则有，即有，
由椭圆方程不妨设短轴端点的坐标分别为、，
则，故选C.
（结论解法）由椭圆方程，可得，在椭圆中，kPA·kPB=-=，故选C
题型03 椭圆、双曲线的焦点弦问题
5.如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是　 　；
【答案】（－，）
【解析】（1）设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，
由角平分线性质知，＝，于是得＝ m＝e2x0＝x0，
因为x0∈（－2，2），所以m∈（－，）.
6.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为　 　.
【答案】－＝1
【解析】如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，
又＋＝，∴＋＝，即＝，
又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a，∴＝，
即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1.
题型04 抛物线的的焦点弦问题
7.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　）
A. B.
C. D.2
【答案】C
【解析】∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知＋＝，∴＋＝＝1，∴｜BF｜＝.
设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＝，
即3＋＝，∴sin2θ＝，sin θ＝，则△AOB的面积S△AOB＝＝＝，故选C.
8.〔多选〕（2025·抚顺一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（　　）
A.｜AB｜的最小值为4
B.设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.若＝2，则直线l的斜率为2或－2
【答案】ACD
【解析】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝－1，所以＝1，则p＝2，所以抛物线C：y2＝4x，易知过焦点且垂直于对称轴的弦最短，所以｜AB｜的最小值为2p＝4，故A正确；
如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于A1，F（1，0），根据抛物线的定义可得｜AF｜＝｜AC｜，所以△QAF周长为｜AF｜＋｜AQ｜＋｜QF｜＝｜AC｜＋｜AQ｜＋＝｜AC｜＋｜AQ｜＋2，由图可知，当A，C与点Q共线时，｜AC｜＋｜AQ｜有最小值，最小值为Q到准线x＝－1的距离，其值为3－（－1）＝4，所以（｜AC｜＋｜AQ｜）min＋2＝4＋2，故B错误；易知C正确；设直线AB的方程为x＝my＋1，联立整理可得：y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，因为＝2，所以y2＝－2y1，解得y2＝8m，y1＝－4m，所以32m2＝4，解得m2＝，所以k＝±＝±2，因此D正确.故选A、C、D.
题型05 切线问题
9.已知点在椭圆上.若点在圆上，则圆过点的切线方程为.由此类比得椭圆在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点在椭圆上，故可得，解得；
由类比可得椭圆在点处的切线方程为：
，整理可得，故选：C.
10.求双曲线在点处的切线方程．
【答案】
【解析】因在双曲线上，双曲线在点处的切线方程为.
题型06 圆锥曲线的第二定义
11.已知点A（），设点F为椭圆的右焦点，点M为椭圆上一动点，求的最小值，并求此时点M的坐标．
【解】如图，过点A作右准线l的垂线，垂足为N，与椭圆交于点M．
∵椭圆的离心率，∴由第二定义得，
的最小值为|AN|的长，且，
的最小值为10，此时点M的坐标为．
12.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），F1，F2分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为　 　.
【答案】［，1）
【解析】设点P（x0，y0），则由第二定义得｜PF1｜＝e（x0＋）＝a＋ex0，｜PF2｜＝e（－x0）＝a－ex0.
因为△PF1F2中∠F1PF2＝90°，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2.
即（a＋ex0）2＋（a－ex0）2＝（2c）2＝4c2，解得＝，
由椭圆方程中x的范围知0≤≤a2.所以0≤＜a2，解得≤e＜1.
题型07 阿基米德三角形
13.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点，处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”，当线段经过抛物线焦点时，具有以下特征：（1）点必在抛物线的准线上；（2）为直角三角形，且；（3）．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，过点，处的切线交于点，若点的横坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
由题意知，为“阿基米德三角形”，可得点必在抛物线的准线上，
所以点，直线的斜率为，
又因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即,故选：C．
14.已知抛物线C：x2＝4y，直线y＝kx＋b与抛物线交于A，B两点，|AB|＝8，且抛物线在A，B处的切线相交于点P，则△PAB的面积最大值为(　　)
A．8 B．16 C．16 D．32
【答案】D
【解析】方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得x2－4kx－4b＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
又|AB|＝|x1－x2|＝·＝8，故k2＋b＝，
又x2＝4y，∴y＝x2，∴y′＝x，故直线PA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，
即y＝x1x－x，同理，直线PB的方程为y＝x2x－x，
联立直线PA，PB方程可得x＝，y＝，
即x＝＝2k，y＝＝－b，即P(2k，－b)，∴点P到直线AB的距离d＝，
∴S△PAB＝|AB|·d＝×8×＝4×·＝，
当k＝0时，(S△PAB)max＝32.
