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压轴07 解三角形综合问题的7大核心题型
应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
题型01 正、余弦定理
1.（2024全国Ⅰ卷T16）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
题型02 最值范围问题
2.（2024全国Ⅰ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
题型03多边形问题
3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
题型04角平分线问题
4.（2023全国甲卷T16）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
题型05 中线问题
5.（2025·湖南浏阳三模）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
题型06 高线问题
6 (2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
题型07解三角形中的证明问题
7.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，，且．
(1)证明：；
(2)当时，求．
2．（2025·江苏镇江·模拟）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求的面积.
3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．
(1)求A；
(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．
6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若边上的高为，且的周长为6，求.
7．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
8．（2025·湖北荆州·模拟）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长.
9．的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．
(1)求；
(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．
10．已知的内角所对的边分别为.
(1)若，求；
(2)证明：.
11．在中，内角，，所对的边长分别是，.
(1)求角；
(2)若，，，求AB边上的高.
12．如图，在平面四边形中，，．
(1)证明：；
(2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)压轴07 解三角形综合问题的7大核心题型
应用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算，既有选择、填空题，也有解答题，难度为中档或偏下.
题型01 正、余弦定理
1.（2024全国Ⅰ卷T16）记内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【思维探究】
看到什么 想到什么
对已知信息分析，已知三角形内两边及其夹角，对比余弦定理公式，求出的值
，求B 由的值可得C，由已知得，进而求B.
若的面积为 由(1)得B，C的值,通过正弦定理得到边长之间的关系
求c 由已知边角关系分析，要想求边c，可借助三角形的面积公式进行转化
【解】（1）由余弦定理有，对比已知，
【点拨】观察联想，如看到a2＋c2－b2应联想到a2＋c2－b2＝2accos B.
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
【点拨】注意到，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
题型02 最值范围问题
2.（2024全国Ⅰ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【思维探究】
看到什么 想到什么
根据所给条件中的角包含2B，联想利用二倍角公式进行计算整合
，求B 由所化式子，借助特殊角的三角函数值进行转换求解
的最小值 由求最值问题,联想到转化为函数问题求解，由三边平方的比值形式，联想正弦定理转化为三角函数
【解】（1）因为，
即，
而，所以；
（2）由（1）知，，
所以，而，
所以，即有，所以
【技巧】巧用三角形中的三角函数关系：sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；sin ＝cos
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
题型03多边形问题
3.（2023·新课标Ⅱ卷T17）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【思维探究】
看到什么 想到什么
为中点，且 对已知信息进行整合、关联,，以面积列方程
求 联想，要求只需求或
表达式给出了的数量关系，由表达式的次数特征联想余弦定理
求 根据已有结论，选择合适的包含的三角形进行求解
【解析】（1）在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
（2）第1步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形
在与中，由余弦定理得，
第2步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件
整理得，而，则，
第3步：结合面积公式进行化简.
又，解得，
而，于是，所以.
【另解】在中，因为为中点，
则，又，
于是，
即，解得，又，
解得，而，于是
所以.
题型04角平分线问题
4.（2023全国甲卷T16）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【解析】如图所示：记，
由余弦定理可得，，
因为，解得：，
【技巧】若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.切要注意验根
【常规解法】由正弦定理可得，，
解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
【角平分线法】 由角平分线可得
即：，
解得：．
题型05 中线问题
5.（2025·湖南浏阳三模）锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
(1)求角C的大小；
(2)若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【解题指导】（1）同角三角函数基本关系→正弦定理求解→求解
（2）余弦定理与正弦定理→→三角函数性质求解其取值范围
【解析】(1)因为，所以，
【技巧】化边为角，通过三角变换找出角之间的关系
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
(2)由余弦定理可得，
由正弦定理可得，所以，
，
【常规解法】又，
则
，
【中线定理】
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
题型06 高线问题
6 (2023·新高考Ⅰ卷T17)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高.
【思维探究】
看到什么 想到什么
A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B 角的关系及两角和差正弦公式
sin A 同角三角函数基本关系
AB＝5，AB边上的高 正、余弦定理求，等面积法求解
【解】　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝.
【巧转化】利用，求出C
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以
展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)，
得sin A＝3cos A，
又sin2A＋cos2A＝1，且sin A>0，
所以sin A＝.
(2)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝3.
由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C，
得52＝AC2＋(3)2－2AC·3cos，
整理得AC2－3AC＋20＝0，
解得AC＝或AC＝2.
