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2025-2026学年北京市海淀区育英学校航天校区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（　　）
A. 5，12，13 B. 1，2，3 C. 3，3，3 D. 4，5，6
2.下列各式是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠C的度数为（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 120°
4.下列各式不可以与合并的是（　　）
A. B. C. D.
5.如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为OB的直角三角形，点A在点O左边的数轴上，且OA=OB，则点A表示的实数是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O.若∠ACB=30°，AB=2，则AO的长为（　　）
A.
B. 2
C.
D. 1
7.如图，在矩形ABCD中，AB=15，AD=9，点E在CD上，点F在BC上，将△ABF沿AF翻折，使点B的对应点恰为点E，则BF的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D.
8.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　）
A.
B. 3
C.
D. 5
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .
10.在平面直角坐标系中，若点A（-2，2）、点B（1，3），则AB的长度为 .
11.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE=4cm,AB=6cm,则AD的长度是 cm.
12.我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的 .
13.如图，在江西某中学实践活动课上，小丽打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m,当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m,由此可计算出学校旗杆的高度是 m.
14.如图，E、F分别是 ABCD的边AD、BC上的点，EF=8，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D'，ED′交BC于点G，则△GEF的边GF的高是 .
15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .
16.如图，一张矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①CQ=CD；②四边形CMPN是菱形；③P，A重合时，MN2=20；④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题4分)
已知x=+2，求代数式x2-4x+3的值.
19.(本小题5分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是边AB的中点.
求作：矩形DBFE，且点E在边AC上，点F在边BC上.
（1）根据下面的步骤，使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）.①作线段AC的垂直平分线，垂足为点E；
②连接DE；
③以点B为圆心，DE长为半径作弧，交BC于点F；
④连接EF.
则四边形DBFE是所求作的矩形.
（2）完成下面的证明过程.
证明：
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥ ______.
∵DE=BF，
∴四边形DBFE是平行四边形（______）（填推理的依据）.
又∵∠ABC=90°，
∴四边形DBFE是矩形（______）（填推理的依据）.
20.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两个点，且BE=DF，证明：AE=CF．

21.(本小题5分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、；
（2）如图2，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数.
22.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F.
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC=60°，CE=3，求BF的长.
23.(本小题5分)
已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC=80cm,BC=60cm,两轮轮轴的距离AB=100cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行.
（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；
（2）若FG的长度为80cm,∠EHG=60°，求购物车把手F到AB的距离.
24.(本小题6分)
【阅读材料】如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式：且仅当a=b时取等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述的不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析】已知x＞0，求式子y=x+的最小值．
解：令a=x，b=，则由，得y=x+=2=2×=4，当且仅当x=时，即x=2时，式子有最小值，最小值为4．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
（1）已知x＞0，则当x=______时，式子x+取到最小值，最小值为______；
（2）用篱笆围一个面积为100m2的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）已知x＞0，则x=______时，分式取到最大值，最大值为______．
25.(本小题6分)
【综合与实践：折纸中的数学】我国传统建筑中，设计精巧、样式繁多的几何图案随处可见，它们由笔直的短木条沿横、竖、斜方向交错构成，给人以明朗、均匀、简洁的美感.漫步于我们的校园，盈乐园中的小亭便体现了这一艺术特点.小亭的布局以“因地制宜”为原则，每换一个角度，眼前都是一幅不同的画面.如图②，是从底部仰视亭子内部顶部设计时看到的图案——木条纵横交错，形成一个个规整的四边形，简洁而富有韵律.
有趣的是，这样的图案不仅存在于传统建筑中，我们还可以通过折纸的方式将其“复现”.下面，让我们动手操作，在折纸中探寻数学的奥秘，感受传统文化与数学的交融之美.
【素材】如图③，一张矩形纸片ABCD，AB=12cm,BC=5cm.
（1）【实践操作1】
步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为HF；
步骤二：然后左右对折，折痕为GE；
步骤三：将原纸片展开还原后，如图④所示得到四边形EFGH.
【实践探索1】
四边形EFGH的形状为______；面积为______cm2；
（2）【实践操作2】
步骤一：将矩形纸片ABCD先沿对角线AC对折；
步骤二：再将纸片折叠使点A与点C重合得折痕EF；
步骤三：将原纸片展开还原后，连接AE，CF.如图⑤所示，得到四边形AECF.
【实践探索2】
①判断四边形AECF的形状，并加以证明；
②直接写出四边形AECF的面积______.
26.(本小题7分)
如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.
（1）求证：BC=DF；
（2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明.

1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】10
12.【答案】
13.【答案】12
14.【答案】4
15.【答案】25
16.【答案】②③④
17.【答案】+3 1+
18.【答案】2．
19.【答案】见解析；
BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE△CDF（SAS），
∴AE=CF．
21.【答案】解：（1）取格点D，E，F，连接DE，DF，EF，如图，
△DEF即为所求；
（2）连接AC，如图：
由勾股定理得：AC2=12+32=10，BC2=12+32=10，AB2=22+42=20，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴∠ACB=90°，∠BAC=∠ABC，
∴∠ABC=45°．
22.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE=90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE=CD=AB，AF=EF，AD=CE=CB=3，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB=AE=BE=2CE=2×3=6，
∴∠AFB=90°，AF=AE=×6=3，
∴BF===3，
∴BF的长是3．
23.【答案】AC⊥BC，理由见解析；
（40+48）cm．
24.【答案】（1）1；2；
（2）设这个长方形的长为xm，宽为ym，由题意得：xy=100．
由，得：
x+y≥2=2×=20，
当且仅当x=y时，即x=10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m；
∴这个长方形的长、宽为10m时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．
（3）3；．
25.【答案】菱形;30 cm2
26.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴∠BAE=∠AFD，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
∴BC=DF；
（2）解：AD2+CD2=DG2．
证明：连接BD，BG，CG，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF，
∴∠BAE=AEB，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=BE=DC，
∵∠BCF=90°，∠CEF=∠AEB=45°，
∴∠F=45°，
∵G是EF的中点，
∴EG=CG=FG，∠ECG=∠FCG=45°，
∴∠BEC=∠DCG=135°，
∵BC=DF，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴BG=DG，∠DGC=∠BGE，
∵∠CGE=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BD2=2DG2，
∵AB2+AD2=BD2，AB=CD，
∴AD2+CD2=2DG2．
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