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压轴01 抽象函数与嵌套函数的5大核心题型
抽象函数与嵌套函数是高中函数模块的核心难点，是高考中解决函数性质、解析式、最值范围问题的高频工具，在函数单调性、奇偶性、周期性等模块应用广泛。
这类问题以“无具体解析式研究性质/解析式”为核心逻辑，在给定抽象约束（如函数方程、多层嵌套关系）下，求解解析式、判断函数性质或证明不等式。它重点考查学生赋值法、变量替换、配凑变形、嵌套递推、性质综合的应用能力，是检验函数思维与逻辑推理的关键载体。
核心考点：
抽象函数：赋值法 + 性质推导，关注定义域与特殊值。
嵌套函数：逐层拆解 + 换元法，注意内层值域与外层定义域匹配。
题型01 赋值法研究抽象函数
1.（2025·广东深圳·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
2.设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝________；f(2 025)＝________.
题型02 数形结合法研究抽象函数
3．（2026阜阳一模）定义在上的奇函数，满足且在上为单调递减的一次函数，，则错误的是（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的周期为
C．
D．设，和的图象所有交点横坐标之和为
4.已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03利用函数性质之间的关系推理论证
5.（2026绵阳高三第二次诊断）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
6.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型04嵌套函数零点个数的判断
7．（2026·甘肃金昌·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2026·山东济宁·期中）已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
题型05求嵌套函数零点中的参数
9．（2026·吉林长春·期中）设，若关于x的函数有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026·山东菏泽·月考）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.
一、单选题
1．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2026·四川·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（ ）
A． B．0
C． D．1
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．
C． D．
5．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
6．（2026·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2026·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·贵州贵阳一模）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2026·辽宁·一模）（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．
11．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
12．（2026·广西·期末）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集为
13．（2026·河南周口·期末）函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的周期为6
C．
D．的图象关于直线对称
14．（2026·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______
15．已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____．
16．已知函数，则函数有__________个零点．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴01 抽象函数与嵌套函数的5大核心题型
抽象函数与嵌套函数是高中函数模块的核心难点，是高考中解决函数性质、解析式、最值范围问题的高频工具，在函数单调性、奇偶性、周期性等模块应用广泛。
这类问题以“无具体解析式研究性质/解析式”为核心逻辑，在给定抽象约束（如函数方程、多层嵌套关系）下，求解解析式、判断函数性质或证明不等式。它重点考查学生赋值法、变量替换、配凑变形、嵌套递推、性质综合的应用能力，是检验函数思维与逻辑推理的关键载体。
核心考点：
抽象函数：赋值法 + 性质推导，关注定义域与特殊值。
嵌套函数：逐层拆解 + 换元法，注意内层值域与外层定义域匹配。
题型01 赋值法研究抽象函数
1.（2025·广东深圳·三模）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，
因为，所以，解得，故A正确；
对于B，令，则，得，
由A可知，所以，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，令，则，即.
假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾，
所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误；
对于D，由于且，则有，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
2.设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝________；f(2 025)＝________.
【答案】2　2 026
【解析】令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.
令y＝1，则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2
＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①
又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，
令y＝1代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，
即f(x＋1)＝f(x)＋1.②
联立①②得f(x)＝x＋1，
所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
题型02 数形结合法研究抽象函数
3．（2026阜阳一模）定义在上的奇函数，满足且在上为单调递减的一次函数，，则错误的是（ ）
A．函数图象关于直线对称
B．函数的周期为
C．
D．设，和的图象所有交点横坐标之和为
【答案】B
【解析】，
，
则函数关于对称，故A正确，
是奇函数，
，
即，即，
即函数的周期为，故错误，
，
故正确，
在上单调递减，，
在上单调递减，，
则图象关于对称，
的图象也关于对称，
作出两个函数的图象，则两个函数共有个交点，
则交点关于对称，则，
即，即交点横坐标之和为，故正确，
故选：．
4.已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在单调递减，设函数，则对任意，均有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，则为偶函数，图象关于轴对称，
又在上单调递减，则在上单调递增；
函数满足且在上单调递减，
则图象关于对称，在上单调递增，
由题意得，则有：
①当恒成立时，，图象关于对称，
此时，；
②当恒成立时，，的图象关于y轴对称，且在上单调递减，
因为当时，；当时，；
即A，B两项均错误；
又当，即时，，则，
当，即时，，
因此，若，则必有，故D错误；
③若，均能成立，则不妨作示意图如下：
因对应的点关于直线对称，且，由图知，故C正确.
故选：C.
题型03利用函数性质之间的关系推理论证
5.（2026绵阳高三第二次诊断）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】是定义在上的奇函数，有，
是定义在上的偶函数，有，
的值域为，故，
则有，得，所以，
与有相同的值域，
因此的最小值为，故选：C
6.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上为增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，，
又函数在上为增函数，，
即，.
故选：B.
题型04嵌套函数零点个数的判断
7．（2026·甘肃金昌·期中）已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】作出的图象，如图所示：

则的值域为，求的零点，即求，即，对应方程的根.
设，则，则等价于，
如图所示：
有3个交点，则有三个解，
当时，有，解得或，
当时，有，解得或（舍）
故的值分别为，，，则对应解如下图
对应5个交点，分别为点Q，M，K，E，T，
综上所述：的零点个数为个.
故选：D
8．（2026·山东济宁·期中）已知函数，则函数的零点个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由已知，
令，即，
当时，得或，
当时，明显函数在上单调递减，且，，
故存在，使，
画出的图象如下，
再画出直线，其中，