由(1)得，tan A＝3>，所以又A＋B＝，所以B>，即C所以AB设AB边上的高为h，则·AB·h＝·AC·BCsin C，
【技巧】巧用等面积构建方程求解h
即5h＝2×3×，解得h＝6，
所以AB边上的高为6.
【另解】　(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
因为A＋B＝3C，
所以3C＝π－C，所以C＝.
因为2sin(A－C)＝sin B，
所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＝3cos Asin C，
易得cos Acos C≠0，
所以tan A＝3tan C＝3tan＝3，
又sin A>0，tan A＝，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝.
(2)由(1)知sin A＝，tan A＝3>0，所以A为锐角，
所以cos A＝，
所以
由正弦定理＝，
得AC＝＝＝2，
故AB边上的高为AC·sin A＝2×＝6.
题型07解三角形中的证明问题
7.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)若A＝2B，求C；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
【解】(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π，
可得A＝.
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A)，
因为B∈(0，π)，sin B≠0，
所以sin C＝sin(C－A)，
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，
即A＝2C－π，与A＝联立，
解得C＝.
(2)证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
由正弦定理可得，
accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*).
由余弦定理得，
accos B＝，abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，
代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.
法二：因为A＋B＋C＝π，
所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A，
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
1．（2025·云南昆明·一模）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为，，，，且．
(1)证明：；
(2)当时，求．
【解】（1）证明：由及正弦定理得，
．
因为，，
所以，即，
因为，所以，因为在区间上单调递减，
所以.
（2）由题意，当时，根据正弦定理得，
即，即，
因为，所以，
因为，所以.
2．（2025·江苏镇江·模拟）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求的面积.
【解】（1）解：因为，
由正弦定理，可得
因为，可得，所以，所以.
（2）解：由，
可得，即，
因为，可得，所以，即，
又，所以，解得，
又因为，可得
由正弦定理，可得，
所以.
3．（2025·湖南湘潭一模）在锐角中，内角的对边分别是，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【解】（1）因为，则，
则，
因为，所以；
（2）因为，所以，则，
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以，即的取值范围为.
4．（2025·河北秦皇岛二模）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【解】（1）在中，，，则
，
由正弦定理得，，
所以，
因为
，
所以；
（2）因为，，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，
在中，由正弦定理得，
则
，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即.
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知的内角的对边分别为的面积为．
(1)求A；
(2)若，且的周长为5，设为边中点，求．
【解】（1）依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
（2）依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若边上的高为，且的周长为6，求.
【解】（1），由正弦定理得
，
又，
∴，
即，
∵，∴，
，，
又，所以，
∴，；
（2），，
由（1）知，，
由余弦定理得，即，
即，
又，
，
.
7．（2025·北京大兴·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的角平分线交于点，且．
(1)求；
(2)若，且的面积为，角的角平分线为，求的长．
【解】（1）由已知，
又由正弦定理可得，
又，所以，
则，又，即，
又，，即，
则，所以，；
（2）由已知，所以，
因为为角的角分线，
故，
所以，
即，
解得.
8．（2025·湖北荆州·模拟）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长.
【解】（1）证明：因为，
所以，整理得，
由正弦定理可得；
（2）（ⅰ）因为，，所以，
由于，所以，即，则，即，
由余弦定理得；
（ⅱ）若，又，则，
又，因为，所以，
由于，则，
所以.
9．的内角的对边分别为，已知成等差数列，且．
(1)求；
(2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围．
【解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以．
设，则，则．
（2）由（1）得，
则外接圆的半径，
则，则，，
则的取值范围为．
10．已知的内角所对的边分别为.
(1)若，求；
(2)证明：.
【解】（1）因为，再由余弦定理得，
化简整理得.
（2）因为，再由正弦定理得，，
又因为在三角形中，所以，
，所以，
所以
11．在中，内角，，所对的边长分别是，.
(1)求角；
(2)若，，，求AB边上的高.
【解】（1）因为，
根据正弦定理得，.
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）根据余弦定理得，，
将，代入上式整理得，，
又因为且，解得，，
所以，所以为以AB为斜边的直角三角形，
所以斜边AB上的高为.
12．如图，在平面四边形中，，．
(1)证明：；
(2)已知，的外接圆半径为，求面积的取值范围．
【解】（1）在中，，
在中，，
因为，所以，且，
所以.
（2）在中，设
，.
所以或，，
所有由三角形内角和可得.
所以
设，，
设，则，
所以在上单调递增,
所以.
所以面积的取值范围为.
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