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2025-2026学年福建省厦门一中集美分校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3. ABCD中，∠A=100°，则∠C的大小为（　　）
A. 120° B. 100° C. 80° D. 50°
4.如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC 的中点，AB=4，BC=3，AC=6，则DE的长为（　　）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
5.下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则添加下列条件，一定可使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A. AC=BD B. AB∥CD，AD=BC C. AO=CO D. AD∥BC，AD=BC
7.如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　）
A. B. C. 2.1 D.
8.如图是将一张矩形纸片经过两次对折后所形成的矩形，将图中的矩形沿虚线剪开，剪下来的直角三角形纸片完全展开后的形状是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正方形 D. 菱形
9.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），则秋千绳索（OA或OB）的长度为多少尺？设秋千绳索OA的长为x尺，则可列方程为（　　）
A. x2+102=（x-1）2 B. x2=（x-5）2+102
C. x2=（x-4）2+102 D. x2+102=（x-4）2
10.如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E，F分别是CD，AB上的点，且，连接EF与AC交于点G，连接BE.若点M，N分别是AG，BE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.化简：
（1）= ；
（2）= ；
（3）= ；
（4）= .
12.正五边形的外角和为______度．
13.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 ．
14.如图，直线AB∥CD，AB=2，CD=4，若△ABC的面积为3，则△BCD的面积为 .
15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=8，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t= 秒时，以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形.
16.“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智.假设直角三角形的两直角边长分别为a,b（a＜b），斜边长为c,某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a,b为边长构造了两个正方形，通过图中的裁切方式将边长为b的正方形ABCD裁切成四块，EF，HG是裁切线.若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为 .（用含有a,b的式子表示）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
如图， ABCD的对角线相交于点O，OE垂直平分BC.求证：四边形ABCD是矩形.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.求证：AB=AE.
21.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB.
（1）尺规作图：作菱形AECF，点E，F分别在AD，BC上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积.
22.(本小题9分)
数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形.下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当n=2时，拼成的大正方形ABCD的边长为______；如图2，当n=5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为______；如图3，当n=10时，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为______.
（2）小周想沿着正方形纸片A2B2C2D2边的方向能否裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由.
23.(本小题12分)
如图，将矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点B与原点重合，点A，C分别在y轴和x轴上，顶点D（a,b）的坐标a,b满足+（b-4）2=0.
（1）求证：四边形ABCD为正方形.
（2）若E点为正方形BC边上的动点，连接AE，过E点作EF⊥AE，且AE=EF，连接CF，∠DCF的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.
24.(本小题12分)
纸张在生活中必不可少，通常使用的A3，A4，B5不同类型纸张的长和宽都有固定的尺寸，查阅资料可知，这些类型的纸张都是长与宽的比为的矩形，这样的矩形通常称为“黄金矩形”.如图，矩形ABCD是“黄金矩形”，AB＜BC，点E在AB边上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处.
（1）求证：△CDF是等腰直角三角形；
（2）点B关于直线AF的对称点是点G，
①求证：点F，G，D三点共线；
②探究DG与BE之间的数量关系，并说明理由.
25.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，BC=2a,点P是射线BC上的动点，BP=m（m≥2a）.
（1）判断四边形ABCD的形状，并证明；
（2）当∠BDP=∠ADC时，∠AOD+2∠CDP=180°.
