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压轴09 三角函数与解三角形中的创新与融合问题的3大核心题型
三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
题型01 三角函数、解三角形及平面向量的交汇
1.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
2.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
(1)设函数，试求的互生向量；
(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
题型02 三角与数列的交汇
3．（2026·浙江台州·二模）已知数列满足，.
(1)求（只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列的通项可以表示成的形式，求，.
4．（2026·江西南昌一模）数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.
题型03 三角函数、解三角形的新定义问题
5.（江苏省徐州市第三中学2025届高三上学期第三次质量检测）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围；
(3)若，，证明：．
6.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
1．点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（ ）
A．当时，存在使点为线段的黄金分割点
B．对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点
C．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
D．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与有关的值
4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．图象的对称中心为
C．的单调递减区间为
D．与的图象关于直线对称
5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
6．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ．
7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长.将圆心角所对的弦长记为.如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即.若为圆心角，，则 .

8．（2026·云南·模拟预测）已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为.
(1)求；
(2)若，求满足条件的值的和.
9．（2026·重庆·模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列.
(1)求；
(2)若，点在BC上，满足，求.
10．（2025·江西景德镇·期中）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上.
(1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
(2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
(3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
11．（2025·江苏连云港·期中）在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
(1)若，且，求的值；
(2)求证：；
(3)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
12.（2025江西省萍乡二模）已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．
(1)求；
(2)证明：对任意正整数，都有；
(3)若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
13.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.
(1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
(2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
(3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出.
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三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.
题型01 三角函数、解三角形及平面向量的交汇
1.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
【解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，故.
（2）因为，
整理得到，故函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为.
（3）由题意得，，
在中，，，因此，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，
所以当时，取得最大值．
2.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
(1)设函数，试求的互生向量；
(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
【解】（1）因为，
所以的互生向量.
（2）由题意可得，
所以，
令，解得，
因为，所以，
所以函数在上的严格增区间为.
（3）由题，则，
若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根，
则函数与在上的图象有四个交点，
因为，
所以，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k的取值范围为.
题型02 三角与数列的交汇
3．（2026·浙江台州·二模）已知数列满足，.
(1)求（只需写出数值，不需要证明）；
(2)若数列的通项可以表示成的形式，求，.
【解】（1），，，，，……，
故数列的周期为3，.
（2）法一：由，，得到，
则，解得：，.
法二：因为的周期为3，所以
又由，则，即，
则，即，因为，
解得.
4．（2026·江西南昌一模）数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.
【解】（1）由已知条件可知，由于，
故，
则，
故数列是以1为公差的等差数列，且首项为，
故，
即.
（2）
，
由，得.
题型03 三角函数、解三角形的新定义问题
5.（江苏省徐州市第三中学2025届高三上学期第三次质量检测）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式 ；②平方关系 ；③求导公式 写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围；
(3)若，，证明：．
【解】（1）平方关系：；倍角公式：；
导数：．
理由如下：平方关系:
；
倍角公式：；
导数：，；
以上三个结论，证对一个即可．
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数k的取值范围为；
（3）因为，
所以原式变为，
即证，
设函数，即证，，
设，，
时，在上单调递增，
即在上单调递增，
设，（），则，
由于在上单调递增，，
所以，即，故在上单调递增，
又，所以时，，
所以，即，
因此恒成立，所以原不等式成立，得证．
6.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
【解】（1）①若，
则
，
所以，
在中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
所以；
②由余弦定理可得，
则
，
当且仅当且时取等号，
有，所以，所以，所以，
即当且仅当且时取等号，
即当且仅当为等边三角形时取等号，
所以，当且仅当为等边三角形时取等号，
又由①知，
所以为等边三角形；
（2）由（1）得，
所以
，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，所以，
由正弦定理可得
1．点将一条线段分为两段和，若，则称点为线段的黄金分割点.已知直线与函数的图象相交，为相邻的三个交点，则（ ）
A．当时，存在使点为线段的黄金分割点
B．对于给定的常数，不存在使点为线段的黄金分割点
C．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
D．对于任意的，存在使点为线段的黄金分割点
【答案】D
【详解】若，则，
即点为线段的黄金分割点，
当时，，不存在使点为线段的黄金分割点，故选项A，C错误；
如下图，当时，，当时，，则，
则存在一个使得，故选项错；
对于选项D，若与相交于相邻的三点，
其横坐标分别为，则，
将变换成后，点分别对应到点，
且满足，
故，即对比值无影响，故选项D正确.

