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压轴04函数中构造问题的6大核心题型
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
题型01 利用f(x)与x构造
1.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A.（－1，0）∪（0，1）　　B.（－1，0）
C.（0，1） D.（－1，1）
2.已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用f(x)与ex构造
3.已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4.已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造
5.（2025·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
6.（2025·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型04 根据数值特征构造函数
7.（2022·全国甲卷T12）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8.（2021·全国乙卷T12）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
题型05 通过变量构造具体函数
9.若，则　　
A． B． C． D．
10.（2025江苏宿迁二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型06 指对同构
11.（2025江苏扬州中学模拟）若，则（ ）
A． B．
C． D．
12.（2025湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.（2025·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．
1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025·济南二模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4.（2025·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2026·四川德阳·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）．
A． B．
C． D．
10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11.（2025·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 .
12.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围
13．（2026·湖北黄冈期末）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____

14．（2025·全国·模拟预测）若，则的最大值为________．
15．（2025·山东泰安一模）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数a的取值范围.
16．（2025·江西赣州二模）已知函数.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴04函数中构造问题的6大核心题型
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，通过已知等式或不等式的结构特性构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立问题.
题型01 利用f(x)与x构造
1.已知偶函数f（x）（x≠0）的导函数为f'（x），且满足f（－1）＝0，当x＞0时，2f（x）＞xf'（x），则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A.（－1，0）∪（0，1）　　B.（－1，0）
C.（0，1） D.（－1，1）
【答案】A
【解析】构造F（x）＝，则F'（x）＝，
当x＞0时，xf'（x）－2f（x）＜0，可以推出当x＞0时，F'（x）＜0，F（x）在（0，＋∞）上单调递减.
∵f（x）为偶函数，y＝x2为偶函数，∴F（x）为偶函数，∴F（x）在（－∞，0）上单调递增.
根据f（－1）＝0可得F（－1）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图象如图所示，
根据图象可知f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1）.
2.已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则 ，
对任意，，恒成立，即在上单调递减，
由可得，，解得，即解集为，故选A
题型02 利用f(x)与ex构造
3.已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为，故选A.
4.已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】构造，则，
因为导函数满足对于恒成立，
所以，即函数在上单调递减，
即
，故选:AC.
题型03 利用f(x)与sin x，cos x构造
5.（2025·云南大理·模拟）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由，设，
，所以函数在上单调递减，
即，得，所以，所以不等式的解集为
6.（2025·福建龙岩二模）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以设，
则，
所以在上为增函数，
又因为，，，
，所以，即，故选C
题型04 根据数值特征构造函数
7.（2022·全国甲卷T12）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（构造函数）由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .故选：A.
法二（常规法）由可得，而，
所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
8.（2021·全国乙卷T12）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
题型05 通过变量构造具体函数
9.若，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，可得，
令，则在上单调递增，且，
所以，即，由于，
故．
10.（2025江苏宿迁二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
，， 对b,c取对数，加负号，转化为结构相同
函数求导，分析单调性，比较大小
【解析】第一步：观察式子，化为含有相同数的式子．
，，，所以，．
，．
第二步：构造函数，判断单调性．
令，其中，则．
当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
第三步：利用单调性比大小．
因为在上单调递减，且，所以，所以，即，．
第四步：得出结论．
又函数在上单调递增，所以．故．故选D．
题型06 指对同构
11.（2025江苏扬州中学模拟）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】第一步：观察式子，化为相同结构．
对已知不等式变形可得：．
【技巧】观察不等式，发现要想将左、右两边化为相同的形式，需要将右边变形，根据对数的运算性质，可得
第二步：构造函数，判断单调性．
令，．
易知函数与在上均为增函数，
所以函数在上为增函数．
第三步：利用函数的单调性比大小．
即，根据函数在上为增函数，可得，则．
【提醒】根据对数的真数部分大于0，可知a与2b均大于0，处在同一单调递增区间内
第四步：得出结论．
因为，所以，则，A错，B对．
无法确定与1的大小，故无法确定与0的大小，CD都错．故选B．
12.（2025湖南长沙模拟）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思维探究】
看到什么 想到什么
想到指对同构
将恒成立问题转化为最值问题
函数求导，利用单调性求最值
【解析】因为，不等式成立，
即成立，即，
进而转化为恒成立，
【卡壳点】巧用同构
构造函数，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，
进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数m的取值范围是.
