资源简介

压轴24 概率与统计中创新与融合的3大核心题型
概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现.
题型01 概率、统计与数列的融合问题
1.（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.
(1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；
(2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求事件发生的概率.
【解】（1）的可能取值为1和2，且；
，则的分布列如下：
1 2
则的期望为.
（2）（ⅰ）①
②
①-②得：.
又，则，即.
（ⅱ）③，
①+②得：.
由③知
又；
则有，其中；
则是以为首项，为公比的等比数列.
可得：；所以
2.（2025·安徽六安二模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
【解】（1）可能取值为2，3，4，
， ，.
的分布列为
2 3 4
数学期望.
（2）根据题意，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，
所以，
则，
则有，
两式相减，得，
所以.
题型02 统计与函数的融合问题
3.（2025·安徽合肥一模）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值．
【解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，，
所以所求概率为
，
所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为；
（2）由（1）可知
，
整理可得，
因为，，且，
所以，，
令，则，
所以，，则，
当时，恒成立，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从，
又，所以，则由，
即，解得，
因为为正整数，所以n的最小值为．
4.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？
【解】（1）甲三次投篮都命中的概率为，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为
，
所以甲未获得奖品的概率为.
（2）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为
X
P
则，
令，则，
所以，其中随的增大而减小.
当时，，，当时，，
所以，
故当时，甲投篮次数的期望最大．
题型03 概率、统计中的新定义问题
5.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
【解】（1）由题意可得满足二项分布，
由知，，当且仅当时取等号；
（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），
（混管中恰有i例阳性）=，，
令，，
则，
当时，，为单调递减，
当时，，为单调递增，所以，
且，，
所以当，即，两边取自然对数可得，
所以当，时，
所以，
则．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
6.若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求，；
(2)求；
(3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.
【解】（1）由题意有的情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
所以，
因为是不可能事件，
所以；
（2）表示：甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
所以；
（3）表示：甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
又的可能取值为，
所以，
，
，
所以，
，
，
所以的分布列为
所以
1．（2025·重庆八中二模）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.
【详解】（1）由题知随机变量，所以.
（2）设事件，由题图可知，
则，
即.
设，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以当时，取得最大值，即取得最大值，
所以，即，
解得或，
因为，所以.
2.（2025·福州二模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
【解】（1）由题意可得满足二项分布，
由知，，当且仅当时取等号；
（2）记（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），
（混管中恰有i例阳性）=，，
令，，
则，
当时，，为单调递减，
当时，，为单调递增，所以，
且，，
所以当，即，两边取自然对数可得，
所以当，时，
所以，
则．
故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.
3．（2025湖北七市州调研）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A的需求量 0 1 2 3
概率
若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.
(1)求的分布列；
(2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.
（i）求商品A的定常态分布；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率.
【解】（1）由题意，第2周开始时商品A不同供给量的概率为，，
第3周开始时商品A供给量的概率为
，
.
第3周开始时商品A的供给量分布列为
1 2
（2）（i）记为商品A第周内的的需求量，由题意，与的状态有关，
当时，若，则；若，则，
设，即，
由全概率公式可得，
，
由，得，解得，故.
（ii）由（i）可知，定常态分布，所以从长远来看，
，
记商品A需求大于供给的概率为，由全概率公式得
.
4．（2025·山东潍坊·二模）有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为．
(1)当时，求恰好有次成功的概率；
(2)令，若，证明：；
(3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【解】（1）当时，恰有次成功即恰有次失败，
由于必成功，因此失败只能发生在或上，
当失败，成功时，概率为，
当成功，失败时，概率为，
所以恰有次成功的概率．
（2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功．
则前次均成功的概率为．
第次失败的概为，
后续次成功的概率为，
所以失败发生在第次的概率为，
则.
（3），理由如下：
所有试验均成功的概率为，
即证，即．①
因为当时，即，
所以．
即，
所以①式成立，即．
5.（2025·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
【解】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：
.
②依题意，，，
显然，则，
所以.
（2）由定义及全概率公式知，
.
6．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．
(1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和；
(2)对于两个不相互独立的事件，，，．
①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；
②定义为与的相关系数．
（ⅰ）若，求证：与正相关；
（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．
【解】（1）由题意，的可能取值为，且每个小球都有4种放法，故3个小球共有种放法，
，，，，
所以的分布列如下，
0 1 2 3
所以；
（2）（i）由，则，
所以，故与正相关，得证；
（ii）由题意，，，
所以，
结合（i）结论，故与正相关.