故选：D.
2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，
所以的值域为.
故选：C.
3．对集合和常数，把定义为集合相对于的“正弦方差"，则集合相对于的“正弦方差”为（ ）
A． B． C． D．与有关的值
【答案】C
【详解】由题知，集合相对于的“正弦方差”为
把，，
，代入上式整理得，.
故选：C.
4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的日晷及其投影长度s的公式：，即等价于现在的，我们称为余切函数，余切函数与正切函数关系密切.已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．图象的对称中心为
C．的单调递减区间为
D．与的图象关于直线对称
【答案】BCD
【详解】A选项，因为，
所以，
由有意义可得，，
所以，，
所以函数的定义域为，A错误；
B选项，因为，
令，，可得，，
所以图象的对称中心为，B正确；
C选项，令，，
可得，，
所以的单调递减区间为，C正确；
D选项，设函数的图象关于直线对称的图象经过点，
则点关于直线的对称点在函数的图象上，
所以，所以，
所以与的图象关于直线对称，D正确；
故选：BCD.
5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为
【答案】12
【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，,
，两式相加得：，，
又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20，
一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解；
经检验：的值为和；
所以正整数的所有可能取值之和为.
6．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由已知可得，
即，
因为，所以，
则，
因，当且仅当时等号成立，
此时，故.
7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的作为单位来度量弦长.将圆心角所对的弦长记为.如图，在圆中，的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，因此的圆心角所对的弦长为60个单位，即.若为圆心角，，则 .

【答案】
【详解】设圆的半径为，时圆心角所对应的弦长为，
利用余弦定理可知，即可得
又的圆心角所对的弦长恰好等于圆的半径，的圆心角所对的弦长为60个单位，
即与半径等长的弦长为60个单位，所以.
8．（2026·云南·模拟预测）已知函数，图象的一个对称中心为，一条对称轴方程为.
(1)求；
(2)若，求满足条件的值的和.
【解】（1）由题意知，消去解得，
令，则，因为，
则，解得，
而，故，所以.
（2）由（1）知，代入，得，
所以，因为，
故，解得，而，故，
则值是首项为，公差为6的等差数列的前16项，设这16项的和为，
则.
9．（2026·重庆·模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知成等差数列.
(1)求；
(2)若，点在BC上，满足，求.
【解】（1）因为成等差数列，
所以，
由正弦定理可得，
因为，所以且，
所以，故，
（2）因为，，
设，则，
因为，，
所以，
因为，所以，即，
所以，则，
因为，故，即.
10．（2025·江西景德镇·期中）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上.
(1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
(2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
(3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
【解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
（2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即
解得或（舍去），
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
11．（2025·江苏连云港·期中）在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且）
(1)若，且，求的值；
(2)求证：；
(3)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由.
【解】（1）由正弦定理可得，即，即，
又，即，
由余弦定理可得.
（2）因为，所以，
即.
则.
故 ，
即.
故.
（3）存在.下面给出证明.
因为，所以，.
展开整理可得，
即,
故.
因此，.
所以，存在函数.
12.（2025江西省萍乡二模）已知，为正整数，对于函数，若对任意的，都有，则称为次切比雪夫函数．例如：因为，所以为二次切比雪夫函数．
(1)求；
(2)证明：对任意正整数，都有；
(3)若函数有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．
【解】（1）因为
，
所以.
（2）因为，
两式相加得，
即.
（3）因为，
所以，
即，，
，当时，，
因为有一个绝对值不大于1的零点，则，解得，
令，即，则，
①当时，即时，，则在上单调递增，在上单调递增，
即时，，即恒成立，即在上无零点，
②当时，，，则在上单调递增，则在上单调递减，
即时，，即恒成立，即在上无零点；
综合①②可知，所有零点的绝对值都不大于1.
13.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解】（1）①导数：，，证明如下：
，
②二倍角公式：，证明如下：
；
③平方关系：，证明如下：
；
（2）令，，，
①当时，由，
又因为，所以，等号不成立，
所以，即为增函数，
此时，对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，则，可知是增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
所以当时，，则在上为减函数，
所以对任意，，不合题意；
综上知，实数的取值范围是；
（3）方法一、由，函数的值域为，
对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比双曲余弦函数的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由数学归纳法证明如下：①当时，成立；
②假设当为正整数）时，猜想成立，即，则
，符合上式，
综上知，；
若，
设，则，解得：或，
即，所以，即．
综上知，存在实数，使得成立．
方法二、构造数列，且，
因为，所以，
则，
因为在上单调递增，所以，即是以2为公比的等比数列，
所以，所以，所以，
又因为，解得或，
所以，
综上知，存在实数，使得成立．
14．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“余弦方差”.
(1)若集合，，求集合A相对的“余弦方差”；
(2)判断集合相对任何常数的“余弦方差”是否为一个与无关的定值，并说明理由；
(3)若集合，，，相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值，求出.
【解】（1）因为集合，，
所以；
（2）由“余弦方差”的定义得：
.
所以是与无关的定值.
（3）由“余弦方差”的定义得：
，
要使是一个与无关的定值，则，
因为，所以与的终边关于轴对称或关于原点对称，
又，所以与的终边只能关于轴对称，
所以，
因为，，所以，
当时，，当时，，
所以或时，
相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值
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