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压轴02 利用导数研究不等式的4大核心题型
1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.
2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.
题型01单变量函数不等式的证明
1.（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．（2026·菏泽一模）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
题型02 双变量函数不等式的证明
3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．
4．（2026·安徽六安一模）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当 时，若实数满足，求证：.
题型03利用导数研究恒成立问题
5.（2024全国甲（理）卷T21）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
6.（2026·山东青岛·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
7．（2026·湖南永州·一模）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若，且当时，恒成立，求的取值范围．
题型04利用导数研究能成立问题
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
(1)设，讨论的单调性；
(2)设，若有解，求的取值范围．
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数（）.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
2．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
3．（2025·广东肇庆二模）已知函数．
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，证明：．
4．（2025·福建龙岩三模）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，；
(3)若有两个零点，且，证明：.
7.（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值点；
(2)已知有两个极值点，证明：．
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
10．（2026·河北保定·一模）已知函数
(1)当 时，求的极值.
(2)已知.
（i）证明: ；
（ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围.
11．（2026·河北张家口·一模）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
12．（25-26高三上·广西·期末）已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
13．记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.
(1)证明：函数与不存在“点”：
(2)若函数与存在“点”，求实数的值：
(3)已知，若存在实数，使函数与在区间内存在“
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴02 利用导数研究不等式的4大核心题型
1.导数与不等式证明是高考考查的重点内容，在解答题中一般会考查函数的单调性、极值和最值的综合运用，试题难度中等或偏上，若以压轴题出现，则难度较大.
2.恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的热门题型，可以出现在选择、填空或解答题中，也经常以压轴解答题形式出现，难度较大.
题型01单变量函数不等式的证明
1.（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）作差构造法
第1步：作差或变形；
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
第2步：构造新函数g（x）；
令，则，
第3步：利用导数研究g（x）的单调性或最值；
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
第4步：根据单调性及最值，得到所证不等式.
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
适当放缩法：第一步：整体审题，找到简单的不等关系．
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
第二步：利用ex≥1＋x合理放缩．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
第三步：化简不等式，得出结论．
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
2．（2026·菏泽一模）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
【解】（1）因为，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
因为，，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
由题意可得，解得．
（2）证明：方法一 当时，，，则．
要证，即证，．
令，，则．
令，，则，
所以当时，，所以在上单调递增．
因为，，
所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．
由，得，所以．
两边取对数，得，所以，
所以，即．
因为，所以，即．
方法二 要证，即证，即证．
令，，，．
易得，则令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
易得．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，故．
题型02 双变量函数不等式的证明
3．（2026·四川攀枝花·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．
【解】（1）当时，，则．
而，所以．
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为，且
所以，所以．
因为，，
所以．
所以．
因为，所以，
所以．
设．
则．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以当时，．
所以，
所以，即．
4．（2026·安徽六安一模）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当 时，若实数满足，求证：.
【解】（1）
由 在上单调递增，
故当时，恒成立
即
设，，
∵，∴
∴，即在上单调递增，
故
∴；
（2）当时，，
∴在上单调递增，
又∵且，
故
要证，只需证
即证，只需证
即证
令，
令
∴在上单调递增
∴，故在上单调递减，
∴，故原不等式成立.
题型03利用导数研究恒成立问题
5.（2024全国甲（理）卷T21）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
【解题指导】（1）代入→求导→的单调性→的极值
（2）求导→构造新函数→求导，分类讨论→确定新函数的单调性→新函数的最值→的取值范围
【解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
第1步构造新函数并求导
设，
则，
第2步分类讨论，比较与0的大小关系
当时，，故在上为增函数，
【疑难解惑】因为分界点未知，结合联想到利用必要性探路得出a的分界点再进行分类讨论故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
第3步得出结论
综上，.
6.（2026·山东青岛·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解】（1）由题知：
若，，在上单调递增
若，令解得：
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，
当，的递增区间是，没有单调递减区间，
若，的递增区间是，递减区间是；
（2）依题意，时，恒成立，即在上恒成立，
令 ，则 = ，
令，由（1）知函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则有，即，
即当时，则，当时，则，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取最小值，于是得，
所以的取值范围为.
7．（2026·湖南永州·一模）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若，且当时，恒成立，求的取值范围．
【解】（1）由题意得，
①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减；
②当时，令，，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，
若恒成立，则有，
①若，即时，则在上单调递减，则，
由得，此时前后矛盾，故舍；
②若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
则，
由得，解得，
综上所述，的取值范围是.
题型04利用导数研究能成立问题
8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
(1)设，讨论的单调性；
(2)设，若有解，求的取值范围．
【解】（1）．
所以，
所以在定义域单调递增；
（2）因为，
所以函数为偶函数，
由对称性可将问题转化为存在，
使有解；而；；
令，则，
令，则
因为，所以，故在上为增函数；
当时，，所以在上为增函数；
故，所以在上为增函数，
故，不符合题意；
当时，，且，
又 在上为增函数，故，使，当时，，
函数在上单调递减，当时，，
所以函数在上单调递减，当时，，符合题意，
综上所述的取值范围是．
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
【解】（1）因为函数，
所以，显然，
因为函数的极小值为，
所以，解得，
此时当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故极小值为，满足要求，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由（1）知：当时，，
所以在上递增，
因为存在，使得成立，即，
所以存在，使得成立，
所以存在，使得成立，即成立，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
又，所以，则实数b的取值范围是.