7．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为，共有个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.
(1)求；
(2)当时，求的表达式；
(3)令 为这个数中数字 的个数， 为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值.
【解】（1）由题可知当时，，
即这个数中共有个数字，其中数字的个数为，
则恰好取到的概率为；
（2）由题当时，这个数由位数组成，；
当时，这个数由个一位数和个两位数组成，
则；
当时，这个数由个一位数、个两位数和个三位数组成，
则；
当时，这个数由个一位数、个两位数、个三位数和个四位数组成，
则；
综上所述；
（3）当时，，
当时，；
当时，，
即，
同理有，
由可知，
所以当时，，
当时，；当时，；
当时，，
由函数是关于单调递增的，
得当时，有的最大值为，
又，所以当时，的最大值为．
8．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响．
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值．
参考公式：若，则．
【解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中.
所以.
（2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为.
乙获胜的情况为：
乙第1次射击并命中，概率为；
第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为；
第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为；
第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为；
这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.
甲获胜的情况为：
第1轮乙未命中，甲命中，概率为；
第2轮乙未命中，甲命中，概率为；
第3轮乙未命中，甲命中，概率为；
第轮乙未命中，甲命中，概率为；
这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.
由题意知，恒成立，即恒成立，
因为，，所以，
所以恒成立，即.
因为，所以，，所以.
所以的最小值为.
9．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．
(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求．
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
【解】（1）由题意可知经过3局比赛，甲获得训练赛胜利，需3局连胜，则；
（2）由题意， 为事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率，
由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为，
故即为甲的净胜局数，所以.
经过若干局后，假定当前，
①当时，即甲的净胜局数，
则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以；
②当时，即甲的净胜局数，乙的净胜局数，
则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则；
③当时，
由甲的净胜局数，则乙的净胜局数为，且，
故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局.
记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”（），
事件“下一局比赛甲获胜”，
下一局若甲赢（即事件发生），则；若乙赢（即事件发生），则；
因为，，，
且，
所以由全概率公式得，，
即，
因此，整理得，
两边都减去，则可得，
又当时，，
故数列：是公比为2的等比数列．
即数列是公比为2的等比数列．
（3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为.
记，
则，
由（2）知，数列是公比为2的等比数列，
则，解得，
所以，
又，
所以，
故甲最终获得训练赛胜利的概率为.
10．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．
(1)求和；
(2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为．
（i）证明：存在常数，使得；
（ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得．
【解】（1）当时，从A出发，第1秒只能移动到相邻的3个顶点（B，D，C），
第2秒要回到A，必须从这3个顶点之一沿原路返回.每个顶点有3条棱，返回A的概率是.
所以.
当时，第2秒时，质点在(B，D，C)三点的概率均为.
从这三点出发，第3秒无法回到A（因为它们与A距离为1，第3秒移动后距离为2），所以.
故，.
（2）（i）由对称性可知第秒后质点恰好走到三点的概率相同，都为；
第秒后质点恰好走到三点的概率也相同，都为；
第秒后质点恰好走到点的概率为．记第秒后质点的位置为，
则，
即，
再由，即．
于是存在常数，使得．
（ii）由可知，
由可知，
于是——①，——②，——③，——④.
由①②得，即——⑤，
再由①③④得——⑥，由⑤得，代入⑥
，化简得.
因为，
则．
由，于是．所以.
所以当为奇数时，，，……，
，上述个式子相乘得．
又由，即可知．
所以，解得，
即当为奇数时，，所以当为偶数时，
当为偶数时，，，
，上述个式子相乘得,即.
又由可知．解得，即当为奇数时，．
因此，当为奇数时，；当为偶数时，．
当时，，
则．
当时，，
即．
所以存在常数，使得．
11．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为．
(1)求；
(2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式．
【解】（1）小球3次碰撞全部向左偏或者全部向右偏时落入B袋中，
此概率P（B）＝，
则小球落入A袋中的概率P（A）＝1－P（B）＝，
故，，．
（2）游戏过程中累计得n分可以分为两种情况：得到（n－2）分后的一次游戏中小球落入B袋中，或得到（n－1）分后的一次游戏中小球落入A袋中，
故，
即，
故为常数列，且，
故，
即，得，
故为等比数列，且首项为，公比为，
故，
故．
12．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且.
