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压轴03 利用导数研究函数零点的2大核心题型
利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其它问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
题型01 证明或求解零点个数
1.（2025·浙江温州·一模）已知（）.
(1)求导函数的最值；
(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
2．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在上的零点个数.
3．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且，讨论函数的零点个数.
题型02 已知零点个数求参数范围
4.（2025·四川绵阳模拟）已知函数.
(1)当时，求证：最大值小于；
(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.
5．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
6．已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．
2．（2026·四川广安·月考）给定函数
(1)判断函数的单调性，并求的极值.
(2)若有两个解，求的取值范围.
3．（2025·山东泰安·模拟）已知函数在处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
4．（2025·安徽阜阳二模）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
7．（2026·安徽宿州·一模）已知函数.
(1)证明函数存在唯一零点；
(2)的零点为，证明.
8．（2026·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)试判断曲线与直线在上公共点的个数；
9．（2026·山东临沂·一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.
10．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
11．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)若函数的极小值点为，求的值；
(2)若在时恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
12.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
14．（2026·河南三门峡·期末）已知函数．
(1)求极值；
(2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；
(3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴03 利用导数研究函数零点的2大核心题型
利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零点存在情况求参数及由函数零点性质研究其它问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
题型01 证明或求解零点个数
1.（2025·浙江温州·一模）已知（）.
(1)求导函数的最值；
(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
【解题指导】（1）函数求导→令→再求导→利用导数确定单调性得最值；
（2）方程变形为→令→对求导→确定单调性→依据函数值域确定根的个数．
【详解】（1）
∵，记
∴，解得：
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值等于.
（2）【分离参数法】由，即，即.
令，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【分类讨论法】由，即，即.
令，，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
【构造函数法】由，即，两边取对数得：，即.
令，所以由，解得
当时，，单调递增，当时，，单调递减
所以
当，即时，方程无解；
当，即时，方程有1个解；
当，即时，方程有2个解.
2．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求函数在上的零点个数.
【解】（1），其定义域为，
①当时，因为，所以在上单调递增，
②当时，令得，令得
所以在上单调递减，上单调递增，
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在单调递减，单调递增，
（2）已知得，
则
①当时，因为
所以在单调递减，
所以，
所以在上无零点；
②当时，因为单调递增，且，，
所以存在，使
当时，，
当时，
所以在递减递增，且，所以，
又因为
所以
所以在上存在一个零点，
所以在上有两个零点；
③当时，，
所以在单调递增
因为，所以在上无零点；
综上所述，在上的零点个数为个.
3．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且，讨论函数的零点个数.
【解】（1）解：当时，，所以，
故，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：依题意，则，
当时，，所以在上单调递增；
当时，设，
此时，所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，且在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，在上单调递减，在上单调递增.
又，所以当，即时，有唯一零点在区间上，当，即时，在上无零点；
故当时，在上有1个零点；
当时，在上无零点.
题型02 已知零点个数求参数范围
4.（2025·四川绵阳模拟）已知函数.
(1)当时，求证：最大值小于；
(2)若有两个零点，求实数k的取值范围.
【思维探究】
看到什么 想到什么
指数不等式和对数不等式
同构变形
有两个零点 直线与函数有两个交点
【详解】（1）当时，，
先证明：，令，其中，
则，当时， ，
所以 在上单调递增，
即，
则不等式在上恒成立，
再证明：，令，其中，
则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递增，在上递减，
即，
则不等式在上恒成立，
所以有，证毕；
（2）第二步：指对同构
由得：，
第二步：构造函数，求导分析函数的单调性
构造函数，由，因为，所以，
即函数在上单调递增，
由，根据单调性可得：
第三步：二次构造函数，新函数求导分析单调性
再构造，则，
则当时， ，当时， ，
所以在上递减，在上递增，即
当时，由，可知，
当，由对数函数没有一次函数增长得快，可知，
第四步：结合图象求解.
而函数有两个零点等价于直线与函数有两个交点，
根据数形结合可得：.
5．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
【解】（1）由题意，，
当或时，时，
∴在和上单调递增，在上单调递减．
（2），显然时，没有两个零点，
由可得，则问题转化为的图象与直线的两个交点，直线过定点，斜率为，
，当或时，，时，，
∴在上递减，在上递增，在上递减，为极小值，为极大值，且时，，
作出的图象，作出直线，如图，
设是图象上任一点，定点，则，
记，则，
时，恒成立，即是减函数，∴直线与函数的图象在上没有两个交点．即不合题意，
要使得的图象与直线的两个交点，则，∴．
6．已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
【解】（1）当时，函数，
则，令得或
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于的实根，
令，则，
①当时，，故在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，；
所以若要满足题意，只需且，
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，讨论函数在上的单调性和零点个数．
【解】（1）当时，，
则，则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）当时，，则，
当时，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为1．
2．（2026·四川广安·月考）给定函数
(1)判断函数的单调性，并求的极值.
(2)若有两个解，求的取值范围.
【解】（1）因为，
所以.
由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增.
在处，函数取得极小值，.
无极大值.
（2）当时，；
当时，；
当时，.
作函数草图如下：
所以有两个解，可得.
即所求的取值范围为：
3．（2025·山东泰安·模拟）已知函数在处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【解】（1）因为
，
由已知，即，或，
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极小值，符合题意.
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极大值，不符合题意，故舍去.