10．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，，所以，
令，令，
因为函数，在上单调递减，
所以在上单调递减，又，
所以方程得解为，
，的变化情况如下表所示．
x e
+ + 0
单调递增 单调递减
所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，有极大值，也是的最大值.
又因为，，
所以，所以为的最小值.
（2）因为，所以不等式可化为，
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减.
因为的最大值，，
所以，时，最大，所以不等式，
即存在唯一的整数解只能为1，
所以，所以
所以a的取值范围为.
1．（2025·湖北武汉·模拟）已知函数（）.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
【解】（1）当时，，则且，
由，得或；，得；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题知，令，则，
因当时，恒成立，且，
则必有，即，
另一方面，时，，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，满足题设，
综上，a的取值范围为.
2．（2025·山东聊城·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．
【解】（1）因为函数的定义域为，
当时，恒成立，
当时，，所以此时不恒成立，
当时，求导得，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
即不等式恒成立，等价于，
综上，的取值范围为.
（2）（i）当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
所以，
（ii）由，则要证明，只需要证明，
构造，则，
所以在上单调递增，
即，所以有，
即成立．
3．（2025·广东肇庆二模）已知函数．
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，证明：．
【解】（1）时，，
令可得，解得，所以的零点为e．
（2）因为，
所以．
若，则令，解得，，
①若，即时，
当时，，当时，，
故在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
②若，即时，，故在上单调递减．
③若，即时，
当时，，当时，，
故在区间上单调递增，在，上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时， 在上单调递减；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（3）要证，
因为，则只证，故只需证明，
设，则，
所以当时，，故在区间上单调递增，
所以，原式得证．
4．（2025·福建龙岩三模）已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【解】（1）由，，
得.
令，解得.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
当时，恒成立，在上单调递增.
当时，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以，
当时，取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当时，在]上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值.
设，
则，单调递增，
所以成立，所以无解.
综上所述，的取值范围为.
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
【解】（1）由题意可知，函数，的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；，；
综上，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
所以，
要证，需证．
即需证恒成立，
令，
则
所以函数在区间单调递增，
故，
所以，恒成立，
所以当时，．
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)证明：当时，；
(3)若有两个零点，且，证明：.
【解】（1）定义域为.
由可得或，由可得或.
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2）证明：当时，有，
原不等式等价于，即要证明.
设，则，此时在单调递增，
于是，不等式成立.
（3）证明：构造函数.
因为，所以，于是，
所以于是，所以在单调递减.
因为，所以，所以，
即.
因为是的零点，所以，
即，所以.
由（1）可知在单调递增，所以，于是.
7.（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值点；
(2)已知有两个极值点，证明：．
【解】（1）当时，，则，
令，则，
则得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，故的单调递增区间为，无减区间，无极值点.
（2）因有两个极值点，则为的两根，
即，即，
即，
令，则，，
则，
欲证，只需证，
令，则，
故在上单调递增，则，则成立，
故得证.
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对于任意，总存在，使得，求的取值范围.
【解】（1）函数的定义域为,
则，
令，可得或，令，可得或，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为和
（2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由已知：在上有解，
在上有解，在上有解，
，；
令，则，
在上单调递增，，
令，，则在上单调递增，
则，故.
的取值范围为.
9．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
【解】（1）由题，.
当，则，则此时在上单调递减；
当，则.
若，即时，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增；
若，即时，此时在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）时，由（1）可得；
又，则，得在上单调递增，
则.
又注意到存在，，使得，
等价于时，，
则，又，
则.
10．（2026·河北保定·一模）已知函数
(1)当 时，求的极值.
(2)已知.
（i）证明: ；
（ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围.
【解】（1）时，，，
令，得，解得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值.
（2）时，.
（i）要证，，即证，
令，则，
令，则，即化为，
因为，所以，所以，即，在单调递增，
又，所以，即.
（ii）由得，
当时，显然成立；
当时，不等式可化为，令，则
则，
令，
当时，，由得，又，
所以，所以，在单调递增，所以对，；
下面证明当时，，即，也即证：
令，则，
因为，所以，所以，所以，
所以在单调递增，所以，即，
所以.
综上，时，，所以，即实数的取值范围为.
11．（2026·河北张家口·一模）已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)若，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【解】（1）由得，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设，，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，即，
所以当且仅当时等号成立，
设，定义域为，
则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，
所以当且仅当时等号成立，
所以；
（3）因为，整理可得，
故，设函数，则，
因为，所以函数单调递增，所以，
整理可得，设函数，则，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围.
12．（25-26高三上·广西·期末）已知函数，．
(1)求在内的单调性；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由．
【解】（1）．
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
所以，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题可知存在，使得成立，
∵时，，故存在，使得．
令，其中，
，
且不恒为零，故函数在上单调递减，
则，故．
（3）．
证明：由可得，
令，则．
因为，则，
所以，所以函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在唯一的，使得，
所以，，，
同理可得，
且，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为函数在上单调递减，
故，即,
取，则,
13．（2023·上海宝山·三模）记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”.
(1)证明：函数与不存在“点”：
(2)若函数与存在“点”，求实数的值：
(3)已知，若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围.
【解】（1）因为，，则，
假设函数与存在“点”，
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“点”.
（2）函数与，则与，
设“点”为，则满足，解得，所以.
（3）由已知条件可知， ，
由题意可知，在区间内存在“点”设为，
则，解得，
因为，由且，解得，
令，
因为在恒成立，所以，
则在上单调递增，
则，所以，
又当时，，所以，
故的取值范围是.
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