观察图象可得交点个数为个，
即函数的零点个数是.
故选：D.
题型05求嵌套函数零点中的参数
9．（2026·吉林长春·期中）设，若关于x的函数有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
则关于x的函数可变为，
设为关于m的函数的零点，
则关于x的函数有三个不同的零点等价于函数的图象与直线的交点个数之和为3个，
则需函数的图象与直线的位置关系如图所示，
又，
由图可知：，
由韦达定理可得：，
故选C．
10．（2026·山东菏泽·月考）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为有三个不同零点，所以有三个不同实根，
所以，的图象有三个交点，
在同一平面直角坐标系中作出，的图象，

当经过点时，代入坐标可得，解得；
当与的图象相切时，

设切点为，因为此时，所以，
所以切线方程为，即，
所以，可得；
结合图象可知，若，的图象有三个交点，则.
1．（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由于，，
则.
故选：A
2．（2026·四川·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，且为偶函数，是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域均为R，且为偶函数，得，
求导得，则，由是R上的减函数，
得当时，，因此函数在上单调递减，
所以.
3．（2026·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对，与均恒成立，则（ ）
A． B．0
C． D．1
【答案】B
【解析】由，，
令得，，
所以，故，即是周期为4的周期函数.
所以.
故选：B.
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为6 B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项A，的图像向左平移个单位得到，
又关于中心对称，
关于中心对称，，
将式子中的用代替，得到，
是定义在上的偶函数，，
，将此式子中的用代替，得到，
则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B，关于中心对称，的定义域为，，
是定义在上的偶函数，，故选项B正确；
选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D，是一个以为周期的周期函数，
，，
，，，
，
，，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误.
5．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期是2
C．关于点中心对称 D．是奇函数
【答案】A
【解析】由，得，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；
由于周期为2，所以，，
又，得，所以是偶函数，A正确；
由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误；
令，由是偶函数且，
得，又，
所以，所以为偶函数，D错误.
6．（2026·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题意知在上单调递增，
设，且为正常数。
则，则，，解得或（舍去），
则，，令，解得.
故选：C.
7．（2026·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由方程变形为，
所以或，
当时，，所以当时，；当时，.
所以函数在上有极大值也是最大值，此时.
画出图像如下：

由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点.
所以，解得.
故选：B
8．（2026·贵州贵阳一模）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称，
又是奇函数，则，关于对称，
且当时，，可以画出的图形，
则的零点个数转化为与的交点个数，
如图，当时，，
故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10.
故选：D
9．（2026·辽宁·一模）（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】BC
【解析】因为为定义在上的单调函数，所以存在唯一的，使得，
则，
即，
因为函数为增函数，且10，所以.
当时，由，得；当时，由，得.
结合函数的图象可知，若有3个零点，则.
故选：BC
10．（2026·安徽安庆·一模）已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．
B．是偶函数
C．的图象关于点中心对称
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，又，
所以，解得：，故A正确；
对于B，令，则，
即，
又函数的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，故B正确；
对于C，若的图象关于点中心对称，则，
由，不符合题意，故C错误；
对于D，令，则，
即，
所以，
，
，
，
所以
，故D正确.
11．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若在区间上是增函数，则在区间上是增函数
D．若，则在区间上的零点之和为0
【答案】BC
【解析】对于A，因为函数的图象关于点中心对称，
所以，即，
也即，
当时，成立，
当时，，
又函数是定义在上的偶函数，
所以，故A错误；
对于B，，
由，所以函数的周期为6，
所以，故B正确；
对于C，因为函数的图象关于点中心对称，且在区间上是增函数，
由中心对称的性质可得函数在上是增函数，故C正确；
对于D，令，则或，
此时在区间有一个零点，
因为函数是定义在上的偶函数，且周期为6，，
所以，
此时，
所以在区间共有个零点分别为，
此时，故D不正确.
12．（2026·广西·期末）定义在上的函数对任意实数均满足，且当时，，．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．在上单调递减，在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】AB
【解析】令，得，即，故A正确；
令，
则，
即是偶函数，故B正确；
当时，因为，所以，
因为，所以，
则在上单调递增，故C错误；
由题意知，且，
因此不等式可化为，
因为在上单调递增，
所以，解不等式得，故D错误．
故选：AB
13．（2026·河南周口·期末）函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的周期为6
C．
D．的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】由 得，代入得，A 错误；
令 得，
用换 得，
两式相加得，即，
用换得，即，
用换得，所以 周期为 6，B 正确；
令 得 ，即 ，
由于，所以，因此，故 C 正确；
已知，，对赋值得：
令得，
令得，
令 ，若关于 对称，则 ，
但 ，，不相等，故 D 错误.
故选：BC
14．（2026·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是______
【答案】
【解析】作出的图象，
令，则方程，即为，
有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
15．已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】如图，作出函数的图象，易知，
当时，此时有4个不同的实数根，
当或时，此时有3个不同的实数根，
当时，此时有2个不同的实数根，
当时，此时有1个不同的实数根，
当时，此时没有实数根，
因此只有在时直线与的图象有4个交点，
要满足关于的函数有8个不同的零点，
令，则方程在上有两个不等实根，
则有解得．
16．已知函数，则函数有__________个零点．
【答案】7
【解析】令，则，设，则方程化为，
函数的零点个数即为方程解的个数，
二次函数的图象开口向上，过点，对称轴为，最小值为，
作出函数的图象，如图，
由图知有3个根，当时，，解得；
当时，，解得，
在方程中，当时，有1个解，有2个解，共3个解；
当时，有1个解，有2个解，共3个解；
当时，有1个解，无解，共1个解，
所以函数有7个零点.
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