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2025-2026学年重庆市西藏中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列说法错误的是（　　）
A. 若随机变量X～，则E（X）=5
B. 若随机变量X的方差D（X）=1，则D（3X+1）=10
C. 若P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（B|A）=0.4，则事件A与事件B独立
D. 若随机变量X服从正态分布N（6，σ2），若P（X＜10）=0.8，则P（2＜X＜6）=0.3
2.已知函数f（x）=x3-f'（2）x2+x-3，则f'（2）=（　　）
A. -1 B. 1 C. -5 D. 5
3.已知变量x,y线性相关，其一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，9），满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x-1，若增加一个数据（-6，1）后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据（5，10）相对于修正后的回归直线的残差为（　　）
A. -0.3 B. 0.2 C. 0.3 D. -0.2
4.某种产品的加工需要经过5道工序，A，B是其中两道工序，如果A工序不能放在最前，也不能放在最后且A和B两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（　　）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 120
5.已知函数在（0，2-3a）内有最小值，则实数a的取值可以是（　　）
A. B. C. D.
6.某单位在5月1日-5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有
（　　）
A. 120种 B. 360种 C. 420种 D. 540种
8.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f'（x），对任意正实数x满足xf'（x）＞2f（x）且f（1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（　　）
A. （-∞，1） B. （-1，1）
C. （-∞，0）∪（0，1） D. （-1，0）∪（0，1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图是y=f（x）的导数y=f′（x）的图象，则下面判断错误的是（　　）
A. 在（-3，1）内f（x）是增函数
B. 在（3，4）内f（x）是减函数
C. 在x=1时f（x）取得极大值
D. 当x=4时f（x）取得极小值
10.已知（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展开式中的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是（　　）
A. n=8 B. a0=1
C. a3=-160 D. |a1|+|a2|+…+|an|=36-1
11.现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（　　）
A. 在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是
B. 第二次抽到红球的概率是
C. 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为
D. 小明获得4块月饼的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件满足：，则= .
13.在的展开式中，含x3y3项的系数为 .
14.哈希算法是一种特殊的函数，也是一种加密技术.已知p-hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数.例如：对于数字752196进行2-hashing得到的哈希值为110110，那么对于数字752196进行3-hashing得到的哈希值为 ；现对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有 个.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=aln（2x+1）-x2+b,a,b∈R.若f（x）在x=0处与直线y=2x+1相切.
（1）求a,b的值；
（2）求f（x）的最大值.
16.(本小题15分)
“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人；乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人.现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件A为“选出的这4个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；
（2）用X表示抽取的4人中乙组女生的人数，求随机变量X的分布列.
17.(本小题15分)
在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.
（1）求比赛4局决出胜负的概率；
（2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望.
（3）比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？
18.(本小题17分)
一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：
温度x/℃ 21 23 24 27 29 32
产卵数y/个 6 11 20 27 57 77
经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；
（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．
（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．
附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=-；相关指数R2=．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-ax-1（a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对一切实数x,都有f（x）≥0恒成立，求a的值；
（3）求证.对于任意的正整数n.都有.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】0.68
13.【答案】55
14.【答案】122100
1296

15.【答案】解：（1）由函数f（x）=aln（2x+1）-x2+b,可得，
可得f′（0）=2a,且f（0）=b,
因为曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x+l相切，
可得，解得a=1，b=1．
（2）由（1）知f（x）=ln（2x+1）-x2+1，可得其定义域为，
且，
当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在上单调递增，在单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也是最大值．
16.【答案】（1）．，
（2）X可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
X的分布列为
X 0 1 2 3
P

17.【答案】；
分布列见解析，；
选五局三胜对甲更有利．
18.【答案】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，
≈33-6.6×26=-138.6，
∴y关于x的线性回归方程为=6.6x-138.6；
（Ⅱ） （ i ）利用所给数据，，得，
线性回归方程=6.6x-138.6
的相关指数R2=．
∵0.9398＜0.9522，
因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x-138.6拟合效果更好；
（ii）由（ i ）得温度x=35℃时，=0.06=0.06×e8.0605，
又∵e8.0605≈3167，
∴≈0.06×3167≈190（个），
所以当温度x=35℃时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
19.【答案】当a≤0时，函数f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；
a=1；
证明见解析．
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