①求证：OA=OD；
②若AB=BC，连接OP，过点O在BC上方作射线OE，使得∠POE=∠ABC，点Q是射线OE上的点，点Q与点O不重合，连接PQ，PQ=n.当n2=m2+2a2-2am时，在点P运动的过程中，点Q的位置会随之变化，记Q1，Q2是其中任意两个位置，求点A到直线Q1Q2的距离.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】4
5
12

12.【答案】360
13.【答案】（7，3）
14.【答案】6
15.【答案】1
16.【答案】或
17.【答案】 2
18.【答案】见解析．
19.【答案】解：原式=
=
=，
当m=2+时，原式===．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠FAE=∠D，∠E=∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF=FD，
∴△AEF≌△DCF（AAS），
∴AE=CD，
∴AB=AE．
21.【答案】如图所示，菱形AECF为所求； 20
22.【答案】；；；
不能，理由见解析
23.【答案】（1）证明：∵≥0，（b-4）2≥0，
又∵+（b-4）2=0，
∴a-4=0且b-4=0，
∴a=4且b=4，
∴点D的坐标为（4，4），
∵四边形ABCD为矩形，
∴DA⊥y轴，DC⊥x轴，
∴DA=DC=4，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）解：∠DCF为定值，始终等于45°，理由如下：
在BA上截取BH=BE，连接EH，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
∵BH=BE，
∴△BEH是等腰直角三角形，AB-BH=BC-BE，
∴∠BHE=45°，AH=EC，
∴∠AHE=180°-∠BHE=135°，
∵EF⊥AE，
∴AEF=∠ABC=90°，
∴∠HAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（SAS），
∴∠AHE=∠ECF=135°，
∴∠DCF=∠ECF-∠BCD=135°-90°=45°．
24.【答案】∵矩形ABCD是“黄金矩形”，AB＜BC，
∴
∵将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴，
在Rt△CDF中，∠C=90°，
由勾股定理得：，
∴△CDF是等腰直角三角形 ①∵点B关于直线AF的对称点是点G，如图，
∴AF垂直平分BG，
∴AG=AB，BF=FG，
在△ABF和△AGF中，
，
∴△ABF≌△AGF（SSS），
∴∠ABF=∠AGF=90°，∠BAF=∠FAG，
延长FG交AD于点H，则∠AGH=∠180°-∠AGF=90°，
∵AE=EF，
∴∠BAF=∠AFE，
∴∠BEF=∠BAF+∠AFE=2∠BAF，
由（1）可知，FC=CD，
∴，
∴∠EFB=180°-∠EFD-∠CFD=45°，
∴∠BEF=90°-∠EFB=45°，
∴，
∴∠BAF=∠FAG=22.5°，即∠GAH=90°-45°=45°=∠GHA，
由（1）知∠CDF=45°
∴∠FDA=45°=∠FHA，
∴F、G、D三点共线；②；理由如下：
根据解析①可得：∠GAD=∠GDA=45°，AB=AG，∠BEF=∠BFE=45°，
∴AG=DG=AB，BE=BF，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴
25.【答案】（1）结论：四边形ABCD为平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB∥CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）①证明：∵∠BDP=∠ADC，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠CDP．
∵∠AOD+2∠CDP=180°，
∴∠AOD+2∠ADO=∠AOD+∠ADO+∠DAO=180°，
∴∠ADO=∠DAO，
∴OA=OD．
②如图，过点O作OH⊥BC，过点Q作BC的垂线，G为垂足．连接CQ．
根据正方形的性质，OH=BH=CH=BC=a,
由①可知，OA=OD，则AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形．
根据AB=BC可得四边形ABCD为正方形，则∠POE=∠ABC=45°．
∵n2=m2+2a2-2am,
∴n2=m2-2am+a2+a2=（m-a）2+a2，即：PQ2=OH2+HP2，
∵OP2=OH2+HP2，
∴OP=PQ．
则△OPQ为等腰直角三角形．
∴∠OPH=90°-∠GPQ=∠GQP．
在△OPH和△PQG中，，
∴△OPH≌△PQG（AAS），
∴OH=PG，HP=GQ．
∴CG=CP+PG=CP+CH=GQ．
∴△CGQ为等腰直角三角形．
∴点Q的轨迹在射线CQ上，∠GCQ=45°．
∵∠ACQ=180°-∠ACB-∠GCQ=90°，
∴点A到直线Q1Q2的距离为：AC=BC=2a.

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