方法二　由阿基米德三角形的性质知(S△PAB)max＝＝＝32.
1.椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，焦距等于2，故选B．
2.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】抛物线C：y2＝3x中，2p＝3，p＝，故S△OAB＝＝＝.
3.已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即，故选B
4.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
【答案】C
【解析】设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4，
即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.
5.（2025·重庆模拟）如图，A，B分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据周角定理可知kAQ·kBQ＝e2－1，又
所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1 e＝.故选C.
6.设F1，F2为椭圆C：y2＋＝1(0A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知当点P位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2最大，且△PF1F2的面积也最大，故b2tan ≤×2c×b.
即n≤×2×，又07.已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点M使得∠F1MF2＝2α（α≠0），则椭圆C的离心率e的取值范围为（　　）
A.（0，sin 2α] B.（0，sin α]
C.[sin 2α，1） D.[sin α，1）
【答案】D
【解析】由题，0＜2α＜π，则0＜α＜，由焦点三角形面积公式得＝b2tan α，
设M（x0，y0），则｜y0｜≤b，所以＝·2c·｜y0｜≤bc，
故＝b2tan α≤bc，所以bsin α≤ccos α，
两边同时平方得（a2－c2）sin2α≤c2cos2α，解得sin α≤e，
又0＜e＜1，所以sin α≤e＜1.故选D.
8.〔多选〕（2025·浙江温州二模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　）
A.弦AB的最小值为
B.若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞）
【答案】ABC
【解析】弦AB的最小值为通径，故A正确；
由双曲线的定义得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，
所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，
｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，
则△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；
由双曲线可得kAB·kOM＝，故C正确；
若直线AB的斜率为，所以＜，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，
所以e＝∈（1，2），故D错误.故选A、B、C.
9.（多选）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是（　　）
A.若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－
B.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是（0，）
D.若｜PF1｜≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是（0，］
【答案】BD
【解析】设P（x0，y0），∴＋＝1，∵e＝＝，∴a＝2c，∴a2＝b2，∴·＝－＝－，∴选项A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan＝b2，∴选项B正确；
若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，
∴·2c·b＞b2，∴c＞b，∴c2＞a2－c2，∴e∈（，1），∴选项C错误；
若｜PF1｜≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4（a2－c2），
∴5e2＋2e－3≤0，∴0＜e≤，∴选项D正确.
10.（多选）已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，O为坐标原点，倾斜角为θ的直线l过点F且与C交于M，N两点，若△OMN的面积为3，则（　　）
A.sin θ＝
B.｜MN｜＝24
C.以MF为直径的圆与y轴仅有1个交点
D.＝或＝
【答案】AC
【解析】依题意F（，0），设直线l：x＝my＋，M（x1，y1），N（x2，y2），由整理得y2－6my－9＝0，则Δ＝36（m2＋1）＞0，所以y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，所以S△OMN＝×｜y1－y2｜×＝×6＝3，解得3m2＝1，所以m2＝＝，又sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin2θ＝，所以sin θ＝±，又θ∈[0，π），所以sin θ＝，故A正确；因为｜MN｜＝·＝6×＝8，故B错误；因为以MF为直径的圆与y轴相切，故C正确；因为＝，若m＝，则y2－2y－9＝0，解得y＝－或y＝3；若m＝－，则y2＋2y－9＝0，解得y＝或y＝－3；即｜y1｜＝、｜y2｜＝3或｜y2｜＝、｜y1｜＝3，所以＝或＝3，故D错误.故选A、C.
11.过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【解析】因在上，故切线方程为，即.
12.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
【答案】
【解析】通法：由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y＝(x－)，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
则yA＋yB＝3，yA·yB＝－，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
优解：由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
13.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，
因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，
所以S△AF′F＝S△ABF＝2a2且∠F′AF＝θ＝，
根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AF′F＝.
所以2a2＝b2，即＝2，e＝＝.
14.如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为
【答案】1
【解析】椭圆C2关于点P(x0，y0)的切点弦AB的方程为＋＝1，即3x0x＋4y0y＝12，
由解得，同理.
则·＝＋＝＝1.
15.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________.
【答案】13
【解析】由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2，0)，
由直线PQ过抛物线的焦点，则＋＝＝，
圆C2：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，
当且仅当|PF|＝2|QF|时，等号成立，故|PM|＋4|QN|的最小值为13.
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