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2025-2026学年山东省济南市莱芜二中高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则z的虚部是（　　）
A. -2 B. 2 C. 2i D. -2i
2.已知向量不共线，且，则实数λ=（　　）
A. 3 B. -3 C. D.
3.如图，△A′B′C′是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A′B′=B′C′=4，且A′B′⊥B′C′，则△ABC的面积是（　　）
A.
B. 16
C.
D. 32
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则C=（　　）
A. B. C. D.
5.如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
6.如图，公路北侧有一幢楼，高为300米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走400米到点B处，测得仰角为30°，再行走400米到点C处，测得仰角为θ，则tanθ=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.在△ABC中，，D是AC的中点，若，则△ABC的面积是（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 2
8.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的体积之和为（　　）
A. 2π
B.
C. 3π
D. 16π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知z1，z2为复数，下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 是纯虚数或零
C. 若|z1+1|=|z2+1|，则z1=z2
D. 若z1，z2是方程x2-2x+5=0的两根，则
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则（　　）
A. 若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形
B. 若a＞b,则cosA＞cosB
C. 在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
D. 若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
11.已知圆锥SO的侧面积为3π，母线SA=l,底面圆的半径为r,点P满足=2，则（　　）
A. 当r=1时，圆锥SO的体积为
B. 当时，顶点S和两条母线构成的截面三角形的最大面积为
C. 当r=2时，从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为
D. 当时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为 .
13.在△ABC中，已知（sin2A+sin2C）（acosC-ccosA）=（sin2A-sin2C）（acosC+ccosA），则△ABC的形状为 .
14.已知函数，等边△ABC边长为2，若等边△ABC所在平面上存在点P满足方程，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知△ABC中，，∠ABC=45°，∠ACB=60°.
（1）求AC的长；
（2）若CD=10，求AD的长.
16.(本小题15分)
已知向量，.
（1）若与的夹角为，求实数m值及的模；
（2）若实数m=2，向量与所成的角是锐角，求实数λ的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是以角B为直角的等腰直角三角形，且腰长为2，D为BC的中点，三棱柱体积.
（1）求三棱柱的外接球的表面积和体积；
（2）求三棱锥B1-ADC1的体积.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,满足b+2bcosA=c.
（1）证明A=2B；
（2）若b=2，c=1，点D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD的值；
（3）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，，分别为Ox,Oy同向的单位向量，若向量，则把有序数对（x,y）叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标，记为.
（1）在斜坐标系中，，求；
（2）在斜坐标系α-xOy中，，，且与的夹角.
①求α；
②A，B分别在射线Ox,Oy上，|AB|=3，E，F为线段AB上两点，且，，求的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】AD
12.【答案】（-6，-8）
13.【答案】直角三角形或等腰三角形
14.【答案】
15.【答案】6 14
16.【答案】m=1， （-4，0）∪（0，+∞）
17.【答案】外接球表面积为16π，体积为
18.【答案】由b+2bcosA=c，得：sinB+2sinBcosA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB+2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），
而A，B为三角形内角，所以B=A-B或A-B=π-B，
所以A=2B或A=π（舍去）
所以A=2B
19.【答案】 ①；②
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