；
（2）由已知有三个不同零点，
即的图像与直线有三个不同的交点，
由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
故当时，有极大值，即，
当时，有极小值，即 ，
所以 ，.
4．（2025·安徽阜阳二模）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
【解】（1）依题意，，
因为曲线在处的切线斜率为0，
所以，即．
所以，
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得，所以
故，设，
则，设，则，
当时，，所以单调递减，
因为，所以当时，从而函数即单调递减，
又，
从而存在唯一，使得，
且当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
而，
故存在唯一，使得．
因为是奇函数，且，
所以函数有3个零点．
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【解】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，求在上的最小值；
(3)当时，讨论的零点个数.
【解】（1）当时，，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，，
令，则，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以在上单调递减，所以当时，.
（3）令，得，即，
所以.
令，则，即①，
当时，由，得在上恒成立，
所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数.
令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
，当时，，且当时，.
因为，所以.
当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2；
当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为
，即时，方程①无解，的零点个数为0.
综上，当时，的零点个数为2；
当或时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为0.
7．（2026·安徽宿州·一模）已知函数.
(1)证明函数存在唯一零点；
(2)的零点为，证明.
【解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为）
故函数在没有零点；
当时，，易见在上是减函数，
且，故存在，使得在上递增，在上递减，
且，
所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点，
故在上存在唯一零点.
（2）注意到，由（1）知存在唯一使得，
即有，故.
令，
令，显然当时，.故在上单调递减，
所以.
8．（2026·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)试判断曲线与直线在上公共点的个数；
【解】（1）由题意，，
因为，则由可得，
即当，时， 单调递增；
由可得，
即当，时， 单调递减，
综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，.
（2）令，则，
设，则，
所以当时，，则（即）在上单调递增；
当时，，（即）在上单调递减，
因为，，，
所以存在唯一的，使得，
故当时，，则在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
又，，
所以存在唯一的，使得，
综上可得函数在上存在两个零点0和，
所以曲线与直线在上公共点的个数为2.
9．（2026·山东临沂·一模）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围.
【解】（1）已知，其定义域为.求导 .
当时，因为，所以，即.所以在上单调递增.
当时，令，即，因为，所以，解得.
当 时，，则，所以在上单调递增；
当 时，，则，所以在上单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，
不符合题意.所以，此时在上单调递增，在上单调递减.
要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于,
所以根据零点存在定理，
则需满足，
，解得.
，化简得，解得.
又因可得.
综上，的取值范围是.
10．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【解】（1）因为，故，
令，得，，
曲线在点处的切线方程为，
因为切线与轴相交于点，
将代入切线方程得，
即，.
即，，
，令，得或，
当或时，，故在，上单调递增；
当时，，故在上单调递减.
所以函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是；
（2）由（1）知函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，
故函数在处取得极大值，在处取得极小值，
因为函数有三个零点，即方程有三个实数根，
且当时，，当时，，
故，所以，
即实数的取值范围是.
11．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，其中为常数.
(1)若函数的极小值点为，求的值；
(2)若在时恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【解】（1）因，则，
易知当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值点为，得；
（2）在时恒成立，等价于在时恒成立，
令，则，
因，则在上单调递减，
则，，
则实数的取值范围是；
（3）当时，，则，
令，则，
令，则，
因，则，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
故，
易知，当时，，时，，
当时，，当且时，，
作出的大致图象（如图）：
因在上恰有两个不同的零点，
即在上有两个不同的交点，故，
故实数的取值范围为.
12.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若函数有三个零点，求的取值范围.
【解】（1）当时，，
在点处的切线方程为：
（2）定义域为，
（i）当时，，令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
（ii）当时，则由得或，
当时，，所以在单调递增；
当时，，令得
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，令得
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时在上单调递增，在上单调递减；
当时在和上单调递增，在上单调递减；
当时在单调递增；
当时在和上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知且，
，
记，则且，
当时，；当时
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有，所以，等号成立当且仅当
故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去
当且时，，
要使得有三个零点，则，解得
所以的取值范围是
13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
【解】（1）由题可知：函数的定义域为
，由，令，所以或，
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减.
当时，在恒成立，所以函数在单调递减；
当时，令，；令，或，
所以函数在单调递增，在单调递减
（2）由（1）可知：当时，函数在单调递增，在单调递减，
当时，；当时，，又，
若，所以，使得，，则函数有3个零点；
若，，，则函数有2个零点；
若，则，则函数有1个零点；
若，则，则函数有2个零点；
若，则，所以，使得则函数有3个零点；
综上所述：当，函数有3个零点；
当或，函数有2个零点；
当，函数有1个零点.
14．（2026·河南三门峡·期末）已知函数．
(1)求极值；
(2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；
(3)若函数有且只有两个零点，求的取值范围．
【解】（1），令，
则当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故有极小值，无极大值；
（2），则，又，
则曲线在点处的切线为，
设该切线在曲线上的切点为，
，则且，
由可得，则，故，则；
（3），令，则，
因为有且只有两个零点，
所以直线与的图象有且只有两个公共点，
设函数，则．当时，，单调递减，
当0时，，单调递增，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
因为在上单调递增，，，
所以存在，使得．
，
当且仅当时，等号成立，
，记，
易知当时，都是增函数，所以单调递增，
因为，所以，
则，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，所以，
故的取值范围为．
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