13.（2025·广东珠海二模）高不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．
【解析】由，
【卡壳点】巧用同构
当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，
当x＋lnx＋1＞0时，，
由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，
所以，故．
【提醒】忽视a自身的范围要求
1.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即为奇函数，
当，有，所以在上单调递减，
由奇函数的性质，在上单调递减，且，
由，则，即，
综上，上，上，
所以不等式的解集是，故选A
2.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可令，
所以在上单调递增，则原不等式等价于，
由，解之得．
故选：B．
3.（2025·济南二模）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
构造函数，，则，
当时，；当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
由于，，且，
则，即，
又，∴.故选A.
4.（2025·山东潍坊·三模）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以在上单调递减，
因为，
所以不等式可变为，即，
所以，即，
所以不等式的解集为，故选：D.
5.已知，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
.
令，则易知在上单调递增，，
令，问题转化为求 在的最小值.
因为，当时，（当且仅当时取“”）.
所以在上单调递增，.
所以的最大值为，故选A
6．（2026·四川德阳·二模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，可知，，，
∵，
，
，
，
∴，
令，则，
∵，
令，
∵，
∴，
即对于任意的，恒有，
∴在上单调递增，
∴.
7．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则.
因为，所以，即，所以在上单调递减.
不等式等价于不等式，即.
因为，所以，所以.
因为在上单调递减，所以，解得.
8．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则．
令，易知在上单调递减，
且，
所以在上恒成立，
则在上单调递减，
则，
即，所以，
所以，即．
故选：D.
9．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
因为，函数在上单调递减，所以，
即，又因为，故，即，
所以A错误；
因为，函数在上单调递增，所以，
即，则，故B正确；
因为，函数在上单调递减，所以，即，
而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到，
所以C正确；
因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确．
故选：BCD．
10．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，构造函数，，所以在R上单调递增，又，所以，即，故A错误；
对于B，，，
即，故B正确；
对于C，令，，所以在单调递减，，故C正确；
对于D，当，时，，故D错误；
故选：BC.
11.（2025·四川德阳·三模）已知，，，则把、、从小到大排列的顺序是 .
【答案】
【解析】设，则，时，，单调递减，
所以，即，，
设，则，时，，单调递减，
因此，即，，
综上，，
12.（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数，
故当时，，所以，函数在上为减函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得或
实数a的取值范围是
13．（2026·湖北黄冈期末）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____

【答案】
【解析】由图象得在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，，当时，，
若，则当时，或当时，，
当，时，解得，
当，时，解得，
综上可得不等式的解集为.
14．（2025·全国·模拟预测）若，则的最大值为________．
【答案】
【解析】由可得，
故，
令，由于，故，则，
记，
当时，单调递减，当时，单调递增，
故取最大值，当且仅当时，
因此的最大值为，
15．（2025·山东泰安一模）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数a的取值范围.
【解】（1）.
当时，，
所以在单调递增.
当时，令，可得；
令，可得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为当时，，所以，
即，
即，
即.
令，则有对恒成立.
因为，所以在单调递增，
故只需，
即对恒成立.
令，
则，
令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
因此，所以.
16．（2025·江西赣州二模）已知函数.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，.
【解】（1）由题意知，.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，，即恒成立．
令（），则，时，，时，，
g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以，即.
故实数a的取值范围是；.
（2）证明：若a＝e，要证，
只需证，即.
令（x>0），则，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则，
所以.
再令（），则，时，，时，，
易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则，所以.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以，故原不等式成立．
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