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2025-2026学年福建省福州市永泰二中等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.函数f（x）=3x+2在区间[1，3]上的平均变化率为（　　）
A. 3 B. -3 C. 2 D. -2
2.下列函数求导正确的是（　　）
A. （x3）'=3x3 B. （sinx）'=-cosx
C. D. （（2x+1）2）'=2（2x+1）
3.在曲线f（x）=ln（2x-1）+1上的点（1，1）处的切线方程为（　　）
A. x-2y+1=0 B. 2x-y-1=0 C. 2x+y-3=0 D. x+2y-3=0
4.某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（　　）种.
A. 144 B. 288 C. 480 D. 672
5.若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（　　）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
6.设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. （1，2] B. （4，＋∞） C. （-∞，2] D. （0，3]
7.子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（　　）
A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种
8.设函数若关于x的方程f（x）=t有四个实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列结论正确的是（　　）
A. x2+x3=9 B. 0＜t≤4
C. D. 的最小值为16
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是y=f（x）的导数y=f′（x）的图象，则下面判断错误的是（　　）
A. 在（-3，1）内f（x）是增函数
B. 在（3，4）内f（x）是减函数
C. 在x=1时f（x）取得极大值
D. 当x=4时f（x）取得极小值
10.若，则下列选项正确的有（　　）
A. a1=-4052
B. 展开式中所有项的二项式系数的和为22026
C. 奇数项的系数和为
D.
11.已知函数f（x）=x3+3x2+ax+b, b∈R，使得f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则下列说法正确的是（　　）
A. a的取值范围为（-∞，3）
B. x2x3-2＜0
C. 若f（2-x）+f（x-4）＞4，则b＞a
D. 函数f（x）在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设n为正整数，若，则n= .
13.代数式（x2+1）（x-1）5的展开式中x2的系数为 .
14.设a为实数，若函数有且仅有一个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128.
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式的第六项.
16.(本小题15分)
某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图1所示）.市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆.建立图2所示的平面直角坐标系，函数f（x）的图象由曲线段OA和直线段AB构成，已知曲线段OA可看成函数f（x）=kx2的一部分，直线段OB=6（百米），体育馆平面图形为直角梯形BCDE（如图2所示）.，BC∥DE.（参考数据：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在线段OB上是否存在点C，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点C到原点O的距离；若不存在，请说明理由.
17.(本小题15分)
中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数.
18.(本小题17分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为10，求a的值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=a2x2-3axlnx,a＞0.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的零点个数；
（3）当时，证明：f（x）＞2sinx.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】2或4
13.【答案】-11
14.【答案】
15.【答案】n=7 -280 -672 x4
16.【答案】解：（Ⅰ）因为A（2，4）在曲线f（x）=kx2上，
即f（2）=4k=4，
即k=1，
所以f（x）=x2，0≤x≤2，
又因为A（2，4），B（6，0），
所以线段AB方程为，
所以y=-x+6，2≤x≤6，
所以函数f（x）的解析式为；
（Ⅱ）设C点坐标（t,0），
则D（t,t2），
又t2=-x+6，
则x=6-t2，
则E点坐标为（6-t2，t2），
所以直角梯形BCDE的面积，
即，其中0＜t＜6，
所以S'（t）=-2t3-3t2+12t=-t（2t2+3t-12），
令S'（t）=0，
解得，
当时，S'（t）＞0，当时，S'（t）＜0，
所以S（r）在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数S（t）取得最大值．
故在线段OB上存在点C，使体育馆平面图形面积最大，且C到O的距离为（百米）．
17.【答案】480 360 540
18.【答案】当a≤0时，f（x）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
a=6e．
19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=x2-3xlnx,f（1）=1，
f′（x）=2x-3lnx-3，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=-1（x-1），即x+y-2=0，
曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0；
（2）因为a＞0，x＞0，令f（x）=a2x2-3axlnx=0得ax-3lnx=0，即，
令，所以f（x）的零点个数等价于y=g（x）与y=a的图象交点的个数，
又因为，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e,+∞）上单调递减，
且g（1）=0，有极大值也是最大值，
如图：
由图可知，当时，函数y=g（x）与y=a的图象无交点；
当时，函数y=g（x）与y=a的图象有1个交点；
时，函数y=g（x）与y=a的图象有2个交点，
综上，时，f（x）的零点个数为0；时，f（x）的零点个数为1；
时，f（x）的零点个数为2；
（3）证明：①当x≥1时，f'（x）=2a2x-3a（lnx+1）=a（2ax-3lnx-3），
令h（x）=2ax-3lnx-3，，
因为x≥1，a＞0，所以2ax≥2a,而，即2ax≥2a＞3，2ax-3＞0，h'（x）＞0，
所以h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（1）=2a-3＞0，即f'（x）＞0，
所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．所以f（x）≥f（1）=；
②当0＜x＜1时，令u（x）=x-sinx,μ（x）=1-cosx＞0，所以u（x）单调递增，
所以u（x）＞u（0）=0，即x＞sinx,
又因为f（x）-2x=a2x2-3axlnx-2x=x（a2x-3alnx-2），
令m（x）=a2x-3alnx-2，，
当时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；
当时，m'（x）＞0，m（x）单调递增；
当x=时，m（x）的极小值为，
若，即a＞3，则，所以m（x）＞0，
若，即，则m（x）在区间（0，1）上单调递减，
所以m（x）＞m（1）=a2-2＞0，
所以f（x）-2x＞0，即f（x）＞2x＞2sinx,
综上可得，f（x）＞2sinx.
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