（i）求；
（ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
【解】（1）甲从A盒中摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，乙从B盒中摸到黄球的概率为，
红球的概率为，乙从C盒中摸到黄球的概率为，红球的概率为，
故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为.
（2）（i）,
,
（ii）设事件表示甲乙两人在第轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片，
则
，
则，或
又，
当时，，
所以，，
，
故为等比数列，且公比为，首项为，
则，故，
而满足上式，因此；
当时，，
则，则，
故为等比数列，且公比为，首项为，
故，
而满足上式，因此，
，
当时，则.
综上可得：故当时，无限趋近于一个常数，即.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴24 概率与统计中创新与融合的3大核心题型
概率与统计中的创新问题主要涉及概率统计中的证明问题、概率统计与数列、函数的交汇问题及概率统计中的新定义问题，考查题型多为解答题，难度中等偏上，或可作为压轴题出现.
题型01 概率、统计与数列的融合问题
1.（2025·湖北武汉·三模）小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为.
(1)经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望；
(2)若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求事件发生的概率.
2.（2025·安徽六安二模）投掷均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分．独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分．
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)若投掷次骰子，记合计得分恰为分的概率为，求.
题型02 统计与函数的融合问题
3.（2025·安徽合肥一模）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率；
(2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值．
4.（2025·安徽合肥·三模）某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立．
(1)求甲未获得奖品的概率；
(2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？
题型03 概率、统计中的新定义问题
5.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
6.若随机变量X，Y均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中.
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得1分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束.若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得1分，不进球得分；未抽中者不点球，得0分，分数高者获胜，比赛结束.已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立.记甲得分为X，乙得分为Y.
(1)求，；
(2)求；
(3)已知随机事件发生了，求随机变量Y的分布列与数学期望.
1．（2025·重庆八中二模）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.

(1)写出（用表示，组合数不必计算）；
(2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求.
2.（2025·福州二模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．
(1)证明：；
(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．
3．（2025湖北七市州调研）已知某商店出售商品A，据统计分析，发现顾客对商品A的需求量相对稳定，每周内对商品A的不同需求量（单位：个）与概率的数据如下：
对A的需求量 0 1 2 3
概率
若以商品A的库存作为供给量，为了改善经营，该商店决定每周末对商品A进行盘点存货：如果商品A都售出了，则在周末及时采购2个新的商品，只要商品A还有1个存货，就不采购新的商品.记为该商店第周开始时商品A的供给量，假设.
(1)求的分布列；
(2)记为第周开始时供给量的概率向量，随着的增大，若，则趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.
（i）求商品A的定常态分布；
（ii）从长远来看，求该商店改善经营后商品A需求大于供给的概率.
4．（2025·山东潍坊·二模）有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为．
(1)当时，求恰好有次成功的概率；
(2)令，若，证明：；
(3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
5.（2025·山东潍坊·一模）若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
6．（2026·山东枣庄·一模）现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限）．
(1)记甲盒中小球个数为，求的分布列和；
(2)对于两个不相互独立的事件，，，．
①若，则称事件与正相关（的发生会“促进”的发生）；若，则称事件与负相关（的发生会“抑制”的发生）；
②定义为与的相关系数．
（ⅰ）若，求证：与正相关；
（ⅱ）定义事件“甲盒中恰有一个小球”，事件“甲盒中含有红球”．求，并判断事件与的相关情况．
7．（2026·安徽安庆·一模）将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数.例如：当时，此数为，共有个数字，则.现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率.
(1)求；
(2)当时，求的表达式；
(3)令 为这个数中数字 的个数， 为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值.
8．（2026·广东广州·一模）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响．
(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）；
(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值．
参考公式：若，则．
9．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）．
(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求．
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
10．（2026·山东·模拟预测）在棱长为1个单位的正方体中，一个质点从顶点出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设第秒后，质点回到点的概率为．
(1)求和；
(2)设第秒后，质点移动到点的概率为，移动到点的概率为，移动到点的概率为．
（i）证明：存在常数，使得；
（ii）记的前项和为，证明：存在常数，使得．
11．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入A袋或B袋中．一次游戏中小球落入A袋记1分，落入B袋记2分，游戏可以重复进行．游戏过程中累计得n（）分的概率为．
(1)求；
(2)写出与之间的递推关系，并求出的通项公式．
12．（2026·山东济宁·一模）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.
(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；
(2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且.
（i）求；
（ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